質(zhi)(zhi)能(neng)方程即描述質(zhi)(zhi)量與(yu)能(neng)量之間(jian)的(de)當(dang)量關(guan)系(xi)的(de)方程。在經(jing)典物(wu)理學(xue)中,質(zhi)(zhi)量和能(neng)量是兩個完全不同(tong)的(de)概念,它們之間(jian)沒有確定(ding)的(de)當(dang)量關(guan)系(xi),一定(ding)質(zhi)(zhi)量的(de)物(wu)體可以(yi)具有不同(tong)的(de)能(neng)量;能(neng)量概念也比(bi)較局限,力學(xue)中有動能(neng)、勢能(neng)等。
在狹(xia)義(yi)相(xiang)對論中(zhong),能(neng)(neng)量(liang)概念有了(le)推廣,質量(liang)和能(neng)(neng)量(liang)有確(que)定(ding)的當量(liang)關系(xi),物體的質量(liang)為m,則(ze)相(xiang)應的能(neng)(neng)量(liang)為E=mc2。
質(zhi)能方(fang)程(cheng)(cheng)E=mc2,E表(biao)示(shi)能量(liang),m代(dai)表(biao)質(zhi)量(liang),而c則表(biao)示(shi)光速(常量(liang),c=299792458m/s)。由(you)阿(a)爾伯特·愛因斯(si)坦提(ti)出(chu)。該方(fang)程(cheng)(cheng)主要用(yong)來解釋核變反應中(zhong)的(de)(de)質(zhi)量(liang)虧損和計(ji)算高能物理中(zhong)粒子(zi)的(de)(de)能量(liang)。這也導致了德(de)布羅意(yi)波和波動力學(xue)的(de)(de)誕生。
質能方程(cheng)表(biao)述如(ru)下:
其中(zhong),E是(shi)能量(liang),單位是(shi)焦耳(J)。M是(shi)質量(liang),單位是(shi)千克(kg)。C是(shi)真空中(zhong)光速(su)(m/s),c=299792458m/s
該公(gong)式表明(ming)物體(ti)(ti)相對于(yu)一個參(can)照系(xi)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)時仍然有能(neng)(neng)量(liang),這是違反牛頓(dun)系(xi)統的(de),因為在牛頓(dun)系(xi)統中(zhong),靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)物體(ti)(ti)是沒有能(neng)(neng)量(liang)的(de)。這就(jiu)是為什么物體(ti)(ti)的(de)質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)被稱為靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)。公(gong)式中(zhong)的(de)E可以(yi)看成(cheng)是物體(ti)(ti)總(zong)能(neng)(neng)量(liang),它與物體(ti)(ti)總(zong)質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)(該質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)包括(kuo)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)和運動所帶來(lai)的(de)質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang))成(cheng)正(zheng)比,只有當物體(ti)(ti)靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)時,它才與物體(ti)(ti)的(de)(靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi))質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)(牛頓(dun)系(xi)統中(zhong)的(de)'質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)')成(cheng)正(zheng)比。這也表明(ming)物體(ti)(ti)的(de)總(zong)質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)和靜(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)質(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)不同。
反過來講,一束光子在真(zhen)空中(zhong)傳播,其靜止質(zhi)量(liang)是(shi)0,但由于它們有(you)運動能量(liang),因此它們也有(you)質(zhi)量(liang)。
表達形式1:
上式中的為物(wu)(wu)體(ti)的靜(jing)止(zhi)質量,為物(wu)(wu)體(ti)的靜(jing)止(zhi)能(neng)量。中學(xue)物(wu)(wu)理教材中所講的質能(neng)方程含義與此表達式相同,通常簡寫(xie)為。
表達形式2:
