“湊整”先算
1.計算:(1)24+44+56 (2)53+36+47
解:(1)24+44+56=24+(44+56)
=24+100=124
這樣想(xiang):因為44+56=100是(shi)個(ge)整百的數,所以先把它們的和算出來.
(2)53+36+47=53+47+36
=(53+47)+36=100+36=136
這樣想:因(yin)為53+47=100是個整(zheng)百的數,所以先(xian)把(ba)+47帶(dai)著符(fu)號(hao)搬(ban)家,搬(ban)到+36前面(mian);然后再把(ba)53+47的和算出來.
2.計算:(1)96+15 (2)52+69
解:(1)96+15=96+(4+11)
=(96+4)+11=100+11=111
這樣想(xiang):把(ba)15分拆成15=4+11,這是因(yin)為96+4=100,可湊整先算(suan).
(2)52+69=(21+31)+69
=21+(31+69)=21+100=121
這樣想:因為69+31=100,所以把(ba)52分拆成21與(yu)31之(zhi)和,再把(ba)31+69=100湊整先算(suan).
3.計算:(1)63+18+19 (2)28+28+28
解:(1)63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+(2+18)+(1+19)
=60+20+20=100
這樣(yang)想:將(jiang)63分拆(chai)成63=60+2+1就(jiu)是因(yin)為2+18和(he)1+19可以(yi)湊整先算(suan).
(2)28+28+28
=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6
=30+30+30-6=90-6=84
這(zhe)樣想(xiang):因為28+2=30可湊整,但最后(hou)要把(ba)多加的三個2減去.
改變運算順序:在只有“+”、“-”號的混合算式中,運算順序可改變
計算:(1)45-18+19 (2)45+18-19
解:(1)45-18+19=45+19-18
=45+(19-18)=45+1=46
這樣(yang)想:把(ba)+19帶著符號搬(ban)家,搬(ban)到(dao)-18的前面.然(ran)后先算19-18=1.
(2)45+18-19=45+(18-19)
=45-1=44
這樣想:加(jia)18減(jian)19的(de)結(jie)果就等于減(jian)1.
計算等差連續數的和
相鄰的兩個數的差(cha)都(dou)相等(deng)的一(yi)串數就叫等(deng)差(cha)連續數,又叫等(deng)差(cha)數列,如:
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
3,6,9,12,15
4,8,12,16,20等等都是等差連(lian)續數.
1. 等(deng)差連續數(shu)的(de)個數(shu)是奇(qi)數(shu)時,它(ta)們的(de)和等(deng)于中間數(shu)乘以個數(shu),簡記成:
(1)計算(suan):1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9 中間數(shu)是5
=45 共9個數
(2)計算(suan):1+3+5+7+9
=5×5 中間數是(shi)5
=25 共有5個(ge)數
(3)計(ji)算:2+4+6+8+10
=6×5 中(zhong)間數是6
=30 共有5個(ge)數
(4)計算(suan):3+6+9+12+15
=9×5 中間數是9
=45 共有5個數(shu)
(5)計算:4+8+12+16+20
=12×5 中間數是12
=60 共有5個數
2. 等差連續數的個數是(shi)偶數時,它們的和(he)等于首數與(yu)末數之和(he)乘以(yi)個數的一半,簡(jian)記成(cheng):
(1)計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)×5=11×5=55
共(gong)10個數(shu),個數(shu)的一半是5,首數(shu)是1,末數(shu)是10.
(2)計算:3+5+7+9+11+13+15+17
=(3+17)×4=20×4=80
共8個數(shu)(shu),個數(shu)(shu)的(de)一半是(shi)4,首(shou)數(shu)(shu)是(shi)3,末(mo)數(shu)(shu)是(shi)17.
(3)計算:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=(2+20)×5=110
共10個(ge)數(shu),個(ge)數(shu)的一半是5,首數(shu)是2,末(mo)數(shu)是20.
