芒果视频下载

勾股定(ding)(ding)理，是一(yi)(yi)個基本的(de)幾(ji)何定(ding)(ding)理，指直(zhi)角三角形(xing)(xing)的(de)兩條直(zhi)角邊(bian)的(de)平方和(he)等于斜邊(bian)的(de)平方。中(zhong)國古代稱直(zhi)角三角形(xing)(xing)為(wei)(wei)(wei)(wei)勾股形(xing)(xing)，并且(qie)直(zhi)角邊(bian)中(zhong)較小者為(wei)(wei)(wei)(wei)勾，另(ling)一(yi)(yi)長直(zhi)角邊(bian)為(wei)(wei)(wei)(wei)股，斜邊(bian)為(wei)(wei)(wei)(wei)弦(xian)，所以稱這(zhe)個定(ding)(ding)理為(wei)(wei)(wei)(wei)勾股定(ding)(ding)理，也有人稱商高定(ding)(ding)理。

勾股定(ding)(ding)(ding)理(li)現(xian)約有500種(zhong)證(zheng)明(ming)方法，是(shi)數學定(ding)(ding)(ding)理(li)中證(zheng)明(ming)方法最多的(de)定(ding)(ding)(ding)理(li)之(zhi)一(yi)。勾股定(ding)(ding)(ding)理(li)是(shi)人類早期發現(xian)并證(zheng)明(ming)的(de)重要(yao)數學定(ding)(ding)(ding)理(li)之(zhi)一(yi)，用代數思想解決(jue)幾何(he)問題(ti)的(de)最重要(yao)的(de)工具之(zhi)一(yi)，也(ye)是(shi)數形結合的(de)紐帶之(zhi)一(yi)。

在中國，周朝時期的(de)商高提(ti)出(chu)了“勾三股四弦五(wu)”的(de)勾股定理的(de)特例。在西(xi)方(fang)(fang)，最早提(ti)出(chu)并證明(ming)此定理的(de)為公元前6世紀(ji)古希(xi)臘的(de)畢達哥拉(la)斯學(xue)派，他(ta)們用演繹(yi)法證明(ming)了直角(jiao)三角(jiao)形斜邊(bian)平方(fang)(fang)等于兩直角(jiao)邊(bian)平方(fang)(fang)之和(he)。

定義

在平(ping)面(mian)上的(de)(de)一個直角(jiao)三(san)角(jiao)形中，兩個直角(jiao)邊(bian)(bian)邊(bian)(bian)長的(de)(de)平(ping)方加(jia)起(qi)來等(deng)于斜邊(bian)(bian)長的(de)(de)平(ping)方。如果設直角(jiao)三(san)角(jiao)形的(de)(de)兩條直角(jiao)邊(bian)(bian)長度(du)分別是和，斜邊(bian)(bian)長度(du)是，那么可(ke)以(yi)用(yong)數學語言表達：

勾股(gu)定(ding)理(li)是余弦定(ding)理(li)中的(de)一個特例。

推導

趙爽弦圖

《周(zhou)髀算經》中(zhong)，趙爽描述此圖：“勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)各(ge)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)，并(bing)(bing)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。開方(fang)(fang)除之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，即(ji)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。案玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)圖有可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)相乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)朱實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)二，倍(bei)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)朱實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)四。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)差(cha)(cha)(cha)自(zi)相乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)中(zhong)黃(huang)(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。加(jia)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)成(cheng)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，半(ban)(ban)(ban)其(qi)(qi)(qi)余(yu)(yu)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)從法，開方(fang)(fang)除之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，復得(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)矣。加(jia)差(cha)(cha)(cha)于勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)即(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。凡并(bing)(bing)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，即(ji)成(cheng)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。或(huo)矩于內(nei)，或(huo)方(fang)(fang)于外(wai)。形(xing)詭而(er)(er)量均(jun)，體殊而(er)(er)數齊。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)，股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)袤。而(er)(er)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)(qi)里。減(jian)矩勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開其(qi)(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。倍(bei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)在兩邊(bian)為(wei)(wei)(wei)從法，開矩勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角即(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。加(jia)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)除勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)(de)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)除勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)得(de)(de)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)與勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)并(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)法。所(suo)(suo)得(de)(de)亦(yi)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)并(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)，如法為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)，勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)袤。而(er)(er)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)(qi)里，減(jian)矩股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開其(qi)(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。倍(bei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)在兩邊(bian)為(wei)(wei)(wei)從法，開矩股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。加(jia)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)除股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)除股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)得(de)(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)與股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)并(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)法。所(suo)(suo)得(de)(de)亦(yi)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)并(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)如法為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)，兩差(cha)(cha)(cha)相乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)倍(bei)而(er)(er)開之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，所(suo)(suo)得(de)(de)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)增(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)增(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。兩差(cha)(cha)(cha)增(zeng)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)弦。倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)列(lie)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，見并(bing)(bing)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)者(zhe)，以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)圖考之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)滿外(wai)大方(fang)(fang)而(er)(er)多黃(huang)(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。黃(huang)(huang)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)多，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開其(qi)(qi)(qi)余(yu)(yu)，得(de)(de)外(wai)大方(fang)(fang)。大方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)并(bing)(bing)也(ye)。令(ling)并(bing)(bing)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)，倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)乃減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開其(qi)(qi)(qi)余(yu)(yu)，得(de)(de)中(zhong)黃(huang)(huang)方(fang)(fang)。黃(huang)(huang)方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)減(jian)并(bing)(bing)而(er)(er)半(ban)(ban)(ban)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。加(jia)差(cha)(cha)(cha)于并(bing)(bing)而(er)(er)半(ban)(ban)(ban)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。其(qi)(qi)(qi)倍(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)袤合。令(ling)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)見者(zhe)自(zi)乘(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)其(qi)(qi)(qi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。四實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開其(qi)(qi)(qi)余(yu)(yu)，所(suo)(suo)得(de)(de)為(wei)(wei)(wei)差(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)減(jian)合半(ban)(ban)(ban)其(qi)(qi)(qi)余(yu)(yu)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)。減(jian)廣(guang)(guang)于玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)即(ji)所(suo)(suo)求也(ye)。”

