復變函數(shu)(shu)中,e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐拉公式,e是(shi)自然(ran)對數(shu)(shu)的(de)底,i是(shi)虛數(shu)(shu)單位。
拓撲學中,在(zai)任(ren)何一個(ge)(ge)規則(ze)球面地(di)(di)圖上(shang),用R記(ji)區域個(ge)(ge)數(shu),V記(ji)頂(ding)點個(ge)(ge)數(shu),E記(ji)邊(bian)界個(ge)(ge)數(shu),則(ze)R+V-E=2,這就(jiu)是歐(ou)拉定(ding)理,它于(yu)1640年由Descartes首(shou)先給(gei)出證明,后來Euler(歐(ou)拉)于(yu)1752年又獨立地(di)(di)給(gei)出證明,我們(men)稱(cheng)其為歐(ou)拉定(ding)理,在(zai)國(guo)外也有人稱(cheng)其為Descartes定(ding)理。
把復指數(shu)(shu)函數(shu)(shu)與三角函數(shu)(shu)聯系起來的(de)(de)(de)一個公(gong)式(shi),,e是自然(ran)對(dui)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)底,i是虛數(shu)(shu)單位。它將(jiang)指數(shu)(shu)函數(shu)(shu)的(de)(de)(de)定義域擴大到復數(shu)(shu),建立了三角函數(shu)(shu)和指數(shu)(shu)函數(shu)(shu)的(de)(de)(de)關系,它不僅出現在數(shu)(shu)學(xue)分析里,而且在復變函數(shu)(shu)論里也占有非(fei)常(chang)重要的(de)(de)(de)地位,更(geng)被譽為“數(shu)(shu)學(xue)中的(de)(de)(de)天橋”。
拓撲(pu)學又稱(cheng)“連(lian)續(xu)幾何學”。
幾何(he)學的(de)(de)一門(men)分(fen)科。研究幾何(he)圖形經過連續形變后(hou)仍(reng)能保持的(de)(de)性質。包(bao)括點集拓(tuo)撲(pu)、代(dai)數(shu)拓(tuo)撲(pu)、微分(fen)拓(tuo)撲(pu)等(deng)分(fen)支。
在代(dai)數拓撲(pu)(pu)中,歐拉示性(xing)數(Euler characteristic)是(shi)一(yi)(yi)個拓撲(pu)(pu)不(bu)變(bian)量(事(shi)實上,是(shi)同倫不(bu)變(bian)量),對(dui)于一(yi)(yi)大類拓撲(pu)(pu)空(kong)間有(you)定義。它通(tong)常記作。
二維拓撲多面體的歐(ou)拉示(shi)性數可以用以下公(gong)式計算:
其中(zhong)V、E和F分別(bie)是點、邊和面(mian)的個數。 特別(bie)的有(you),對于(yu)所有(you)和一個球面(mian)同胚的多面(mian)體,我(wo)們有(you)
(1)當R=2時,由說明(ming)1,這(zhe)兩(liang)個(ge)(ge)區域可想象為以赤(chi)道(dao)為邊界的兩(liang)個(ge)(ge)半球面,赤(chi)道(dao)上(shang)有(you)兩(liang)個(ge)(ge)“頂(ding)點(dian)”將赤(chi)道(dao)分成(cheng)兩(liang)條(tiao)“邊界”,即 R= 2,V= 2,E= 2;于是 R+ V- E= 2,歐拉定(ding)理成(cheng)立.。
(2)設R=m(m≥2)時歐拉定(ding)理(li)成立(li),下面證(zheng)明(ming)R=m+1時歐拉定(ding)理(li)也成立(li)。
由說明2,我們在(zai)R=m+1的(de)(de)地圖上任選(xuan)一(yi)(yi)個(ge)區域X,則X必有與它如此(ci)相鄰的(de)(de)區域Y,使(shi)得在(zai)去掉X和(he)Y之(zhi)間的(de)(de)唯一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)后(hou),地圖上只有m個(ge)區域了;在(zai)去掉X和(he)Y之(zhi)間的(de)(de)邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)后(hou),若原該邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)兩端的(de)(de)頂(ding)(ding)(ding)點(dian)(dian)現在(zai)都還(huan)是3條(tiao)(tiao)或3條(tiao)(tiao)以上邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)的(de)(de)頂(ding)(ding)(ding)點(dian)(dian),則該頂(ding)(ding)(ding)點(dian)(dian)保(bao)留(liu),同時其他(ta)的(de)(de)邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)數不(bu)變;若原該邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)一(yi)(yi)端或兩端的(de)(de)頂(ding)(ding)(ding)