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復變函數(shu)中，e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐拉(la)公式，e是自然(ran)對數(shu)的底，i是虛數(shu)單位(wei)。

拓撲學(xue)中(zhong)，在任何一(yi)個規則(ze)球面(mian)地圖上，用R記區域個數(shu)(shu)，V記頂點個數(shu)(shu)，E記邊界個數(shu)(shu)，則(ze)R+V-E=2，這就是歐(ou)(ou)拉(la)定理，它于1640年由(you)Descartes首先給出(chu)證明，后來Euler(歐(ou)(ou)拉(la))于1752年又獨(du)立(li)地給出(chu)證明，我(wo)們(men)稱(cheng)其為(wei)歐(ou)(ou)拉(la)定理，在國外也有人稱(cheng)其為(wei)Descartes定理。

復變函數

把復指(zhi)數(shu)(shu)(shu)函(han)數(shu)(shu)(shu)與(yu)三角(jiao)函(han)數(shu)(shu)(shu)聯系(xi)起來(lai)的(de)一個公(gong)式，，e是(shi)自(zi)然對數(shu)(shu)(shu)的(de)底，i是(shi)虛數(shu)(shu)(shu)單位。它將指(zhi)數(shu)(shu)(shu)函(han)數(shu)(shu)(shu)的(de)定義域擴大(da)到(dao)復數(shu)(shu)(shu)，建立了三角(jiao)函(han)數(shu)(shu)(shu)和指(zhi)數(shu)(shu)(shu)函(han)數(shu)(shu)(shu)的(de)關系(xi)，它不(bu)僅(jin)出現在數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)分析里，而且在復變函(han)數(shu)(shu)(shu)論(lun)里也占有非常重(zhong)要的(de)地位，更(geng)被譽為“數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)中的(de)天橋”。

拓撲學

拓撲學又稱(cheng)“連續幾何學”。

幾何學的一門分科。研究幾何圖形(xing)經過連(lian)續形(xing)變后仍能保(bao)持的性質(zhi)。包括(kuo)點集拓撲(pu)、代(dai)數拓撲(pu)、微分拓撲(pu)等分支(zhi)。

在代數拓(tuo)(tuo)撲中，歐拉示性數（Euler characteristic）是一個拓(tuo)(tuo)撲不變量(liang)（事實上，是同倫不變量(liang)），對(dui)于(yu)一大類(lei)拓(tuo)(tuo)撲空間(jian)有定(ding)義。它(ta)通常(chang)記(ji)作。

二維(wei)拓撲多面(mian)體的(de)歐拉示(shi)性數可以用以下公式(shi)計算：

其中(zhong)V、E和(he)F分(fen)別是點、邊和(he)面的(de)個(ge)數。 特別的(de)有，對(dui)于所有和(he)一個(ge)球(qiu)面同胚的(de)多面體，我們有

拓撲學中歐拉公式的證明

用數學歸納法證明

(1)當R=2時，由說明1,這兩個區域可(ke)想象為(wei)以赤(chi)道(dao)為(wei)邊界的兩個半球面，赤(chi)道(dao)上(shang)有(you)兩個“頂點”將赤(chi)道(dao)分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于(yu)是 R+ V- E= 2,歐拉定(ding)理成立(li).。

(2)設(she)R=m(m≥2)時(shi)歐拉定(ding)理成(cheng)立(li)，下面證明R=m+1時(shi)歐拉定(ding)理也成(cheng)立(li)。

由說(shuo)明2，我們(men)在(zai)(zai)(zai)R=m+1的(de)地圖(tu)上(shang)任(ren)選一(yi)(yi)個(ge)區(qu)域(yu)(yu)X，則(ze)(ze)X必(bi)有與它如此相鄰的(de)區(qu)域(yu)(yu)Y，使得在(zai)(zai)(zai)去(qu)掉(diao)(diao)X和Y之(zhi)間(jian)(jian)的(de)唯(wei)一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)后，地圖(tu)上(shang)只有m個(ge)區(qu)域(yu)(yu)了；在(zai)(zai)(zai)去(qu)掉(diao)(diao)X和Y之(zhi)間(jian)(jian)的(de)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)后，若原該(gai)(gai)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)兩(liang)端(duan)(duan)的(de)頂(ding)點現(xian)在(zai)(zai)(zai)都還是3條(tiao)或(huo)3條(tiao)以上(shang)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)的(de)頂(ding)點，則(ze)(ze)該(gai)(gai)頂(ding)點保留，同(tong)時(shi)其他(ta)的(de)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)數不變;若原該(gai)(gai)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)一(yi)(yi)端(duan)(duan)或(huo)兩(liang)端(duan)(duan)的(de)頂(ding)點現(xian)在(zai)(zai)(zai)成為2條(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)的(de)頂(ding)點，則(ze)(ze)去(qu)掉(diao)(diao)該(gai)(gai)頂(ding)點，該(gai)(gai)頂(ding)點兩(liang)邊(bian)的(de)兩(liang)條(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)便成為一(yi)(yi)條(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)。于是，在(zai)(zai)(zai)去(qu)掉(diao)(diao)X和Y之(zhi)間(jian)(jian)的(de)唯(wei)一(yi)(yi)一(yi)(yi)條(tiao)邊(bian)界(jie)(jie)(jie)(jie)時(shi)只有三(san)種情況：