用現(xian)代的數學(xue)語言描述就是黃實的面(mian)積(ji)等(deng)于(yu)大正方(fang)形的面(mian)積(ji)減去四個朱實的面(mian)積(ji)。

2002年第24屆國際數學家(jia)大(da)會（ICM）的會標即為(wei)該圖。

加菲爾德證法

加菲爾德在證(zheng)出此結論5年后，成(cheng)為美國第20任總統，所以人們又稱其為“總統證(zheng)法(fa)”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

加(jia)菲爾德證法變式

該證明為加菲爾德證法的變式。

如果(guo)將大正(zheng)(zheng)方形(xing)邊長為c的小(xiao)正(zheng)(zheng)方形(xing)沿對角(jiao)線切開，則回到(dao)了(le)加菲爾德證法。相反，若將上圖(tu)中兩個(ge)梯形(xing)拼在一起，就變為了(le)此證明方法。

大正方形(xing)的(de)面(mian)(mian)積(ji)等于(yu)中(zhong)間正方形(xing)的(de)面(mian)(mian)積(ji)加上四個(ge)三角形(xing)的(de)面(mian)(mian)積(ji)，即：

青朱出入圖

青朱出(chu)入圖，是東漢末年數(shu)學(xue)家劉徽根據“割補術”運用數(shu)形關(guan)系證(zheng)明(ming)(ming)勾股定理(li)的幾何證(zheng)明(ming)(ming)法，特色鮮明(ming)(ming)、通俗易懂。

劉徽描述此圖，“勾自(zi)乘為(wei)(wei)朱方(fang)(fang)(fang)，股自(zi)乘為(wei)(wei)青(qing)(qing)方(fang)(fang)(fang)，令出(chu)入相補，各從(cong)其(qi)類，因就(jiu)其(qi)余(yu)不動也(ye)，合(he)成弦(xian)方(fang)(fang)(fang)之(zhi)冪。開方(fang)(fang)(fang)除之(zhi)，即弦(xian)也(ye)。”其(qi)大意(yi)為(wei)(wei)，一個(ge)任意(yi)直角三角形，以勾寬作(zuo)紅(hong)色正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形即朱方(fang)(fang)(fang)，以股長(chang)作(zuo)青(qing)(qing)色正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形即青(qing)(qing)方(fang)(fang)(fang)。將朱方(fang)(fang)(fang)、青(qing)(qing)方(fang)(fang)(fang)兩(liang)個(ge)正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形對齊底(di)邊排列，再以盈補虛，分割線內不動，線外則“各從(cong)其(qi)類”，以合(he)成弦(xian)的正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形即弦(xian)方(fang)(fang)(fang)，弦(xian)方(fang)(fang)(fang)開方(fang)(fang)(fang)即為(wei)(wei)弦(xian)長(chang)。

歐幾里得證法

在(zai)歐幾(ji)里得的《幾(ji)何原本(ben)》一(yi)書(shu)中(zhong)給(gei)出勾股定理的以下證明。設△ABC為(wei)一(yi)直角(jiao)三角(jiao)形，其(qi)中(zhong)A為(wei)直角(jiao)。從A點畫一(yi)直線至對邊，使其(qi)垂直于對邊。延長(chang)此線把對邊上的正(zheng)方(fang)形一(yi)分為(wei)二，其(qi)面積分別與其(qi)余兩個正(zheng)方(fang)形相等。