基準數法
(1)計(ji)算(suan):23+20+19+22+18+21
解:仔細(xi)觀察,各個加(jia)數的(de)大小(xiao)都接近20,所以可以把(ba)每個加(jia)數先(xian)按20相加(jia),然(ran)后再把(ba)少(shao)算的(de)加(jia)上,把(ba)多算的(de)減去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6個加數都按(an)20相(xiang)加,其和(he)=20×6=120.23按(an)20計算就少加了“3”,所以(yi)再加上(shang)“3”;19按(an)20計算多加了“1”,所以(yi)再減(jian)去“1”,以(yi)此類(lei)推.
(2)計算:102+100+99+101+98
解:方法1:仔細觀察,可知(zhi)各個加數都接(jie)近100,所以選100為基準數,采用(yong)基準數法進行(xing)巧(qiao)算(suan).
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2:仔(zi)細觀(guan)察(cha),可將(jiang)5個數重新(xin)排(pai)列如下:(實(shi)際上(shang)就(jiu)是把有的(de)加數帶有符(fu)號(hao)搬家)
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可(ke)發現這是一(yi)個等差連續數(shu)的(de)求和問(wen)題,中間數(shu)是100,個數(shu)是5.
1、加法中的巧算
1.什么(me)叫(jiao)“補數”?
兩個(ge)(ge)數(shu)(shu)相(xiang)加,若能恰(qia)好湊成整十、整百、整千、整萬…,就把其中的(de)(de)一個(ge)(ge)數(shu)(shu)叫(jiao)做另一個(ge)(ge)數(shu)(shu)的(de)(de)“補(bu)數(shu)(shu)”。
如:1+9=10,3+7=10,
2+8=10,4+6=10,
5+5=10。
又如(ru):11+89=100,33+67=100,
22+78=100,44+56=100,
55+45=100,
在上面(mian)算(suan)式中,1叫9的(de)“補(bu)數(shu)(shu)”;89叫11的(de)“補(bu)數(shu)(shu)”,11也叫89的(de)“補(bu)數(shu)(shu)”.也就是說兩個數(shu)(shu)互為“補(bu)數(shu)(shu)”。
對于一(yi)個較大的(de)(de)數(shu),如何能很快地算出它的(de)(de)“補數(shu)”來(lai)呢?一(yi)般來(lai)說,可以這樣(yang)“湊”數(shu):從最(zui)高位湊起,使各位數(shu)字相(xiang)加得(de)9,到最(zui)后個位數(shu)字相(xiang)加得(de)10。
如: 87655→12345, 46802→53198,
87362→12638,…
下面(mian)講(jiang)利用“補數”巧(qiao)算加法,通常稱(cheng)為(wei)“湊整法”。
2.互補(bu)數先加。
例(li)1:巧算下面各題:
①36+87+64? ②99+136+101 ③ 1361+972+639+28
解:①式=(36+64)+87
=100+87=187
②式=(99+101)+136
=200+136=336
③式=(1361+639)+(972+28)
=2000+1000=3000
3.拆出補數來(lai)先加。
例(li)2:①188+873? ?②548+996? ?③9898+203
解:①式=(188+12)+(873-12)(熟練之后,此步可略(lve))
=200+861=1061
②式(shi)=(548-4)+(996+4)
=544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102)
=10000+101=10101
4.豎式運(yun)算中互補(bu)數先加。
2、減法中的巧算
1.把幾個互為“補數”的減(jian)數先(xian)加起來,再從被減(jian)數中減(jian)去。
例3:① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
解:①式= 300-(73+ 27)
=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)
=1000-200=800
2.先(xian)減去那些與被減數有相同(tong)尾數的減數。
例4:① 4723-(723+189)
② 2356-159-256
解:①式=4723-723-189
=4000-189=3811
②式=2356-256-159
=2100-159
=1941
3.利(li)用“補數”把接(jie)近整十、整百、整千(qian)…的(de)數先變整,再運算(suan)(注意(yi)把多(duo)加的(de)數再減去,把多(duo)減的(de)數再加上(shang))。
例5: ①506-397 ②323-189 ③467+997 ④987-178-222-390
解:①式=500+6-400+3(把多減的 3再加上)
=109
②式=323-200+11(把多(duo)減(jian)的(de)11再(zai)加上(shang))
=123+11=134
③式=467+1000-3(把多加的3再減去)
=1464
④式=987-(178+222)-390
=987-400-400+10=197
3、加減混合式的巧算
1.去括號和(he)添(tian)括號的法則(ze)