①減(jian)少一(yi)個(ge)區域和一(yi)條邊界；

②減少(shao)一個(ge)區域(yu)、一個(ge)頂點和兩條邊界；

③減少一個(ge)(ge)區域、兩個(ge)(ge)頂(ding)點和(he)三條邊界；

即在(zai)去(qu)掉(diao)X和Y之間的(de)(de)邊(bian)(bian)界時，不論何種(zhong)情況都必(bi)定有“減(jian)少的(de)(de)區域數(shu)+減(jian)少的(de)(de)頂(ding)點(dian)數(shu)=減(jian)少的(de)(de)邊(bian)(bian)界數(shu)”我們將(jiang)上述過(guo)程反(fan)過(guo)來(lai)(即將(jiang)X和Y之間去(qu)掉(diao)的(de)(de)邊(bian)(bian)界又照原樣畫上)，就又成為(wei)R= m+ 1的(de)(de)地圖了，在(zai)這(zhe)一過(guo)程中必(bi)然是“增(zeng)加的(de)(de)區域數(shu)+ 增(zeng)加的(de)(de)頂(ding)點(dian)數(shu) = 增(zeng)加的(de)(de)邊(bian)(bian)界數(shu)”。

因此 ，若(ruo) R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ，則 R= m+ 1時歐拉定理也(ye)成立.。

由(1)和(2)可知，對于任何正整數R≥2,歐拉定理(li)成立。

柯西的證明

第一個(ge)歐(ou)拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給(gei)出，大致如下(xia)：

從多面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)體去(qu)掉一(yi)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)，通過把去(qu)掉的(de)(de)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)的(de)(de)邊互(hu)相拉遠，把所(suo)有剩下的(de)(de)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)變(bian)成點(dian)和(he)曲線的(de)(de)平面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)網絡。不(bu)失一(yi)般性，可以(yi)假設變(bian)形(xing)的(de)(de)邊繼續保(bao)(bao)持為直線段。正常(chang)的(de)(de)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)不(bu)再是正常(chang)的(de)(de)多邊形(xing)即使開始的(de)(de)時候它(ta)們(men)是正常(chang)的(de)(de)。但是，點(dian)，邊和(he)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)的(de)(de)個(ge)數保(bao)(bao)持不(bu)變(bian)，和(he)給(gei)定多面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)體的(de)(de)一(yi)樣(移去(qu)的(de)(de)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)對(dui)應網絡的(de)(de)外(wai)部。)

重復一系列可以簡化網(wang)絡卻不改變其歐拉(la)數（也是歐拉(la)示性數）的額外變換。

若有一個(ge)(ge)多(duo)邊(bian)形(xing)面(mian)有3條(tiao)邊(bian)以上，我們劃一個(ge)(ge)對(dui)角線。這增(zeng)加一條(tiao)邊(bian)和一個(ge)(ge)面(mian)。繼續增(zeng)加邊(bian)直到所有面(mian)都是三角形(xing)。

除掉只(zhi)有一(yi)條邊(bian)和外(wai)部相鄰的三角形(xing)。這(zhe)把邊(bian)和面的個(ge)數各減(jian)一(yi)而保持(chi)頂點數不變。

（逐(zhu)個(ge)）除去(qu)所有(you)和網絡外部共享兩條邊的(de)三角(jiao)形(xing)。這會減少一個(ge)頂點、兩條邊和一個(ge)面。

重復(fu)使用第2步和第3步直到只剩一(yi)個三角形。對于一(yi)個三角形（把外(wai)部數在內），。所以。

推理證明

設(she)想這個(ge)多面體是先(xian)有一個(ge)面，然后將其他各面一個(ge)接一個(ge)地添裝(zhuang)上去的(de).因(yin)為一共有F個(ge)面，因(yin)此要添(F-1)個(ge)面.

考察第(di)Ⅰ個(ge)面，設(she)它是n邊形，有n個(ge)頂點，n條邊，這時E=V，即(ji)棱數等于(yu)頂點數.

