麥(mai)克斯(si)韋方(fang)(fang)程組(zu),是英國(guo)物理學(xue)家(jia)詹姆(mu)斯(si)·克拉克·麥(mai)克斯(si)韋在19世紀建立(li)的(de)(de)一(yi)組(zu)描(miao)(miao)述電(dian)場(chang)(chang)、磁場(chang)(chang)與(yu)電(dian)荷(he)密(mi)度(du)、電(dian)流密(mi)度(du)之間關系的(de)(de)偏微分方(fang)(fang)程。它由四(si)個方(fang)(fang)程組(zu)成:描(miao)(miao)述電(dian)荷(he)如何產生(sheng)(sheng)電(dian)場(chang)(chang)的(de)(de)高斯(si)定(ding)律(lv)、論述磁單極子不存在的(de)(de)高斯(si)磁定(ding)律(lv)、描(miao)(miao)述電(dian)流和時變(bian)電(dian)場(chang)(chang)怎樣產生(sheng)(sheng)磁場(chang)(chang)的(de)(de)麥(mai)克斯(si)韋-安培定(ding)律(lv)、描(miao)(miao)述時變(bian)磁場(chang)(chang)如何產生(sheng)(sheng)電(dian)場(chang)(chang)的(de)(de)法拉第(di)感應定(ding)律(lv)。
從(cong)麥(mai)克(ke)斯韋方程(cheng)(cheng)組(zu),可以推(tui)論(lun)出電磁波在(zai)真空中以光(guang)速(su)傳播,并進而做出光(guang)是電磁波的(de)猜想。麥(mai)克(ke)斯韋方程(cheng)(cheng)組(zu)和洛倫(lun)茲力方程(cheng)(cheng)是經典電磁學的(de)基礎方程(cheng)(cheng)。從(cong)這(zhe)些基礎方程(cheng)(cheng)的(de)相關(guan)理論(lun),發展出現代(dai)的(de)電力科(ke)技(ji)與電子科(ke)技(ji)。
麥克斯韋(wei)在1865年(nian)提出的(de)(de)最初形式的(de)(de)方程組由20個等式和(he)20個變(bian)量組成。他在1873年(nian)嘗試用(yong)四元數(shu)(shu)來表(biao)達,但(dan)未成功。現(xian)在所(suo)使(shi)用(yong)的(de)(de)數(shu)(shu)學形式是奧利(li)弗(fu)·赫維賽德和(he)約(yue)西亞·吉布斯于1884年(nian)以矢量分析的(de)(de)形式重(zhong)新表(biao)達的(de)(de)。
麥(mai)克斯韋誕(dan)生前(qian)的(de)(de)半個(ge)多(duo)世紀,人類對電(dian)(dian)磁(ci)現(xian)(xian)象的(de)(de)認識取得了很大的(de)(de)進展(zhan)。1785年(nian),法(fa)國物理(li)學家C.A.庫侖(Charles A. Coulomb)在(zai)扭秤實驗結果的(de)(de)基礎(chu)上,建立了說明兩個(ge)點電(dian)(dian)荷之(zhi)間(jian)(jian)相(xiang)(xiang)互(hu)(hu)作(zuo)用力的(de)(de)庫侖定(ding)(ding)律。1820年(nian),H.C.奧斯特(Hans Christian Oersted)發現(xian)(xian)電(dian)(dian)流能(neng)使磁(ci)針偏轉,從(cong)而把(ba)電(dian)(dian)與磁(ci)聯系起來。其后,A.M.安培(Andre Marie Ampère)研(yan)究(jiu)了電(dian)(dian)流之(zhi)間(jian)(jian)的(de)(de)相(xiang)(xiang)互(hu)(hu)作(zuo)用力,提(ti)出了許(xu)多(duo)重要(yao)(yao)概念和(he)安培環路(lu)定(ding)(ding)律。M.法(fa)拉第(di)(Michael Faraday)在(zai)很多(duo)方面有杰出貢獻(xian),特別(bie)是1831年(nian)發表(biao)的(de)(de)電(dian)(dian)磁(ci)感應定(ding)(ding)律,是電(dian)(dian)機、變壓(ya)器等(deng)設備(bei)的(de)(de)重要(yao)(yao)理(li)論基礎(chu)。
1845年(nian)(nian)(nian),關(guan)于電(dian)(dian)(dian)磁現象的(de)三個最基(ji)本的(de)實驗定(ding)律(lv)(lv)(lv):庫侖定(ding)律(lv)(lv)(lv)(1785年(nian)(nian)(nian))、畢奧-薩伐爾定(ding)律(lv)(lv)(lv)(1820年(nian)(nian)(nian))、法拉(la)第(di)電(dian)(dian)(dian)磁感(gan)應定(ding)律(lv)(lv)(lv)(1831~1845年(nian)(nian)(nian))已(yi)被(bei)總(zong)結出來,法拉(la)第(di)的(de)“電(dian)(dian)(dian)力線(xian)(xian)”和“磁力線(xian)(xian)”(現在也(ye)叫(jiao)做“電(dian)(dian)(dian)場線(xian)(xian)”與“磁感(gan)線(xian)(xian)”)概念已(yi)發展成“電(dian)(dian)(dian)磁場概念”。1855年(nian)(nian)(nian)至1865年(nian)(nian)(nian),麥克(ke)斯(si)韋(wei)在全面(mian)地(di)審視了庫侖定(ding)律(lv)(lv)(lv)、畢奧—薩伐爾定(ding)律(lv)(lv)(lv)和法拉(la)第(di)定(ding)律(lv)(lv)(lv)的(de)基(ji)礎上,把數學分(fen)析(xi)方法帶進了電(dian)(dian)(dian)磁學的(de)研究領域,由此導(dao)致(zhi)麥克(ke)斯(si)韋(wei)電(dian)(dian)(dian)磁理論的(de)誕生。
在麥(mai)克(ke)斯韋之(zhi)前(qian),關(guan)于(yu)電(dian)(dian)磁(ci)(ci)現象(xiang)的(de)學(xue)(xue)說都以超距作用(yong)觀念(nian)為(wei)基礎,認(ren)(ren)為(wei)帶(dai)電(dian)(dian)體、磁(ci)(ci)化體或(huo)載(zai)流導體之(zhi)間(jian)的(de)相互作用(yong),都是可以超越中(zhong)間(jian)媒質而直接進行(xing)并立即完成的(de),即認(ren)(ren)為(wei)電(dian)(dian)磁(ci)(ci)擾動的(de)傳(chuan)(chuan)播速度無(wu)限大。在那個時期,持不同意(yi)見的(de)只有法拉第。他認(ren)(ren)為(wei)上述這(zhe)些(xie)相互作用(yong)與中(zhong)間(jian)媒質有關(guan),是通過(guo)中(zhong)間(jian)媒質的(de)傳(chuan)(chuan)遞而進行(xing)的(de),即主張間(jian)遞學(xue)(xue)說。