在只有加減運算的(de)算式里,如果(guo)括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)前(qian)面(mian)是“+”號(hao),則不(bu)(bu)論(lun)(lun)去掉括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)或(huo)添(tian)上括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao),括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)里面(mian)的(de)運算符(fu)號(hao)都(dou)不(bu)(bu)變;如果(guo)括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)前(qian)面(mian)是“-”號(hao),則不(bu)(bu)論(lun)(lun)去掉括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)或(huo)添(tian)上括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao),括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)里面(mian)的(de)運算符(fu)號(hao)都(dou)要改(gai)變,“+”變“-”,“-”變“+”,即:
a+(b+c+d)=a+b+c+d
a-(b+a+d)=a-b-c-d
a-(b-c)=a-b+c
例6:①100+(10+20+30)
② 100-(10+20+3O)
③ 100-(30-10)
解:①式=100+10+20+30=160
②式=100-10-20-30=40
③式=100-30+10=80
例7:計算下面各題:
① 100+10+20+30 ② 100-10-20-30 ③ 100-30+10
解:①式=100+(10+20+30)=100+60=160
②式=100-(10+20+30)=100-60=40
③式=100-(30-10)=100-20=80
2.帶符號“搬家”
例(li)8:計算 325+46-125+54
解(jie):原式=325-125+46+54
=(325-125)+(46+54)
=200+100=300
注意:每個數(shu)前面(mian)(mian)的(de)運(yun)算符號是(shi)這個數(shu)的(de)符號.如+46,-125,+54.而(er)325前面(mian)(mian)雖然沒有(you)符號,應看作是(shi)+325。
3.兩(liang)個數相同而符號相反的(de)數可以直(zhi)接(jie)“抵(di)消”掉
例9:計(ji)算9+2-9+3
解(jie):原式(shi)=9-9+2+3=5
4.找“基準數”法
幾個比較接近于(yu)某(mou)一整數(shu)的數(shu)相加時(shi),選這個整數(shu)為(wei)“基準數(shu)”。
例10:計算 78+76+83+82+77+80+79+85
=640
1.兩數(shu)的乘積是整十(shi)、整百、整千的,要先乘.為此(ci),要牢記下面這(zhe)三個特(te)殊的等式:
5×2=10
25×4=100
125×8=1000
例1:計算(suan)①123×4×25
② 125×2×8×25×5×4
解:①式=123×(4×25)=123×100=12300
②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)=1000×100×10=1000000
2.分(fen)解(jie)因數,湊整(zheng)先乘。
例2:計算① 24×25
② 56×125
③ 125×5×32×5
解:①式=6×(4×25)=6×100=600
②式=7×8×125=7×(8×125)=7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)=1000×100=100000
3.應用乘法分(fen)配律。
例3:計算① 175×34+175×66 ②67×12+67×35+67×52+6
解:①式=175×(34+66)=175×100=17500
②式=67×(12+35+52+1)= 67×100=6700
(原式中最后一項67可(ke)看成 67×1)
例4:計(ji)算① 123×101? ?② 123×99
解:①式=123×(100+1)=123×100+123=12300+123=12423
②式=123×(100-1)=12300-123=12177
4.幾種(zhong)特殊因(yin)數的(de)巧算。
例5:一個數×10,數后添0;一個數×100,數后添00;一(yi)個數×1000,數后(hou)添000;以此類推。
如:15×10=150
15×100=1500
15×1000=15000
例6:一個數×9,數后添0,再減此數; 一個數×99,數后添00,再減此數;一個數×999,數后添000,再減此數 ……以此類(lei)推。
如:12×9=120-12=108
12×99=1200-12=1188
12×999=12000-12=11988
例7:一(yi)個偶數乘以(yi)5,可以(yi)除以(yi)2添上0。
如:6×5=30
16×5=80
116×5=580。
例8:一個數乘以(yi)11,“兩頭一拉,中(zhong)間(jian)相(xiang)加”。
如(ru) :2222×11=24442
2456×11=27016
例(li)9:一個偶數乘(cheng)以15,“加半添0”.