在這個定理的證明(ming)中，我們需要(yao)如下四個輔助(zhu)定理：

如果(guo)兩(liang)(liang)個三角形有兩(liang)(liang)組(zu)對(dui)應(ying)邊和(he)這(zhe)兩(liang)(liang)組(zu)邊所夾的(de)角相等(deng)，則兩(liang)(liang)三角形全等(deng)。（SAS）

三角(jiao)形面積(ji)是任一(yi)同底同高之平行四(si)邊形面積(ji)的一(yi)半(ban)。

任意(yi)一個正方形的(de)面積(ji)等于其二邊長的(de)乘積(ji)。

任意一個矩形的面積等于其二邊長(chang)的乘積（據輔助定(ding)理3）。

證明的(de)思路為：從A點畫一(yi)直線至對邊，使其(qi)垂直于對邊。延長(chang)此線把(ba)對邊上的(de)正方形一(yi)分為二，把(ba)上方的(de)兩個(ge)正方形，通過等高(gao)同底(di)的(de)三(san)角形，以(yi)其(qi)面(mian)積關(guan)系，轉換成下方兩個(ge)同等面(mian)積的(de)長(chang)方形。

設△ABC為一(yi)直(zhi)角三角形，其直(zhi)角為∠CAB。

其(qi)邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之(zhi)BD、CE的平行(xing)線，分別垂直(zhi)BC和DE于K、L。

分別(bie)連接CF、AD，形(xing)成△BCF、△BDA。

∠CAB和(he)∠BAG都是直角，因此C、A和(he)G共線(xian)，同(tong)理可(ke)證B、A和(he)H共線(xian)。

∠CBD和∠FBA都是直角(jiao)，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所(suo)以(yi)△ABD≌△FBC。

因(yin)為A與K和L在同一(yi)直線(xian)上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線(xian)上，所以(yi)正方形(xing)BAGF=2△FBC。

因此(ci)四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同理可證，四邊(bian)形CKLE=ACIH=AC2。

把(ba)這兩個結果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于(yu)BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

此證明是于歐幾(ji)里得《幾(ji)何原本》一書(shu)第1.47節所提(ti)出的。

由于(yu)這(zhe)個定理(li)(li)的(de)證明依賴(lai)于(yu)平行(xing)公(gong)理(li)(li)，而且從這(zhe)個定理(li)(li)可以推出平行(xing)公(gong)理(li)(li)，很多人質(zhi)疑(yi)平行(xing)公(gong)理(li)(li)是這(zhe)個定理(li)(li)的(de)必要條件，一(yi)直到十(shi)九(jiu)世紀嘗試否定第五公(gong)理(li)(li)的(de)非歐幾何(he)出現。

推廣

勾股數組

勾(gou)(gou)股數(shu)(shu)(shu)組是滿足勾(gou)(gou)股定理的正整數(shu)(shu)(shu)組，其中(zhong)的稱為(wei)勾(gou)(gou)股數(shu)(shu)(shu)。例如就(jiu)是一組勾(gou)(gou)股數(shu)(shu)(shu)組。

任(ren)意一(yi)組勾(gou)股數可(ke)以表示為如下形式：，，，其中均為正(zheng)整數，且。

定理用途

已(yi)知(zhi)直(zhi)角三(san)(san)(san)角形(xing)兩邊求(qiu)解第三(san)(san)(san)邊，或(huo)(huo)者(zhe)已(yi)知(zhi)三(san)(san)(san)角形(xing)的三(san)(san)(san)邊長度，證(zheng)明(ming)該(gai)三(san)(san)(san)角形(xing)為直(zhi)角三(san)(san)(san)角形(xing)或(huo)(huo)用來證(zheng)明(ming)該(gai)三(san)(san)(san)角形(xing)內兩邊垂直(zhi)。利用勾股定(ding)理(li)(li)求(qiu)線段(duan)長度這是勾股定(ding)理(li)(li)的最基本運用。