麥克斯韋(wei)繼承了法(fa)拉(la)第(di)的(de)觀點,參照流(liu)體力學(xue)的(de)模型,應用(yong)嚴謹的(de)數學(xue)形式總結(jie)了前人的(de)工(gong)作,提出了位移電流(liu)的(de)假說(shuo),推廣(guang)了電流(liu)的(de)涵(han)義,將電磁(ci)場基本定(ding)律歸結(jie)為(wei)(wei)四(si)個微分方程,這(zhe)就是著名的(de)麥克斯韋(wei)方程組。他對這(zhe)組方程進行了分析(xi),預見到電磁(ci)波(bo)的(de)存在,并斷定(ding),電磁(ci)波(bo)的(de)傳播速(su)度為(wei)(wei)有限(xian)值(與光速(su)接(jie)近),且光也是某種頻率的(de)電磁(ci)波(bo)。上(shang)述這(zhe)些(xie),他都寫(xie)入題為(wei)(wei)《論(lun)電與磁(ci)》的(de)論(lun)文(wen)中。
1887年,海因里希(xi)·魯道(dao)夫·赫茲(zi)(Heinrich R. Hertz)用(yong)實(shi)驗方法產生和檢(jian)測到了電磁波,證實(shi)了麥克(ke)斯韋(wei)的(de)(de)預(yu)見。1905~1915年間(jian),A.愛因斯坦(Albert Einstein)的(de)(de)相對論進一步論證了時間(jian)、空間(jian)、質量(liang)、能(neng)量(liang)和運動之間(jian)的(de)(de)關系(xi),說明(ming)電磁場(chang)就是物(wu)質的(de)(de)一種形式,間(jian)遞學說得到了公(gong)認(ren)。
麥克斯韋方程組乃是由四個方程共同組成的:
高斯定(ding)律(lv):該定(ding)律(lv)描(miao)述電(dian)(dian)場與空間中電(dian)(dian)荷(he)分布的(de)(de)(de)關(guan)系。電(dian)(dian)場線(xian)開始于正電(dian)(dian)荷(he),終(zhong)止于負電(dian)(dian)荷(he)(或(huo)無窮遠(yuan))。計算穿過某給定(ding)閉(bi)曲(qu)(qu)面(mian)(mian)的(de)(de)(de)電(dian)(dian)場線(xian)數量,即(ji)其電(dian)(dian)通(tong)量,可以得知包含在這閉(bi)曲(qu)(qu)面(mian)(mian)內(nei)的(de)(de)(de)總電(dian)(dian)荷(he)。更詳(xiang)細地(di)說,這定(ding)律(lv)描(miao)述穿過任意閉(bi)曲(qu)(qu)面(mian)(mian)的(de)(de)(de)電(dian)(dian)通(tong)量與這閉(bi)曲(qu)(qu)面(mian)(mian)內(nei)的(de)(de)(de)電(dian)(dian)荷(he)之間的(de)(de)(de)關(guan)系。
高斯磁(ci)(ci)(ci)定(ding)律:該(gai)定(ding)律表明,磁(ci)(ci)(ci)單極子(zi)實際上并不存(cun)在(zai)。所以,沒(mei)有孤立磁(ci)(ci)(ci)荷,磁(ci)(ci)(ci)場(chang)線(xian)沒(mei)有初始點(dian),也沒(mei)有終止點(dian)。磁(ci)(ci)(ci)場(chang)線(xian)會形成循(xun)環或延伸至無窮遠(yuan)。換(huan)句話(hua)說(shuo),進入任何區(qu)域(yu)(yu)的磁(ci)(ci)(ci)場(chang)線(xian),必需從(cong)那區(qu)域(yu)(yu)離開(kai)。以術語來說(shuo),通過任意閉曲面的磁(ci)(ci)(ci)通量等于零(ling),或者(zhe),磁(ci)(ci)(ci)場(chang)是一(yi)個無源場(chang)。
法(fa)拉第感應(ying)定律(lv)(lv):該定律(lv)(lv)描述(shu)時(shi)變(bian)磁(ci)場(chang)怎(zen)樣(yang)感應(ying)出電(dian)場(chang)。電(dian)磁(ci)感應(ying)是制造許(xu)多發電(dian)機的理論基礎。例如(ru),一塊旋轉的條形磁(ci)鐵(tie)會(hui)產(chan)生時(shi)變(bian)磁(ci)場(chang),這又接下來會(hui)生成電(dian)場(chang),使(shi)得鄰近的閉合電(dian)路因而感應(ying)出電(dian)流。
麥(mai)克(ke)斯韋-安培定(ding)律:該(gai)定(ding)律闡明,磁場可(ke)以(yi)用(yong)兩種方法生成:一(yi)種是靠傳(chuan)導電流(原(yuan)本的安培定(ding)律),另(ling)一(yi)種是靠時(shi)變電場,或稱位(wei)移電流(麥(mai)克(ke)斯韋修(xiu)正項)。
在(zai)電磁學里(li),麥克斯韋修(xiu)正項意味著時(shi)變(bian)電場(chang)可以生成(cheng)磁場(chang),而(er)由于法拉第(di)感(gan)應定律,時(shi)變(bian)磁場(chang)又可以生成(cheng)電場(chang)。這樣,兩個方程在(zai)理論上允(yun)許自我維(wei)持的電磁波傳播于空間。
麥克斯(si)韋電磁場(chang)理論的(de)要點可(ke)以歸(gui)結(jie)為:
①幾分立的(de)(de)(de)帶電體(ti)或電流(liu),它們之(zhi)間的(de)(de)(de)一切電的(de)(de)(de)及(ji)磁的(de)(de)(de)作用都是(shi)通過它們之(zhi)間的(de)(de)(de)中間區(qu)域傳遞的(de)(de)(de),不論中間區(qu)域是(shi)真空還(huan)是(shi)實(shi)體(ti)物(wu)質。
②電(dian)能或磁(ci)能不僅存在(zai)于帶(dai)電(dian)體(ti)、磁(ci)化體(ti)或帶(dai)電(dian)流物體(ti)中(zhong),其(qi)大部分分布(bu)在(zai)周圍的電(dian)磁(ci)場中(zhong)。
③導(dao)體構成的電路若有(you)中(zhong)斷處(chu),電路中(zhong)的傳導(dao)電流將由電介(jie)質(zhi)中(zhong)的位移(yi)電流補償貫通,即全(quan)電流連續。且(qie)位移(yi)電流與(yu)其所產生的磁場的關系與(yu)傳導(dao)電流的相同。