24×15
=(24+12)×10
=360
因為:24×15
= 24×(10+5)
=24×(10+10÷2)
=24×10+24×10÷2(乘法(fa)分配律)
=24×10+24÷2×10(帶(dai)符(fu)號搬家)
=(24+24÷2)×10(乘法分(fen)配律(lv))
例10:個位為5的兩位數(shu)(shu)的自(zi)乘:十(shi)位數(shu)(shu)字×(十(shi)位數(shu)(shu)字加1)×100+25
如(ru):15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
4、除法及乘除混合運算中的巧算
1.在除法(fa)中,利用(yong)商不變的(de)性質(zhi)巧(qiao)算
商不變的(de)性質是(shi):被除(chu)(chu)數(shu)和(he)除(chu)(chu)數(shu)同(tong)時(shi)乘以或(huo)除(chu)(chu)以相同(tong)的(de)數(shu)(零除(chu)(chu)外),商不變.利用這個性質巧(qiao)算,使除(chu)(chu)數(shu)變為整十(shi)、整百、整千的(de)數(shu),再除(chu)(chu)。
例11:計算①110÷5②3300÷25③ 44000÷125
解:①110÷5=(110×2)÷(5×2)
=220÷10=22
②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)
=13200÷100=132
③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8)
=352000÷1000=352
2.在乘除混合運算中(zhong),乘數(shu)和(he)除數(shu)都(dou)可以(yi)帶符(fu)號(hao)“搬家”。
例(li)12:864×27÷54
=864÷54×27
=16×27
=432
3.當n個(ge)(ge)數都除以同一個(ge)(ge)數后(hou)再加減時(shi),可以將它們先加減之后(hou)再除以這個(ge)(ge)數。
例13:① 13÷9+5÷9? ②21÷5-6÷5 ③2090÷24-482÷24 ④187÷12-63÷12-52÷12
解:①13÷9+5÷9=(13+5)÷9=18÷9=2
②21÷5-6÷5=(21-6)÷5=15÷5=3
③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24=1608÷24=67
④187÷12-63÷12-52÷12=(187-63-52)÷12=72÷12=6
4.在乘除(chu)混合運算(suan)中(zhong)“去括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”或添“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”的(de)方法:如(ru)果(guo)“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”前面(mian)是乘號(hao)(hao)(hao),去掉“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”后,原“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”內(nei)的(de)符(fu)號(hao)(hao)(hao)不變;如(ru)果(guo)“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”前面(mian)是除(chu)號(hao)(hao)(hao),去掉“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”后,原“括(kuo)號(hao)(hao)(hao)”內(nei)的(de)乘號(hao)(hao)(hao)變成除(chu)號(hao)(hao)(hao),原除(chu)號(hao)(hao)(hao)就要變成乘號(hao)(hao)(hao),添括(kuo)號(hao)(hao)(hao)的(de)方法與去括(kuo)號(hao)(hao)(hao)類(lei)似。
即a×(b÷c)=a×b÷c 從左往右看是(shi)去括(kuo)號(hao),
a÷(b×c)=a÷b÷c 從右往左看是添(tian)括號。
a÷(b÷c)=a÷b×c
例(li)14:①1320×500÷250
②4000÷125÷8
③5600÷(28÷6)
④372÷162×54
⑤2997×729÷(81×81)
解:① 1320×500÷250=1320×(500÷250)=1320×2=2640
②4000÷125÷8=4000÷(125×8)=4000÷1000=4
③5600÷(28÷6)=5600÷28×6=200×6=1200
④372÷162×54=372÷(162÷54)=372÷3=124
⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81=(2997÷81)×(729÷81)=37×9=333
例(li)1:計(ji)算9+99+999+9999+99999
解:在涉及所有數字都是(shi)9的計算中,常使用湊整(zheng)法.例如將999化成1000—1去計算.這是(shi)小學數學中常用的一種技巧.
9+99+999+9999+99999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)
=10+100+1000+10000+100000-5
=111110-5
=111105.
例2:計算199999+19999+1999+199+19
解:此題各數字中,除最高位是(shi)1外(wai),其余都是(shi)9,仍使用湊(cou)整法(fa).不過這(zhe)里是(shi)加1湊(cou)整.(如 199+1=200)
199999+19999+1999+199+19
=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)
+(19+1)-5
=200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5
=22225.