簡史

中國

公(gong)元前(qian)十一(yi)世紀，數學家商高（西周初年人）就提出“勾(gou)三(san)、股(gu)(gu)四(si)(si)(si)、弦(xian)五(wu)”。編寫于公(gong)元前(qian)一(yi)世紀以前(qian)的(de)《周髀算經》中(zhong)記錄著商高與周公(gong)的(de)一(yi)段對話。商高說(shuo)：“……故折矩(ju)，勾(gou)廣三(san)，股(gu)(gu)修四(si)(si)(si)，經隅五(wu)。”意為(wei)(wei)：當直角(jiao)三(san)角(jiao)形的(de)兩條直角(jiao)邊分別為(wei)(wei)3（勾(gou)）和4（股(gu)(gu)）時，徑隅（弦(xian)）則為(wei)(wei)5。以后人們就簡(jian)單地把這(zhe)個事(shi)實說(shuo)成(cheng)“勾(gou)三(san)股(gu)(gu)四(si)(si)(si)弦(xian)五(wu)”，根據該典故稱勾(gou)股(gu)(gu)定理為(wei)(wei)商高定理。

公(gong)元三世紀(ji)，三國時代的(de)趙爽對《周髀算(suan)經(jing)》內的(de)勾(gou)股定理作出(chu)了詳細注釋，記錄于《九(jiu)章算(suan)術》中“勾(gou)股各自乘，并而開(kai)方除(chu)之，即弦”，趙爽創制(zhi)了一幅(fu)“勾(gou)股圓方圖(tu)”，用數形(xing)結合得到方法，給出(chu)了勾(gou)股定理的(de)詳細證明(ming)(ming)。后劉(liu)(liu)徽在劉(liu)(liu)徽注中亦證明(ming)(ming)了勾(gou)股定理。

在中(zhong)國清朝末(mo)年，數學家(jia)華(hua)蘅芳提(ti)出了(le)二十(shi)多種對(dui)于勾股定(ding)理(li)證法。

外國

遠(yuan)在公元前約三千年(nian)的(de)(de)古巴比倫人就(jiu)知道(dao)和應(ying)用勾(gou)股(gu)定理(li)，他(ta)們還(huan)知道(dao)許多勾(gou)股(gu)數(shu)組。美國(guo)哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編(bian)號為“普林頓322”的(de)(de)古巴比倫泥板，上面就(jiu)記載了很多勾(gou)股(gu)數(shu)。古埃及人在建筑宏偉的(de)(de)金字(zi)塔和測(ce)量(liang)尼羅河泛濫(lan)后的(de)(de)土(tu)地時(shi)，也應(ying)用過勾(gou)股(gu)定理(li)。

公(gong)元前六世紀，希(xi)臘數學家畢達哥(ge)拉(la)斯(si)證明了勾股(gu)定理，因而西方(fang)人都習(xi)慣地(di)稱這(zhe)個定理為畢達哥(ge)拉(la)斯(si)定理。

公元(yuan)前4世紀，希臘(la)數學家歐幾里得在《幾何(he)原(yuan)本》（第(di)Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。

1876年4月1日，加(jia)菲爾德在《新(xin)英格蘭教育日志》上(shang)發表(biao)了他(ta)對勾股定理的一(yi)個證法。

1940年(nian)《畢達(da)哥拉斯命題》出版，收集(ji)了367種不同(tong)的證法。

意義

1．勾股定理的證明是論證幾何的發端。

2．勾股(gu)定理是歷史上第一(yi)個把數與形(xing)聯系起(qi)來的(de)定理，即它是第一(yi)個把幾(ji)何與代數聯系起(qi)來的(de)定理。

3．勾股(gu)定(ding)理(li)導(dao)致(zhi)了無(wu)理(li)數(shu)的發(fa)現，引起(qi)第一次(ci)數(shu)學危(wei)機(ji)，大大加深(shen)了人們對數(shu)的理(li)解。

4．勾股(gu)定理是歷史(shi)上(shang)第一個給出(chu)了完全解答的(de)不(bu)定方程，它引出(chu)了費(fei)馬大定理。

5．勾(gou)股定(ding)(ding)理(li)(li)是歐氏幾(ji)(ji)何的基礎定(ding)(ding)理(li)(li)，并有(you)(you)巨大的實用(yong)價值。這(zhe)條定(ding)(ding)理(li)(li)不僅在幾(ji)(ji)何學(xue)(xue)中是一(yi)顆光彩(cai)奪(duo)目(mu)的明珠，被譽為“幾(ji)(ji)何學(xue)(xue)的基石(shi)”，而(er)且在高等數學(xue)(xue)和(he)其他科學(xue)(xue)領(ling)域也有(you)(you)著廣(guang)泛的應(ying)用(yong)。1971年5月15日，尼加拉瓜(gua)發行(xing)了(le)一(yi)套題為“改(gai)變世界(jie)面貌的十個數學(xue)(xue)公(gong)(gong)式”郵(you)票，這(zhe)十個數學(xue)(xue)公(gong)(gong)式由著名數學(xue)(xue)家選出的，勾(gou)股定(ding)(ding)理(li)(li)是其中之(zhi)首(shou)。