④磁通量既無(wu)始點又無(wu)終點,即不存在(zai)磁荷。
⑤光波也是電磁波。
麥克斯韋方(fang)程組有兩種表達方(fang)式。
1.積分形式(shi)的(de)麥克斯韋(wei)方程組是(shi)描述電磁場(chang)在某(mou)一體積或某(mou)一面(mian)積內的(de)數學模型(xing)。表(biao)達(da)式(shi)為:
式(shi)①是(shi)由(you)(you)安培環路定(ding)(ding)律推(tui)廣而得(de)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)全(quan)電(dian)流(liu)(liu)(liu)定(ding)(ding)律,其含義(yi)是(shi):磁(ci)(ci)場強度H沿任(ren)意閉(bi)(bi)(bi)合(he)曲(qu)線的(de)(de)(de)(de)(de)(de)線積(ji)分(fen),等(deng)于穿(chuan)過此曲(qu)線限定(ding)(ding)面(mian)積(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)全(quan)電(dian)流(liu)(liu)(liu)。等(deng)號右邊(bian)第一(yi)(yi)項是(shi)傳導電(dian)流(liu)(liu)(liu).第二項是(shi)位移(yi)電(dian)流(liu)(liu)(liu)。式(shi)②是(shi)法(fa)拉第電(dian)磁(ci)(ci)感應定(ding)(ding)律的(de)(de)(de)(de)(de)(de)表達(da)式(shi),它說(shuo)(shuo)明(ming)(ming)電(dian)場強度E沿任(ren)意閉(bi)(bi)(bi)合(he)曲(qu)線的(de)(de)(de)(de)(de)(de)線積(ji)分(fen)等(deng)于穿(chuan)過由(you)(you)該曲(qu)線所限定(ding)(ding)面(mian)積(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)磁(ci)(ci)通對時間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)變化率(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)負值。這里提(ti)到的(de)(de)(de)(de)(de)(de)閉(bi)(bi)(bi)合(he)曲(qu)線,并(bing)不一(yi)(yi)定(ding)(ding)要由(you)(you)導體(ti)構(gou)成,它可以是(shi)介(jie)質回(hui)路,甚至只是(shi)任(ren)意一(yi)(yi)個閉(bi)(bi)(bi)合(he)輪廓。式(shi)③表示磁(ci)(ci)通連續性原理,說(shuo)(shuo)明(ming)(ming)對于任(ren)意一(yi)(yi)個閉(bi)(bi)(bi)合(he)曲(qu)面(mian),有多少磁(ci)(ci)通進入(ru)曲(qu)面(mian)就有同樣(yang)數量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)磁(ci)(ci)通離開。即B線是(shi)既無(wu)始端又(you)無(wu)終端的(de)(de)(de)(de)(de)(de);同時也說(shuo)(shuo)明(ming)(ming)并(bing)不存在與(yu)電(dian)荷相對應的(de)(de)(de)(de)(de)(de)磁(ci)(ci)荷。式(shi)④是(shi)高(gao)斯定(ding)(ding)律的(de)(de)(de)(de)(de)(de)表達(da)式(shi),說(shuo)(shuo)明(ming)(ming)在時變的(de)(de)(de)(de)(de)(de)條件下,從任(ren)意一(yi)(yi)個閉(bi)(bi)(bi)合(he)曲(qu)面(mian)出來的(de)(de)(de)(de)(de)(de)D的(de)(de)(de)(de)(de)(de)凈通量,應等(deng)于該閉(bi)(bi)(bi)曲(qu)面(mian)所包圍(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)體(ti)積(ji)內全(quan)部自由(you)(you)電(dian)荷之總和。
2.微(wei)分形(xing)式的(de)麥克(ke)斯(si)(si)韋(wei)方程組。微(wei)分形(xing)式的(de)麥克(ke)斯(si)(si)韋(wei)方程是對場中每一點而(er)言的(de)。應(ying)用del算子,可以把它們寫成
式⑤是(shi)(shi)(shi)全電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)定律(lv)的(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)形式,它(ta)說(shuo)明磁(ci)(ci)場(chang)(chang)(chang)強(qiang)度(du)(du)H的(de)(de)(de)(de)旋(xuan)(xuan)度(du)(du)等(deng)(deng)于該(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)全電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)密(mi)度(du)(du)(傳導(dao)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)密(mi)度(du)(du)J與位(wei)移(yi)(yi)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)密(mi)度(du)(du)之(zhi)和),即磁(ci)(ci)場(chang)(chang)(chang)的(de)(de)(de)(de)漩渦源是(shi)(shi)(shi)全電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)密(mi)度(du)(du),位(wei)移(yi)(yi)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)與傳導(dao)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)一(yi)樣都能產生磁(ci)(ci)場(chang)(chang)(chang)。