(二十(shi)世紀世界七大數學難題之一(yi))
世界七(qi)大數(shu)學(xue)難(nan)題這七(qi)個(ge)“千年(nian)(nian)大獎(jiang)問題”是(shi):NP完全問題、霍奇猜(cai)想(xiang)、龐加萊猜(cai)想(xiang)、黎曼(man)假(jia)設、楊米爾(er)斯(si)理論、納(na)衛爾(er)-斯(si)托(tuo)可方(fang)程、BSD猜(cai)想(xiang)。美國(guo)麻州的克雷(Clay)數(shu)學(xue)研究(jiu)所于2000年(nian)(nian)5月24日在巴黎法(fa)蘭西學(xue)院宣布了(le)一(yi)(yi)件被媒體炒得(de)火熱的大事:對七(qi)個(ge)“千年(nian)(nian)數(shu)學(xue)難(nan)題”的每一(yi)(yi)個(ge)懸賞一(yi)(yi)百(bai)萬美元。其中有一(yi)(yi)個(ge)已被解(jie)(jie)決(龐加萊猜(cai)想(xiang),已由俄羅斯(si)數(shu)學(xue)家格里(li)戈(ge)里(li)·佩雷爾(er)曼(man)破解(jie)(jie))。
方程建(jian)立了流(liu)體(ti)(ti)的粒子(zi)動量(liang)的改變率(lv)(加速(su)度(du))和作(zuo)用在液(ye)(ye)體(ti)(ti)內部(bu)的壓力(li)(li)(li)的變化和耗(hao)散粘(zhan)滯(zhi)(zhi)力(li)(li)(li)(類似于摩擦力(li)(li)(li))以及(ji)重力(li)(li)(li)之間的關系。這些粘(zhan)滯(zhi)(zhi)力(li)(li)(li)產(chan)生于分(fen)子(zi)的相互作(zuo)用,能(neng)告訴我們(men)液(ye)(ye)體(ti)(ti)有(you)多粘(zhan)。這樣,納維-斯托克斯方程描述(shu)作(zuo)用于液(ye)(ye)體(ti)(ti)任意給(gei)定區域的力(li)(li)(li)的動態平衡,這在流(liu)體(ti)(ti)力(li)(li)(li)學中(zhong)有(you)十分(fen)重要的意義。
它(ta)(ta)們是有用(yong)(yong)的一(yi)組(zu)方程之一(yi),因為它(ta)(ta)們描述(shu)了(le)大量對學(xue)術(shu)和(he)經(jing)濟有用(yong)(yong)的現象(xiang)的物(wu)理(li)過程。它(ta)(ta)們可(ke)(ke)以用(yong)(yong)于(yu)(yu)建模天(tian)氣(qi),洋流,管道中的水流,星(xing)系中恒星(xing)的運動,翼型周圍的氣(qi)流。它(ta)(ta)們也可(ke)(ke)以用(yong)(yong)于(yu)(yu)飛行器和(he)車輛的設計(ji),血液(ye)循環的研究,電站的設計(ji),污染效應(ying)的分(fen)析,等等。
起伏的波浪(lang)跟(gen)隨(sui)著(zhu)我(wo)們(men)(men)(men)的正(zheng)在湖(hu)中蜿蜒穿梭的小船,湍(tuan)急的氣流(liu)跟(gen)隨(sui)著(zhu)我(wo)們(men)(men)(men)的現代噴氣式飛機的飛行。數(shu)學家和(he)物理(li)學家深(shen)信,無論是微風還是湍(tuan)流(liu),都(dou)可以通過理(li)解(jie)(jie)納衛爾-斯(si)托(tuo)可方(fang)程(cheng)(cheng)的解(jie)(jie),來對(dui)它們(men)(men)(men)進(jin)行解(jie)(jie)釋和(he)預言。雖然這些方(fang)程(cheng)(cheng)是19世紀寫下的,我(wo)們(men)(men)(men)對(dui)它們(men)(men)(men)的理(li)解(jie)(jie)仍(reng)然極少。挑戰在于(yu)對(dui)數(shu)學理(li)論作出實質性(xing)的進(jin)展,使我(wo)們(men)(men)(men)能(neng)解(jie)(jie)開(kai)隱藏在納衛爾-斯(si)托(tuo)可方(fang)程(cheng)(cheng)方(fang)程(cheng)(cheng)中的奧秘。
納(na)(na)維-斯(si)(si)托克斯(si)(si)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)依(yi)賴微(wei)分(fen)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)來描述(shu)流(liu)體(ti)的(de)(de)(de)運動(dong)。這(zhe)(zhe)些(xie)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng),和代數(shu)(shu)(shu)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)不同,不尋(xun)求建(jian)立(li)所研究的(de)(de)(de)變(bian)量(liang)(譬如(ru)速(su)度和壓(ya)力(li)(li))的(de)(de)(de)關系,而是(shi)(shi)建(jian)立(li)這(zhe)(zhe)些(xie)量(liang)的(de)(de)(de)變(bian)化率或通(tong)量(liang)之(zhi)間(jian)的(de)(de)(de)關系。用數(shu)(shu)(shu)學術語來講,這(zhe)(zhe)些(xie)變(bian)化率對應于變(bian)量(liang)的(de)(de)(de)導(dao)數(shu)(shu)(shu)。這(zhe)(zhe)樣(yang),簡單情(qing)況的(de)(de)(de)0粘滯度的(de)(de)(de)理(li)想(xiang)流(liu)體(ti)的(de)(de)(de)納(na)(na)維-斯(si)(si)托克斯(si)(si)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)表(biao)明加速(su)度(速(su)度的(de)(de)(de)導(dao)數(shu)(shu)(shu),或者說變(bian)化率)是(shi)(shi)和內部壓(ya)力(li)(li)的(de)(de)(de)導(dao)數(shu)(shu)(shu)成正比的(de)(de)(de)。這(zhe)(zhe)表(biao)示對于給定的(de)(de)(de)物理(li)問題的(de)(de)(de)納(na)(na)維-斯(si)(si)托克斯(si)(si)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)解必須用微(wei)積分(fen)的(de)(de)(de)幫助才能(neng)(neng)取得(de)。實用上,只有簡單的(de)(de)(de)情(qing)況才能(neng)(neng)用這(zhe)(zhe)種方(fang)(fang)法(fa)解答,而它(ta)們的(de)(de)(de)確切答案是(shi)(shi)已知的(de)(de)(de)。這(zhe)(zhe)些(xie)情(qing)況通(tong)常設計穩定態(流(liu)場不隨時(shi)間(jian)變(bian)化)的(de)(de)(de)非湍流(liu),其中流(liu)體(ti)的(de)(de)(de)粘滯系數(shu)(shu)(shu)很(hen)大或者其速(su)度很(hen)小(xiao)(小(xiao)的(de)(de)(de)雷諾(nuo)數(shu)(shu)(shu))。
對于更復雜的(de)情形,例如厄爾尼諾這樣的(de)全(quan)球性氣象系統或機翼(yi)的(de)升(sheng)力,納維?斯托克斯方(fang)程(cheng)的(de)解必須借助計(ji)算機。這本身是(shi)一個科學領域,稱為計(ji)算流體力學。
雖(sui)然湍流是日常經驗中(zhong)就(jiu)可以遇到的(de)(de),但(dan)這類問題(ti)極難求解。一個$1,000,000的(de)(de)大獎由克雷數學(xue)學(xue)院于2000年5月設(she)立,獎給對于能夠(gou)幫(bang)助理解這一現象(xiang)的(de)(de)數學(xue)理論(lun)作(zuo)出實質性進展的(de)(de)任何人。