點(dian)(dian)現在(zai)成為(wei)2條(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)的(de)(de)頂(ding)(ding)(ding)點(dian)(dian),則去掉該頂(ding)(ding)(ding)點(dian)(dian),該頂(ding)(ding)(ding)點(dian)(dian)兩邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)的(de)(de)兩條(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)便成為(wei)一(yi)(yi)條(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)。于是,在(zai)去掉X和(he)Y之(zhi)間的(de)(de)唯一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)(bian)界(jie)時只有三種情(qing)況:
①減少一個(ge)區域和一條(tiao)邊界;
②減(jian)少一(yi)個(ge)區域(yu)、一(yi)個(ge)頂(ding)點和兩條邊界;
③減少一個區域、兩個頂(ding)點和三條邊界;
即在去掉X和(he)Y之間(jian)(jian)的邊(bian)(bian)界時,不論何種情況都(dou)必定有(you)“減(jian)少(shao)的區域(yu)數(shu)(shu)+減(jian)少(shao)的頂(ding)(ding)點數(shu)(shu)=減(jian)少(shao)的邊(bian)(bian)界數(shu)(shu)”我們將上述過程反過來(即將X和(he)Y之間(jian)(jian)去掉的邊(bian)(bian)界又照原樣畫上),就又成為(wei)R= m+ 1的地圖了,在這一過程中必然是“增加的區域(yu)數(shu)(shu)+ 增加的頂(ding)(ding)點數(shu)(shu) = 增加的邊(bian)(bian)界數(shu)(shu)”。
因(yin)此 ,若 R= m (m≥2)時(shi)歐(ou)拉定理成(cheng)立 ,則 R= m+ 1時(shi)歐(ou)拉定理也成(cheng)立.。
由(1)和(2)可知,對于任何正(zheng)整數R≥2,歐拉定理成(cheng)立(li)。
第一個歐拉(la)公式的嚴格證(zheng)明,由20歲的柯西給出,大致如下(xia):
從多(duo)面(mian)體(ti)去掉(diao)一(yi)面(mian),通過把去掉(diao)的面(mian)的邊(bian)互相(xiang)拉遠,把所有剩下的面(mian)變(bian)(bian)成點和曲線的平面(mian)網(wang)絡。不(bu)失一(yi)般性,可以(yi)假設變(bian)(bian)形的邊(bian)繼續保(bao)持為(wei)直線段。正常的面(mian)不(bu)再是(shi)正常的多(duo)邊(bian)形即使開始的時候它們是(shi)正常的。但是(shi),點,邊(bian)和面(mian)的個數(shu)保(bao)持不(bu)變(bian)(bian),和給定多(duo)面(mian)體(ti)的一(yi)樣(移去的面(mian)對應(ying)網(wang)絡的外部(bu)。)
重復(fu)一系列可以(yi)簡化網(wang)絡卻不改變其歐拉數(也是歐拉示(shi)性數)的(de)額(e)外變換。
若有(you)(you)一(yi)個多邊(bian)形面有(you)(you)3條邊(bian)以上,我們劃(hua)一(yi)個對角(jiao)線。這增加一(yi)條邊(bian)和一(yi)個面。繼續增加邊(bian)直到所有(you)(you)面都是(shi)三角(jiao)形。
除(chu)掉只有一(yi)條邊和(he)外部相鄰的三角形(xing)。這把邊和(he)面(mian)的個數各(ge)減一(yi)而保持(chi)頂點數不變。
(逐(zhu)個(ge)(ge))除去所有(you)和網(wang)絡外(wai)部共享(xiang)兩條邊的三角形。這會減少一(yi)個(ge)(ge)頂點、兩條邊和一(yi)個(ge)(ge)面。
重復使(shi)用(yong)第(di)(di)2步和第(di)(di)3步直到只剩一個三角形(xing)。對于(yu)一個三角形(xing)(把外部數在內),。所以(yi)。
設想(xiang)這個(ge)(ge)多面(mian)體是(shi)先有一個(ge)(ge)面(mian),然后(hou)將其他(ta)各(ge)面(mian)一個(ge)(ge)接一個(ge)(ge)地(di)添裝上(shang)去的.因為一共(gong)有F個(ge)(ge)面(mian),因此要(yao)添(F-1)個(ge)(ge)面(mian).
考(kao)察第Ⅰ個面,設它(ta)是n邊形,有(you)n個頂(ding)點,n條邊,這時E=V,即(ji)棱數等(deng)于(yu)頂(ding)點數.
添上第Ⅱ個(ge)面后(hou),因為一條棱(leng)與(yu)原來(lai)的(de)棱(leng)重合,而且有兩個(ge)頂(ding)(ding)點(dian)(dian)和第Ⅰ個(ge)面的(de)兩個(ge)頂(ding)(ding)點(dian)(dian)重合,所以增(zeng)加(jia)的(de)棱(leng)數比增(zeng)加(jia)的(de)頂(ding)(ding)點(dian)(dian)數多(duo)1,因此,這時(shi)E=V+1.