式⑥是(shi)(shi)(shi)法拉第電(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)感(gan)應(ying)定律(lv)的(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)形式,說(shuo)明電(dian)(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)強(qiang)度(du)(du)E的(de)(de)(de)(de)旋(xuan)(xuan)度(du)(du)等(deng)(deng)于該(gai)點(dian)磁(ci)(ci)通(tong)密(mi)度(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)時(shi)間(jian)變化率的(de)(de)(de)(de)負(fu)值(zhi),即電(dian)(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)的(de)(de)(de)(de)渦旋(xuan)(xuan)源是(shi)(shi)(shi)磁(ci)(ci)通(tong)密(mi)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)時(shi)間(jian)變化率。式⑦是(shi)(shi)(shi)磁(ci)(ci)通(tong)連續性原理的(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)形式,說(shuo)明磁(ci)(ci)通(tong)密(mi)度(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)散(san)度(du)(du)恒等(deng)(deng)于零,即B線是(shi)(shi)(shi)無(wu)始無(wu)終的(de)(de)(de)(de)。也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說(shuo)不存在與電(dian)(dian)(dian)荷對應(ying)的(de)(de)(de)(de)磁(ci)(ci)荷。式⑧是(shi)(shi)(shi)靜電(dian)(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)高斯定律(lv)的(de)(de)(de)(de)推(tui)廣(guang),即在時(shi)變條(tiao)件下,電(dian)(dian)(dian)位(wei)移(yi)(yi)D的(de)(de)(de)(de)散(san)度(du)(du)仍(reng)等(deng)(deng)于該(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)自(zi)由電(dian)(dian)(dian)荷體(ti)密(mi)度(du)(du)。
除了上(shang)述(shu)四個(ge)方程(cheng)外(wai),還需要有媒質的本構關(guan)系式
才能最終解決場量的(de)(de)(de)求(qiu)解問題。式中(zhong)ε是媒(mei)(mei)質的(de)(de)(de)介電常(chang)數,μ是媒(mei)(mei)質的(de)(de)(de)磁導率(lv),σ是媒(mei)(mei)質的(de)(de)(de)電導率(lv)。
麥克斯韋(wei)方程組的積分(fen)形式如下:
這是1873年前后,麥(mai)克斯韋(wei)提出的表述電磁場(chang)普遍規律的四個方程。其中:
(1)描述了電(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang)的性質(zhi)。在一般情況下,電(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang)可以(yi)是自由電(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)的電(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang)也可以(yi)是變化(hua)磁場(chang)激發的感應電(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang),而感應電(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang)是渦(wo)旋場(chang),它的電(dian)(dian)(dian)(dian)位移(yi)線是閉(bi)合的,對封閉(bi)曲面的通量(liang)無貢獻。
(2)描述了磁場(chang)的性質(zhi)。磁場(chang)可以(yi)由傳導電(dian)流激發(fa),也可以(yi)由變化電(dian)場(chang)的位移電(dian)流所激發(fa),它們的磁場(chang)都是渦(wo)旋場(chang),磁感應線(xian)都是閉合線(xian),對封閉曲面的通量無(wu)貢獻。
(3)描(miao)述(shu)了變化的磁(ci)場激(ji)發電場的規律。
(4)描述了傳導電流和變化的電場激(ji)發(fa)磁(ci)場的規律。
穩恒場中的形式
當
時,方程組就(jiu)還原(yuan)為靜電場和穩恒磁場的方程:
無場源自由空間中的形式
當,方程(cheng)組就成為如下(xia)形(xing)式:
麥(mai)克斯(si)韋方程組的(de)積分形式反映了空間某區域的(de)電(dian)(dian)磁場(chang)量(D、E、B、H)和場(chang)源(電(dian)(dian)荷q、電(dian)(dian)流I)之間的(de)關系。
在電(dian)(dian)(dian)磁(ci)場(chang)的(de)實際應用中,經(jing)常要(yao)知(zhi)道空間(jian)逐點的(de)電(dian)(dian)(dian)磁(ci)場(chang)量(liang)和(he)電(dian)(dian)(dian)荷、電(dian)(dian)(dian)流之間(jian)的(de)關系。從(cong)數學形(xing)式(shi)上,就是將麥(mai)克斯(si)韋方程組(zu)的(de)積分形(xing)式(shi)化為微分形(xing)式(shi)。倒三角(jiao)形(xing)為哈密頓(dun)算子(zi)。
注意:
(1)在(zai)不同(tong)的慣性參照系(xi)中(zhong),麥(mai)克斯韋(wei)方程組有同(tong)樣的形(xing)式(shi)。
(2)應用麥克斯(si)韋方程組(zu)解決實際問題,還要(yao)考(kao)慮(lv)介(jie)質(zhi)對電(dian)磁場的影(ying)響。例(li)如(ru)在(zai)均勻各向同(tong)性介(jie)質(zhi)中(zhong),電(dian)磁場量(liang)(liang)與介(jie)質(zhi)特性量(liang)(liang)有下列關系:
