有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題，這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結果。人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們于是就猜想，是否這類問題存在一個確定性算法，可以在多項式時間內直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。

霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關于非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。用通俗的話說，就是“再好再復雜的一座宮殿，都可以由一堆積木壘成”。用文人的話說就是:任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多復雜，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。在實際工作中，我們無法在二維平面的紙上繪畫出來一種復雜的多維圖形，霍奇猜想就是把復雜的拓撲圖形分拆成為一個個構件，我們只要按照規則安裝就可以理解設計者的思想。

龐加萊猜想是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，即“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。”簡單的說，一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。

黎曼猜想是關于黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家黎曼于1859年提出。有些數具有不能表示為兩個更小的整數的乘積的特殊性質，例如，2，3，5，7，等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式。著名的黎曼假設斷言，方程ζ（s)=0的所有有意義的解都在一條直線z=1/2+ib上，其中b為實數，這條直線通常稱為臨界線。這點已經對于開始的1500000000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。

大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系。該問題的正式表述是：證明對任何緊的、單的規范群，四維歐幾里得空間中的楊米爾斯方程組有一個預言存在質量缺口的解。該問題的解決將闡明物理學家尚未完全理解的自然界的基本方面。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想，它描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯系。給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等于它的L函數在1處的零點階數，且它的L函數在1處的泰勒展開的首項系數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的周期以及沙群有精確的等式關系。