添(tian)上(shang)第Ⅱ個面后，因(yin)為一條棱(leng)與原來的(de)(de)棱(leng)重合(he)，而且有(you)兩(liang)個頂點(dian)和第Ⅰ個面的(de)(de)兩(liang)個頂點(dian)重合(he)，所以(yi)增加的(de)(de)棱(leng)數(shu)(shu)比增加的(de)(de)頂點(dian)數(shu)(shu)多1，因(yin)此，這(zhe)時E=V+1.

以后每增(zeng)添一個(ge)面，總是(shi)增(zeng)加的棱數比(bi)增(zeng)加的頂點數多1，例如

增添兩個面后，有關系E=V+2;

增添三(san)個面后，有關系E=V+3;

……

增添(F-2)個面后，有關(guan)系E=V+(F-2).

最后(hou)增(zeng)添一(yi)個面(mian)(mian)后(hou)，就成為(wei)多面(mian)(mian)體，這時棱數和頂點數都沒有增(zeng)加.因此，關系式仍為(wei)E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個(ge)公式叫做歐拉(la)公式.它表明2這個(ge)數(shu)是簡單(dan)多面體表面在連續變形下不(bu)變的數(shu)。

分式

當r=0或1時(shi)(shi)式子的(de)值(zhi)(zhi)為0，當r=2時(shi)(shi)值(zhi)(zhi)為1，當r=3時(shi)(shi)值(zhi)(zhi)為a+b+c。

平面幾何

設△ABC的(de)外心(xin)為(wei)O，內心(xin)為(wei)I，外接圓半(ban)徑為(wei)R，內切圓半(ban)徑為(wei)r，又記外心(xin)、內心(xin)的(de)距離OI為(wei)d，則有

（1）式(shi)稱為歐(ou)拉公式(shi)。

為了證明（1）式(shi)，我們(men)現將它改成

（2）式左邊是點(dian)I對(dui)于(yu)⊙O的冪：過圓內任(ren)一(yi)(yi)點(dian)P的弦(xian)被P分成兩(liang)個部分，這兩(liang)個部分的乘積是一(yi)(yi)個定值，稱為P關于(yu)⊙O的冪。事(shi)實上，如果將OI延(yan)長交圓于(yu)E、F，那么

因此，設(she)AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為(wei)了證明（5）式，應當(dang)尋找兩個相似的(de)(de)三(san)角(jiao)(jiao)形。一(yi)(yi)個以(yi)(yi)長IA、r為(wei)邊；另一(yi)(yi)個以(yi)(yi)長2R、MI為(wei)邊。前一(yi)(yi)個不難找，△IDA就(jiu)是(shi)，D是(shi)內切圓(yuan)(yuan)與AC的(de)(de)切點。后一(yi)(yi)個也(ye)必須是(shi)直(zhi)角(jiao)(jiao)三(san)角(jiao)(jiao)形，所以(yi)(yi)一(yi)(yi)邊是(shi)直(zhi)徑ML，另一(yi)(yi)個頂點也(ye)應當(dang)在圓(yuan)(yuan)上(shang)。△MBL就(jiu)滿足要求。

容易證明

因此（5）式(shi)成(cheng)(cheng)立，從(cong)而（1）式(shi)成(cheng)(cheng)立。

因為，所以由歐拉公式得出一個副產(chan)品，即

統計學

特(te)征(zheng)(zheng)函數用歐(ou)拉公式：隨機變(bian)量X的特(te)征(zheng)(zheng)函數定(ding)義為

物理學

眾所周知，生活中處處存在(zai)(zai)著摩擦(ca)力，歐拉(la)測算出了摩擦(ca)力與繩索纏繞在(zai)(zai)樁(zhuang)上圈數之間的(de)關系。現將歐拉(la)這(zhe)個頗有價值的(de)公式列在(zai)(zai)這(zhe)里：

其(qi)中，f表示我們施(shi)加(jia)的(de)力，F表示與其(qi)對(dui)抗的(de)力，e為自然(ran)對(dui)數(shu)的(de)底，k表示繩與樁之(zhi)間的(de)摩擦(ca)系數(shu)，a表示纏(chan)繞轉角，即繩索纏(chan)繞形成(cheng)的(de)弧長(chang)與弧半徑之(zhi)比。

圖論

設G為n階m條邊r個(ge)面(mian)的(de)(de)連通(tong)平(ping)面(mian)圖，則n-m+r=2，此公(gong)式稱(cheng)為歐拉公(gong)式。可以通(tong)過歸納法證明，且證明方法和拓(tuo)撲學中的(de)(de)類似(si)，此處略去。盡管和拓(tuo)撲中的(de)(de)歐拉公(gong)式十分(fen)相似(si)，但圖論在(zai)(zai)現(xian)代一般劃分(fen)在(zai)(zai)離(li)散數學的(de)(de)研(yan)究范疇內，因此在(zai)(zai)這里單(dan)獨列出。