以后每增(zeng)(zeng)添一(yi)個面,總是增(zeng)(zeng)加(jia)的棱數比增(zeng)(zeng)加(jia)的頂點數多1,例如
增添兩(liang)個(ge)面(mian)后,有關系E=V+2;
增添(tian)三個面后,有關系E=V+3;
……
增(zeng)添(F-2)個面后,有關系(xi)E=V+(F-2).
最后增(zeng)添一個面(mian)后,就成為(wei)多(duo)面(mian)體,這時棱數(shu)和頂(ding)點數(shu)都沒有增(zeng)加.因此,關(guan)系式仍為(wei)E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
這(zhe)個(ge)公式(shi)叫(jiao)做歐拉(la)公式(shi).它(ta)表(biao)明2這(zhe)個(ge)數是簡(jian)單多面體(ti)表(biao)面在連(lian)續變(bian)形下不變(bian)的數。
當(dang)r=0或1時(shi)式(shi)子的值(zhi)為(wei)0,當(dang)r=2時(shi)值(zhi)為(wei)1,當(dang)r=3時(shi)值(zhi)為(wei)a+b+c。
設△ABC的外心(xin)為(wei)(wei)O,內心(xin)為(wei)(wei)I,外接(jie)圓半徑為(wei)(wei)R,內切(qie)圓半徑為(wei)(wei)r,又記外心(xin)、內心(xin)的距離OI為(wei)(wei)d,則(ze)有
(1)式稱為歐拉公(gong)式。
為了證明(1)式,我(wo)們現(xian)將它改成
(2)式左邊是點I對于(yu)⊙O的冪(mi):過(guo)圓內(nei)任一(yi)點P的弦被P分成兩個(ge)部分,這(zhe)兩個(ge)部分的乘積是一(yi)個(ge)定值,稱(cheng)為P關于(yu)⊙O的冪(mi)。事實上,如果將OI延長交圓于(yu)E、F,那么
因此,設AI交⊙O于(yu)M,則
因此,只需證明
為了證明(ming)(5)式,應當尋(xun)找兩個相似的三(san)角形(xing)。一(yi)(yi)個以(yi)長(chang)IA、r為邊;另(ling)一(yi)(yi)個以(yi)長(chang)2R、MI為邊。前一(yi)(yi)個不難找,△IDA就是(shi),D是(shi)內切圓與(yu)AC的切點。后一(yi)(yi)個也(ye)必須是(shi)直角三(san)角形(xing),所以(yi)一(yi)(yi)邊是(shi)直徑ML,另(ling)一(yi)(yi)個頂點也(ye)應當在圓上。△MBL就滿足要(yao)求。
因此(5)式(shi)成(cheng)立(li),從(cong)而(1)式(shi)成(cheng)立(li)。
因為,所以(yi)由歐拉(la)公(gong)式(shi)得出一個副產品(pin),即
特征函(han)數用歐拉(la)公式:隨機變量(liang)X的特征函(han)數定(ding)義為
眾所周知,生活中處(chu)處(chu)存在(zai)著(zhu)摩擦力,歐拉(la)測算(suan)出了摩擦力與繩(sheng)索(suo)纏繞在(zai)樁上圈數(shu)之間的關系。現將歐拉(la)這個頗有價值的公(gong)式列(lie)在(zai)這里(li):
其(qi)中,f表(biao)示我們施(shi)加(jia)的(de)力(li),F表(biao)示與(yu)其(qi)對抗的(de)力(li),e為(wei)自然對數的(de)底,k表(biao)示繩與(yu)樁(zhuang)之間的(de)摩擦系(xi)數,a表(biao)示纏(chan)繞轉角(jiao),即繩索纏(chan)繞形(xing)成的(de)弧(hu)長與(yu)弧(hu)半徑之比。
設(she)G為n階(jie)m條邊r個面(mian)(mian)的(de)連通平面(mian)(mian)圖,則n-m+r=2,此(ci)公(gong)式(shi)稱(cheng)為歐拉公(gong)式(shi)。可以通過歸納(na)法(fa)證(zheng)明,且(qie)證(zheng)明方法(fa)和拓撲學中(zhong)的(de)類似(si),此(ci)處略去(qu)。盡管和拓撲中(zhong)的(de)歐拉公(gong)式(shi)十分(fen)相似(si),但圖論在(zai)現代一般劃分(fen)在(zai)離散數(shu)學的(de)研究(jiu)范疇(chou)內(nei),因此(ci)在(zai)這里單(dan)獨(du)列出。