在(zai)(zai)非(fei)均勻介質中,還要(yao)考慮電磁(ci)場量(liang)在(zai)(zai)界(jie)面(mian)上的(de)邊值關系。在(zai)(zai)利(li)用t=0時(shi)場量(liang)的(de)初值條件,原(yuan)則上可(ke)以求出任一(yi)時(shi)刻空(kong)間任一(yi)點的(de)電磁(ci)場,即(ji)E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。
下面是高斯(si)單位制下的麥克(ke)斯(si)韋方程(cheng)組
當有(you)介(jie)質(zhi)(zhi)存(cun)在時(shi),由于電(dian)場(chang)和磁場(chang)與介(jie)質(zhi)(zhi)的(de)相互影響,使電(dian)磁場(chang)量與介(jie)質(zhi)(zhi)的(de)特性(xing)有(you)關,因此上(shang)述麥克斯韋方(fang)程(cheng)組在這時(shi)還不是完備的(de),還需要再補(bu)充(chong)描述介(jie)質(zhi)(zhi)(各向同(tong)性(xing)介(jie)質(zhi)(zhi))性(xing)質(zhi)(zhi)的(de)物性(xing)方(fang)程(cheng),分(fen)別為
式中,ε、μ和σ分別(bie)是介(jie)質的(de)絕對介(jie)電常數(shu)、絕對磁導(dao)率和導(dao)體的(de)電導(dao)率。
進一(yi)步的(de)理論證明麥克斯韋方程組(zu)式與(yu)物性方程式一(yi)起對于(yu)決定電(dian)磁場的(de)變(bian)化(hua)來說(shuo)是一(yi)組(zu)完備(bei)的(de)方程式。這就(jiu)是說(shuo),當(dang)電(dian)荷、電(dian)流(liu)給定時,從(cong)上述方程根據初始條件(jian)(以及必要(yao)(yao)的(de)邊界條件(jian))就(jiu)可(ke)以完全(quan)決定電(dian)磁場的(de)變(bian)化(hua)。當(dang)然,如果要(yao)(yao)討論電(dian)磁場對帶(dai)電(dian)粒子(zi)的(de)作用以及帶(dai)電(dian)粒子(zi)在電(dian)磁場中的(de)運(yun)動,還需要(yao)(yao)洛倫茲力公式。
對于正弦時變場,可(ke)以使用復矢量(liang)將電磁場定律表示為復數形式。
在復數(shu)形(xing)式的(de)(de)(de)電(dian)磁場(chang)定(ding)律中,由于復數(shu)場(chang)量和(he)源量都只是空(kong)間位置(zhi)的(de)(de)(de)函數(shu),在求解時,不必再考慮它們(men)與(yu)時間的(de)(de)(de)依賴關系。因此,對討論(lun)正弦時變(bian)場(chang)來說面采用復數(shu)形(xing)式的(de)(de)(de)電(dian)磁場(chang)定(ding)律是較(jiao)為方便的(de)(de)(de)。
采(cai)用不(bu)同(tong)的單位制(zhi),麥(mai)克斯(si)韋方程組的形式(shi)會稍微有所(suo)改變,大致形式(shi)仍(reng)舊相同(tong),只是不(bu)同(tong)的常數會出現在方程內部不(bu)同(tong)位置。
國際單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是最(zui)常使(shi)用(yong)(yong)的(de)(de)單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),整(zheng)個工程學領域都采(cai)用(yong)(yong)這種單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),大(da)多數化(hua)學家也都使(shi)用(yong)(yong)這種單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),大(da)學物理(li)教(jiao)科(ke)書幾乎(hu)都采(cai)用(yong)(yong)這種單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。其(qi)它(ta)常用(yong)(yong)的(de)(de)單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)有高(gao)斯(si)單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)、洛(luo)倫(lun)茲(zi)-赫維(wei)賽德(de)(de)單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(Lorentz-Heaviside units)和普朗(lang)克單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。由厘(li)米(mi)(mi)-克-秒(miao)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)衍(yan)生的(de)(de)高(gao)斯(si)單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),比(bi)較適合于(yu)教(jiao)學用(yong)(yong)途,能夠(gou)使(shi)得方(fang)程看起來更簡單(dan)、更易(yi)懂(dong)。洛(luo)倫(lun)茲(zi)-赫維(wei)賽德(de)(de)單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)也是衍(yan)生于(yu)厘(li)米(mi)(mi)-克-秒(miao)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),主要用(yong)(yong)于(yu)粒子(zi)物理(li)學;普朗(lang)克單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是一(yi)種自然單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi),其(qi)單(dan)位(wei)都是根(gen)據自然的(de)(de)性質定(ding)義,不(bu)是由人為設定(ding)。普朗(lang)克單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是研究理(li)論物理(li)學非常有用(yong)(yong)的(de)(de)工具(ju),能夠(gou)給出很大(da)的(de)(de)啟示。在(zai)本頁里,除非特別說明,所有方(fang)程都采(cai)用(yong)(yong)國際單(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。