例3:計算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解(jie)法2:先(xian)把兩個(ge)括號內的數分別相(xiang)(xiang)加(jia),再相(xiang)(xiang)減.第一個(ge)括號內的數相(xiang)(xiang)加(jia)的結果是:
從1到1989共有995個(ge)奇數,湊(cou)成497個(ge)1990,還剩下995,第二個(ge)括號內的數相(xiang)加的結果是(shi):
從2到1988共有994個(ge)偶數,湊成497個(ge)1990.
1990×497+995—1990×497=995.
例4:計算(suan) 389+387+383+385+384+386+388
解法1:認真觀(guan)察每個加數,發現它(ta)們都和(he)整數390接近,所以選(xuan)390為基準數.
389+387+383+385+384+386+388
=390×7—1—3—7—5—6—4—
=2730—28
=2702.
解法2:也可(ke)以選380為基準數,則有
389+387+383+385+384+386+388
=380×7+9+7+3+5+4+6+8
=2660+42
=2702.
例5:計算(suan)(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
解:認真觀察(cha)可知此題關鍵(jian)是求括號中6個相接近的(de)數之和,故可選4940為基準數.
(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
=(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6
=(4940×6+6)÷6(這里沒(mei)有把4940×6先算(suan)出來,而是運
=4940×6÷6+6÷6運用了除法中(zhong)的巧(qiao)算(suan)方法)
=4940+1
=4941.
例6:計算(suan)54+99×99+45
解:此題表面(mian)上看(kan)沒(mei)有巧妙的(de)算法,但如(ru)果把45和54先(xian)結合可得99,就(jiu)可以運用乘(cheng)法分(fen)配(pei)律進行簡(jian)算了.
54+99×99+45
=(54+45)+99×99
=99+99×99
=99×(1+99)
=99×100
=9900.
例(li)7:計算 9999×2222+3333×3334
解:此題如果直接乘,數字較大,容易出錯(cuo).如果將9999變為3333×3,規律就出現(xian)了.
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×(6666+3334)
=3333×10000
=33330000.
例(li)8:1999+999×999
解(jie)法1:1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+999×(1+999)
=1000+999×1000
=1000×(999+1)
=1000×1000
=1000000.
解法2:1999+999×999
=1999+999×(1000-1)
=1999+999000-999
=(1999-999)+999000
=1000+999000
=1000000.
(1)238+1759-97-998
=238+1759-100+3-1000+2
=238+2-100+(1759+3-1000)
=140+762
(2)998+3+99+998+3+9
=(998+2)+(1+99)+(998+2)+(1+9)
=1000+100+1000+10
=2110
(3)19+199+1999+19999+199999
=20-1+200-1+2000-1+20000-1+200000-1
=20+200+2000+20000+200000-1-1-1-1-1
=222220-5
=222215
(4)37+56+63+44
=37+63+(56+44)
=100+100
=200
(5)516-56-44-16
=516-16-56-44
=516-16-(56+44)
=500-100
=400
(6)947+(372-447)
=947+372-44
=947-447+372
=500+372
=872
(7)5498-1928-387-1072-16137
=5498-1928-1072-387-1613
=5498-(1928+1072)-(387+1613)
=5498-3000-2000
=2498-2000
=498
(8)123+234+345-456+567-678+789-890
=123+234+345+(567-456)+(7*78)-890
=123+234+345+111+111-890
=234+(123+567)-890
=234+690-890
=34+890-890
=34
(9)569+384+147-328-167-529
=(569-529)+147-(147+20)+388-4-328
=40-20+56
=76
(10)6472-(4476-2480)+5319-(3323-1327)+9354-(7358-5362)+6839-(4843-2847)
=(6480-8)+(5320-1)+(9360-6)+(6840-1)-(4476-2476-4)-(3323-1323-4)-(7358-5358-4)-(4843-2843-4)
=(6480+5320)+(9360+6840)-8-1-6-1-2000+4-2000+4-2000+4-2000+4
=11800+16200-8000-16+16
=28000-8000
=20000
(11)236×37×27
=236×(37×3×9)
=236×(111×9)
=236×999
=236×(1000-1)
=236000-236
=235764
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