為隨(sui)運動速度增(zeng)大(da)而(er)增(zeng)大(da)了的(de)質量(liang)。為物體運動時(shi)的(de)能(neng)(neng)量(liang),即物體的(de)靜止能(neng)(neng)量(liang)和動能(neng)(neng)之(zhi)和。
表達形式3:
上(shang)式中的(de)(de)(de)Δm通常為物體靜止質量的(de)(de)(de)變化,即質量虧損(sun)。ΔE為物體靜止能量的(de)(de)(de)變化。實際上(shang)這種表(biao)達(da)(da)形(xing)式是表(biao)達(da)(da)形(xing)式1的(de)(de)(de)微分形(xing)式.這種表(biao)達(da)(da)形(xing)式最常用,也是學生最容(rong)易產生誤解的(de)(de)(de)表(biao)達(da)(da)形(xing)式。
注(zhu)意:有些(xie)術(shu)語(yu)使用中,質(zhi)(zhi)量(liang)單指靜止質(zhi)(zhi)量(liang),因(yin)為(wei)總質(zhi)(zhi)量(liang)和能量(liang)是(shi)等價的概念。若指代靜止質(zhi)(zhi)量(liang),則公式(shi)應改(gai)寫為(wei)而,因(yin)此,也就(jiu)是(shi)總質(zhi)(zhi)量(liang)的表達式(shi),其中為(wei)洛倫茲(zi)因(yin)子(zi)。
推導1
首先要認(ren)可狹(xia)義相對論的(de)兩個(ge)假設:1、任一光源所(suo)發之球狀光在一切慣(guan)性參照(zhao)系中(zhong)的(de)速度都各向同性總為c。2、所(suo)有慣(guan)性參考系內的(de)物理定律(lv)都是相同的(de)。
如(ru)果(guo)你(ni)的(de)(de)(de)行(xing)走速(su)(su)度是(shi)(shi)(shi)v,你(ni)在(zai)(zai)一輛(liang)以速(su)(su)度u行(xing)駛的(de)(de)(de)公車(che)上,那么(me)當你(ni)與車(che)同向(xiang)走時,你(ni)對地面的(de)(de)(de)速(su)(su)度為u+v,反向(xiang)時為u-v,你(ni)在(zai)(zai)車(che)上過(guo)了(le)(le)1分鐘,別人在(zai)(zai)地上也(ye)(ye)過(guo)了(le)(le)1分鐘——這就是(shi)(shi)(shi)我們腦袋里的(de)(de)(de)常識(shi)。也(ye)(ye)是(shi)(shi)(shi)物(wu)理學中著名的(de)(de)(de)伽(jia)利略變(bian)換,整個經(jing)典力學的(de)(de)(de)支柱(zhu)。該理論認(ren)為空間是(shi)(shi)(shi)獨立的(de)(de)(de),與在(zai)(zai)其中運(yun)動的(de)(de)(de)各種物(wu)體無(wu)關(guan),而(er)時間是(shi)(shi)(shi)均勻流逝的(de)(de)(de),線性的(de)(de)(de),在(zai)(zai)任何觀察者來看都是(shi)(shi)(shi)相(xiang)同的(de)(de)(de)。
而以上這個變換恰恰與(yu)狹義相對論的假設相矛盾。
事實(shi)(shi)上,在愛因斯坦提出(chu)狹(xia)義相(xiang)對論(lun)之前(qian),人(ren)們就觀(guan)察(cha)到許多與(yu)常識不(bu)符的(de)現象。物理(li)(li)學家洛倫(lun)(lun)茲為了(le)(le)修正(zheng)將要傾倒的(de)經典物理(li)(li)學大廈,提出(chu)了(le)(le)洛倫(lun)(lun)茲變換(huan),但他并不(bu)能解釋這種現象為何(he)發生,只是根據當時的(de)觀(guan)察(cha)事實(shi)(shi)寫出(chu)的(de)經驗公式——洛倫(lun)(lun)茲變換(huan)——而(er)它卻可以通過相(xiang)對論(lun)的(de)純理(li)(li)論(lun)推導出(chu)來。
然后根(gen)據這(zhe)個公式又可以推導出質速關系,也就是時間會隨速度增加而變(bian)慢,質量變(bian)大(da),長(chang)度減小。
一個(ge)物體(ti)的實(shi)際質(zhi)量(liang)為其(qi)靜(jing)止質(zhi)量(liang)與其(qi)通過(guo)運動多出(chu)來的質(zhi)量(liang)之和。
當外力作用在靜(jing)止質量為的(de)自由質點(dian)上時,質點(dian)每經歷位移(yi),其(qi)動能(neng)的(de)增量是,
如果外力(li)與位移(yi)同方向,則上式成為(wei),
設外力(li)作用(yong)于(yu)質點(dian)的時(shi)間為,則(ze)質點(dian)在外力(li)沖量(liang)作用(yong)下,其動(dong)量(liang)增(zeng)量(liang)是,
考慮到,有上兩式相除,即得(de)質點的速度表達式為,
亦即,
根據洛倫茲變(bian)換,得(de)質量的變(bian)換公式為,兩邊平方得(de),
對速度求導:得
注(zhu)意到等(deng)式右邊為0,即上(shang)式可化(hua)為
代入上式得。
上式說明,當質點的速度v增大(da)時,其質量(liang)(liang)m和動能(neng)Ek都在增加,質量(liang)(liang)的增量(liang)(liang)dm和動能(neng)的增量(liang)(liang)之間始(shi)終保持所示(shi)的量(liang)(liang)值上的正(zheng)比關系。
當時,質量(liang),動能,