這里展示出麥克斯韋方程組的兩種(zhong)等價表(biao)述。第一種(zhong)表(biao)述如下:
這(zhe)種(zhong)表述將自(zi)由電(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)(he)和束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)(he)總和為高(gao)斯定(ding)律(lv)所需要(yao)(yao)的(de)總電(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)(he),又將自(zi)由電(dian)(dian)(dian)(dian)流、束縛(fu)電(dian)(dian)(dian)(dian)流和電(dian)(dian)(dian)(dian)極(ji)化電(dian)(dian)(dian)(dian)流總合為麥克斯韋-安培定(ding)律(lv)內的(de)總電(dian)(dian)(dian)(dian)流。這(zhe)種(zhong)表述采用(yong)比較基礎、微觀的(de)觀點。這(zhe)種(zhong)表述可以應用(yong)于(yu)計(ji)(ji)算在真空里(li)有限源電(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)(he)與(yu)源電(dian)(dian)(dian)(dian)流所產(chan)生的(de)電(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang)與(yu)磁(ci)場(chang)。但是,對于(yu)物(wu)質內部超(chao)多的(de)電(dian)(dian)(dian)(dian)子與(yu)原子核,實際(ji)而(er)言(yan),無法一一納入計(ji)(ji)算。事(shi)實上,經典電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)學也不需要(yao)(yao)這(zhe)么精確(que)的(de)答案。
第二種表述(shu)見前(qian)所述(shu)“積分形式”中(zhong)的(de)(de)“一(yi)般形式”。它以自由(you)電(dian)(dian)(dian)(dian)荷和(he)(he)自由(you)電(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)為源頭,而不直接計(ji)算(suan)出(chu)(chu)現于電(dian)(dian)(dian)(dian)介(jie)質(zhi)的(de)(de)束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)(dian)荷和(he)(he)出(chu)(chu)現于磁化(hua)物(wu)質(zhi)的(de)(de)束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)和(he)(he)電(dian)(dian)(dian)(dian)極化(hua)電(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)所給出(chu)(chu)的(de)(de)貢獻。由(you)于在一(yi)般實際狀況(kuang),能夠直接控制的(de)(de)參數是自由(you)電(dian)(dian)(dian)(dian)荷和(he)(he)自由(you)電(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu),而束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)(dian)荷、束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)和(he)(he)電(dian)(dian)(dian)(dian)極化(hua)電(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)是物(wu)質(zhi)經(jing)過極化(hua)后產生(sheng)的(de)(de)現象,采(cai)用這種表述(shu)會使(shi)得在介(jie)電(dian)(dian)(dian)(dian)質(zhi)或磁化(hua)物(wu)質(zhi)內各(ge)種物(wu)理計(ji)算(suan)更加簡易。
表面上看(kan),麥(mai)克(ke)斯韋(wei)方程組(zu)似乎是超定(ding)(ding)(ding)的(de)(de)(overdetermined)方程組(zu),它只有(you)(you)六(liu)個(ge)未知(zhi)量(liang)(liang)(liang)(矢量(liang)(liang)(liang)電(dian)場、磁場各擁有(you)(you)三(san)個(ge)未知(zhi)量(liang)(liang)(liang),電(dian)流與(yu)電(dian)荷(he)不(bu)是未知(zhi)量(liang)(liang)(liang),而是自由設定(ding)(ding)(ding)并符合電(dian)荷(he)守恒的(de)(de)物理量(liang)(liang)(liang)),但卻有(you)(you)八個(ge)方程(兩(liang)個(ge)高斯定(ding)(ding)(ding)律(lv)共(gong)有(you)(you)兩(liang)個(ge)方程,法拉第定(ding)(ding)(ding)律(lv)與(yu)安培定(ding)(ding)(ding)律(lv)是矢量(liang)(liang)(liang)式(shi),各含有(you)(you)三(san)個(ge)方程)。這狀況(kuang)與(yu)麥(mai)克(ke)斯韋(wei)方程組(zu)的(de)(de)某種有(you)(you)限重復性有(you)(you)關。從理論可以推導出,任何滿(man)足(zu)法拉第定(ding)(ding)(ding)律(lv)與(yu)安培定(ding)(ding)(ding)律(lv)的(de)(de)系統必定(ding)(ding)(ding)滿(man)足(zu)兩(liang)個(ge)高斯定(ding)(ding)(ding)律(lv)。
另一方面,麥(mai)克斯韋方程組又是不封閉的。只有給定了電(dian)磁(ci)介質(zhi)的特(te)性(xing),此(ci)方程組才(cai)能(neng)得到定解。
麥(mai)克斯韋方(fang)程(cheng)組(zu)通常(chang)應用于各種場的(de)“宏觀(guan)(guan)平(ping)均(jun)場”。當尺度縮小至(zhi)(zhi)微(wei)觀(guan)(guan)(microscopic scale),以至(zhi)(zhi)于接近單獨原子大(da)小的(de)時(shi)侯,這些場的(de)局部波動差(cha)異(yi)將變得無法忽略,量(liang)子現象也(ye)會開始出現。只有(you)在(zai)宏觀(guan)(guan)平(ping)均(jun)的(de)前提下(xia),一些物理量(liang)如物質的(de)電容率和磁導率才會得到(dao)有(you)意(yi)義(yi)的(de)定義(yi)值。
最(zui)重的(de)(de)(de)(de)原子(zi)(zi)(zi)核(he)的(de)(de)(de)(de)半徑大(da)約為(wei)(wei)(wei)7飛(fei)米(mi)(1fm=10-15m)。所以(yi),在經(jing)(jing)典(dian)電(dian)(dian)磁學里,微(wei)觀尺(chi)度(du)(du)指的(de)(de)(de)(de)是(shi)尺(chi)寸的(de)(de)(de)(de)數(shu)量級(ji)大(da)于10-14m 。滿足微(wei)觀尺(chi)度(du)(du),電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)和原子(zi)(zi)(zi)核(he)可以(yi)視(shi)為(wei)(wei)(wei)點電(dian)(dian)荷,微(wei)觀麥克斯(si)韋方(fang)程(cheng)組(zu)成立;否則,必需(xu)將原子(zi)(zi)(zi)核(he)內(nei)部的(de)(de)(de)(de)電(dian)(dian)荷分布納入(ru)考(kao)量。在微(wei)觀尺(chi)度(du)(du)計算(suan)(suan)出來的(de)(de)(de)(de)電(dian)(dian)場與(yu)磁場仍舊變化相當劇烈(lie),空(kong)間變化的(de)(de)(de)(de)距(ju)離數(shu)量級(ji)小于10-10m,時間變化的(de)(de)(de)(de)周期(qi)數(shu)量級(ji)在10-17至10-13秒(miao)之間。因(yin)此,從微(wei)觀麥克斯(si)韋方(fang)程(cheng)組(zu),必需(xu)經(jing)(jing)過(guo)經(jing)(jing)典(dian)平均(jun)運(yun)算(suan)(suan),才能得到平滑、連續、緩(huan)慢變化的(de)(de)(de)(de)宏(hong)觀電(dian)(dian)場與(yu)宏(hong)觀磁場。宏(hong)觀尺(chi)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)最(zui)低(di)極(ji)限為(wei)(wei)(wei)10-8米(mi)。這意味著電(dian)(dian)磁波的(de)(de)(de)(de)反(fan)射與(yu)折射行(xing)為(wei)(wei)(wei)可以(yi)用宏(hong)觀麥克斯(si)韋方(fang)程(cheng)組(zu)來描(miao)述。以(yi)這最(zui)低(di)極(ji)限為(wei)(wei)(wei)邊長,體(ti)積為(wei)(wei)(wei)10-24立方(fang)米(mi)的(de)(de)(de)(de)立方(fang)體(ti)大(da)約含有106個原子(zi)(zi)(zi)核(he)和電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)。這么多原子(zi)(zi)(zi)核(he)和電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)的(de)(de)(de)(de)物(wu)理(li)行(xing)為(wei)(wei)(wei),經(jing)(jing)過(guo)經(jing)(jing)典(dian)平均(jun)運(yun)算(suan)(suan),足以(yi)平緩(huan)任何劇烈(lie)的(de)(de)(de)(de)漲落。根據可靠文獻記載,經(jing)(jing)典(dian)平均(jun)運(yun)算(suan)(suan)只需(xu)要(yao)(yao)在空(kong)間作(zuo)平均(jun)運(yun)算(suan)(suan),不需(xu)要(yao)(yao)在時間作(zuo)平均(jun)運(yun)算(suan)(suan),也不需(xu)要(yao)(yao)考(kao)慮(lv)到原子(zi)(zi)(zi)的(de)(de)(de)(de)量子(zi)(zi)(zi)效(xiao)應。
場概念的產生,也(ye)有麥(mai)克斯(si)韋的一份功勞,這是(shi)當(dang)時物(wu)理學中一個偉大的創舉,因為正是(shi)場概念的出(chu)現(xian),使當(dang)時許多物(wu)理學家得以從牛(niu)頓“超距(ju)(ju)觀(guan)念”的束縛中擺脫出(chu)來,普遍地接受(shou)了電磁作(zuo)用(yong)和引(yin)力作(zuo)用(yong)都是(shi)“近距(ju)(ju)作(zuo)用(yong)”的思想。
麥克斯(si)韋方程組(zu)在電(dian)磁學(xue)(xue)與經典電(dian)動(dong)力(li)學(xue)(xue)中的地(di)位,如同牛頓(dun)運動(dong)定(ding)律在牛頓(dun)力(li)學(xue)(xue)中的地(di)位一(yi)樣。以(yi)(yi)麥克斯(si)韋方程組(zu)為(wei)核(he)心的電(dian)磁理(li)論(lun),是經典物理(li)學(xue)(xue)最引以(yi)(yi)自豪的成就之一(yi)。它(ta)所揭示出的電(dian)磁相互作(zuo)用(yong)的完美統一(yi),為(wei)物理(li)學(xue)(xue)家樹立了這樣一(yi)種(zhong)信念:物質的各種(zhong)相互作(zuo)用(yong)在更高層次(ci)上(shang)應該是統一(yi)的。這個理(li)論(lun)被廣泛地(di)應用(yong)到技術(shu)領域。