據(ju)此,將上式積(ji)分,即得。
上式(shi)是相對(dui)論中的動能(neng)表(biao)達(da)式(shi)。愛(ai)因(yin)斯坦(tan)在(zai)這里引入了(le)經(jing)典力學中從未有(you)過的獨特見解,他(ta)把叫做物體的靜止(zhi)能(neng)量,把叫做運動時的能(neng)量,我們分(fen)別用和表(biao)示:,。
推導:
首先(xian)是狹(xia)義(yi)相對(dui)論得(de)到
洛倫茲因子
所以,運動(dong)物體的質量
然后(hou)利用泰勒(le)展(zhan)開(展(zhan)開后(hou)第二項為(wei)零,此處為(wei)第一(yi)項和第三(san)項):
得到
其中為靜止能(neng),就(jiu)是(shi)我(wo)們平時見(jian)到(dao)的(de)在低(di)速情況(kuang)下的(de)動(dong)能(neng),后面(mian)的(de)是(shi)高(gao)階的(de)能(neng)量。
(當可(ke)以測(ce)出時,由此公(gong)式可(ke)以計(ji)算出物體運動的(de)絕對速度(du)。)
推導2
根據公(gong)式(shi),運(yun)動(dong)時物體質量(liang)(liang)增大(da),同時運(yun)動(dong)時將(jiang)會有動(dong)能,質量(liang)(liang)與動(dong)能均隨(sui)速度(du)增大(da)而增大(da)。
根據,得,因(yin)為,所以,由易得。
將該式對和進行微分,得,代入得,對其(qi)積分,。
這(zhe)就(jiu)是相對論下的動(dong)能(neng)公式。當速(su)度為(wei)0,,動(dong)能(neng)為(wei)0。為(wei)物體靜止(zhi)時的能(neng)量(liang)(liang),而總能(neng)量(liang)(liang)=靜止(zhi)能(neng)量(liang)(liang)+動(dong)能(neng),因此總能(neng)量(liang)(liang)。
這(zhe)個(ge)等式源于(yu)阿爾伯(bo)特·愛因斯坦對于(yu)物(wu)體慣性和(he)它(ta)自身能量(liang)關系的(de)研究。研究的(de)著(zhu)名結論(lun)(lun)就是物(wu)體質量(liang)實(shi)際上(shang)就是它(ta)自身能量(liang)的(de)量(liang)度。為(wei)了(le)便于(yu)理(li)解(jie)此關系的(de)重要性,可以比較一下電(dian)磁力和(he)引(yin)力。電(dian)磁學理(li)論(lun)(lun)認為(wei),能量(liang)包含(han)于(yu)與力相關而與電(dian)荷(he)無(wu)關的(de)場(電(dian)場和(he)磁場)中。在萬(wan)有(you)引(yin)力理(li)論(lun)(lun)中,能量(liang)包含(han)于(yu)物(wu)質本身。因此物(wu)質質量(liang)能夠使時空扭曲,但其它(ta)三(san)種基本相互(hu)作用(電(dian)磁相互(hu)作用,強相互(hu)作用,弱(ruo)相互(hu)作用)的(de)粒子(zi)卻不能,這(zhe)并(bing)不是偶然的(de)。
這個方程對于(yu)原子(zi)(zi)彈的發展是關鍵性的。這不僅顯示可能(neng)通過(guo)輕(qing)核(he)的核(he)聚變和重核(he)的核(he)裂變釋放(fang)這個結合能(neng),也可用于(yu)估算會(hui)釋放(fang)的結合能(neng)的量。注意質(zhi)子(zi)(zi)和中(zhong)子(zi)(zi)的質(zhi)量還在那里,它們也代表了一個能(neng)量值。
一個(ge)(ge)著(zhu)名的花絮是(shi)愛因斯坦(tan)最(zui)初將方程寫為(用了一個(ge)(ge)“L",而(er)不是(shi)“E"來表(biao)示(shi)能量(liang),而(er)E在其它(ta)地方也用來表(biao)示(shi)能量(liang))。
重要(yao)的(de)是(shi)要(yao)注意(yi)實際的(de)靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)到能量(liang)(liang)的(de)轉(zhuan)換(huan)不大可能是(shi)百(bai)分之百(bai)有(you)(you)效的(de)。一個理論上完美的(de)轉(zhuan)化是(shi)物質(zhi)和反物質(zhi)的(de)湮滅;對于(yu)多數(shu)情(qing)況,有(you)(you)很(hen)多帶靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)的(de)副產品而(er)(er)不是(shi)能量(liang)(liang),因而(er)(er)只有(you)(you)少量(liang)(liang)的(de)靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)真正被(bei)轉(zhuan)換(huan)。在該方程中,質(zhi)量(liang)(liang)就是(shi)能量(liang)(liang),但是(shi)為了簡明起見,轉(zhuan)換(huan)這個詞(ci)常常被(bei)用于(yu)代(dai)替(ti)質(zhi)能等(deng)價關系,實際上通常所指(zhi)的(de)一般是(shi)靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)和能量(liang)(liang)的(de)轉(zhuan)換(huan)。