(一)經典(dian)場(chang)論是(shi)19世紀后期(qi)麥克斯(si)(si)韋(wei)(wei)(wei)在總結電磁(ci)學三大(da)實驗定(ding)律并(bing)把它(ta)與力(li)(li)學模型進行類(lei)比的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上(shang)創立(li)起來(lai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。但(dan)麥克斯(si)(si)韋(wei)(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)主要(yao)功績恰恰使他能夠跳出經典(dian)力(li)(li)學框(kuang)(kuang)架(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)束縛:在物(wu)理(li)上(shang)以“場(chang)”而不(bu)是(shi)以“力(li)(li)”作(zuo)為基本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研究(jiu)對(dui)象,在數(shu)學上(shang)引(yin)入(ru)了(le)有別于經典(dian)數(shu)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)矢量(liang)偏微分運(yun)算符。這兩(liang)條(tiao)是(shi)發現電磁(ci)波方程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎。這就是(shi)說,實際上(shang)麥克斯(si)(si)韋(wei)(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)已(yi)經沖破經典(dian)物(wu)理(li)學和當(dang)時數(shu)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)框(kuang)(kuang)架(jia),只是(shi)由于當(dang)時的(de)(de)(de)(de)(de)(de)歷史條(tiao)件,人們仍然(ran)只能從牛頓(dun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)微積分和經典(dian)力(li)(li)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)框(kuang)(kuang)架(jia)去理(li)解電磁(ci)場(chang)理(li)論。
現(xian)(xian)代(dai)數學,Hilbert空(kong)間中的(de)數學分(fen)析(xi)是(shi)在19世(shi)紀與20世(shi)紀之交的(de)時(shi)候(hou)才出現(xian)(xian)的(de)。而(er)量子力學的(de)物(wu)質(zhi)波的(de)概念則在更晚的(de)時(shi)候(hou)才被發現(xian)(xian),特別是(shi)對于現(xian)(xian)代(dai)數學與量子物(wu)理(li)(li)學之間的(de)不可分(fen)割的(de)數理(li)(li)邏輯聯系至今也(ye)還沒(mei)有完全(quan)被人們所(suo)理(li)(li)解(jie)和(he)接受。從麥克斯韋建立電磁場(chang)理(li)(li)論到如今,人們一直以歐氏空(kong)間中的(de)經典(dian)數學作(zuo)為求解(jie)麥克斯韋方(fang)程組(zu)的(de)基本方(fang)法。
(二)我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)從麥(mai)克斯韋(wei)方程組的產生、形(xing)式(shi)、內容和(he)它(ta)的歷史過程中可以看到:第一(yi),物理(li)對(dui)(dui)(dui)象(xiang)是在(zai)(zai)更深的層(ceng)次上發展成為新的公(gong)理(li)表達(da)方式(shi)而被人(ren)類所(suo)掌握,所(suo)以科學的進步不(bu)會是在(zai)(zai)既定的前提下演(yan)進的,一(yi)種新的具有認(ren)識(shi)(shi)意(yi)義的公(gong)理(li)體系(xi)的建(jian)立(li)才是科學理(li)論進步的標志。第二,物理(li)對(dui)(dui)(dui)象(xiang)與對(dui)(dui)(dui)它(ta)的表達(da)方式(shi)雖然(ran)是不(bu)同的東西,但如果不(bu)依靠合(he)適的表達(da)方法就無法認(ren)識(shi)(shi)到這(zhe)個對(dui)(dui)(dui)象(xiang)的“存在(zai)(zai)”。第三,我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)正在(zai)(zai)建(jian)立(li)的理(li)論將決定到我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)在(zai)(zai)何種層(ceng)次的意(yi)義上使我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)的對(dui)(dui)(dui)象(xiang)成為物理(li)事實,這(zhe)正是現代最前沿(yan)的物理(li)學所(suo)給我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)帶來(lai)的困惑。
(三)麥克(ke)斯韋方程組揭示了(le)電場(chang)與(yu)磁場(chang)相互轉化中(zhong)(zhong)產生的(de)(de)(de)對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing)優美,這(zhe)種優美以現(xian)代數學(xue)形式(shi)得到(dao)充分的(de)(de)(de)表達(da)。但是(shi),我(wo)們一(yi)方面應(ying)當承(cheng)認,恰當的(de)(de)(de)數學(xue)形式(shi)才能充分展示經驗方法中(zhong)(zhong)看不到(dao)的(de)(de)(de)整(zheng)體性(xing)(xing)(電磁對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing));另一(yi)方面,我(wo)們也不應(ying)當忘記,這(zhe)種對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing)的(de)(de)(de)優美是(shi)以數學(xue)形式(shi)反映出(chu)來的(de)(de)(de)電磁場(chang)的(de)(de)(de)統一(yi)本質(zhi)。因此,我(wo)們應(ying)當認識到(dao)應(ying)在數學(xue)的(de)(de)(de)表達(da)方式(shi)中(zhong)(zhong)“發現(xian)”或“看出(chu)”了(le)這(zhe)種對(dui)稱(cheng)性(xing)(xing),而不是(shi)從物(wu)理數學(xue)公式(shi)中(zhong)(zhong)直接推(tui)演(yan)出(chu)這(zhe)種本質(zhi)。