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背景

（二十世紀世界七(qi)大數學(xue)難(nan)題之一）

世界(jie)七大數(shu)學(xue)難題這(zhe)七個“千(qian)年(nian)大獎問題”是：NP完全問題、霍奇猜想(xiang)、龐(pang)加(jia)萊(lai)猜想(xiang)、黎曼(man)假設、楊(yang)米爾斯理(li)論、納衛爾-斯托可(ke)方程、BSD猜想(xiang)。美國(guo)麻州(zhou)的(de)(de)克雷(lei)(lei)（Clay）數(shu)學(xue)研究(jiu)所于2000年(nian)5月24日在(zai)巴黎法蘭西(xi)學(xue)院宣布了一(yi)(yi)件被媒體炒得火熱(re)的(de)(de)大事：對七個“千(qian)年(nian)數(shu)學(xue)難題”的(de)(de)每(mei)一(yi)(yi)個懸賞一(yi)(yi)百(bai)萬美元。其中有一(yi)(yi)個已被解決(jue)（龐(pang)加(jia)萊(lai)猜想(xiang)，已由俄羅斯數(shu)學(xue)家(jia)格里戈里·佩雷(lei)(lei)爾曼(man)破(po)解）。

方程意義

方(fang)程建(jian)立了流體(ti)的(de)(de)(de)粒子動量的(de)(de)(de)改(gai)變率(加速度)和作(zuo)(zuo)用(yong)在液(ye)體(ti)內(nei)部的(de)(de)(de)壓力(li)(li)的(de)(de)(de)變化和耗散粘(zhan)滯(zhi)力(li)(li)(類似于(yu)摩擦(ca)力(li)(li))以及重力(li)(li)之(zhi)間的(de)(de)(de)關系。這(zhe)些粘(zhan)滯(zhi)力(li)(li)產(chan)生(sheng)于(yu)分子的(de)(de)(de)相互作(zuo)(zuo)用(yong)，能(neng)告訴我們液(ye)體(ti)有多粘(zhan)。這(zhe)樣，納維-斯托克斯方(fang)程描述作(zuo)(zuo)用(yong)于(yu)液(ye)體(ti)任意(yi)給定區域的(de)(de)(de)力(li)(li)的(de)(de)(de)動態平(ping)衡，這(zhe)在流體(ti)力(li)(li)學中有十(shi)分重要的(de)(de)(de)意(yi)義。

它(ta)(ta)們(men)是有用的(de)一組(zu)方(fang)程(cheng)之一，因為(wei)它(ta)(ta)們(men)描(miao)述(shu)了(le)大量(liang)對(dui)學術和經(jing)濟有用的(de)現象的(de)物理過程(cheng)。它(ta)(ta)們(men)可以用于建模天氣，洋流(liu)，管道中(zhong)的(de)水流(liu)，星系(xi)中(zhong)恒星的(de)運動，翼型(xing)周圍(wei)的(de)氣流(liu)。它(ta)(ta)們(men)也可以用于飛(fei)行器和車輛的(de)設計，血液循環的(de)研究，電站的(de)設計，污染效(xiao)應的(de)分析，等等。

方程中的奧秘

起(qi)伏(fu)的(de)(de)(de)波浪(lang)跟隨(sui)著我們(men)的(de)(de)(de)正在湖(hu)中蜿蜒穿梭的(de)(de)(de)小(xiao)船(chuan)，湍(tuan)急(ji)的(de)(de)(de)氣流跟隨(sui)著我們(men)的(de)(de)(de)現(xian)代噴氣式飛機的(de)(de)(de)飛行(xing)(xing)。數學(xue)家和物(wu)理學(xue)家深信(xin)，無論是(shi)微風還是(shi)湍(tuan)流，都可以通過理解(jie)(jie)納衛爾(er)-斯托可方(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)解(jie)(jie)，來對它們(men)進行(xing)(xing)解(jie)(jie)釋和預言。雖然這(zhe)些方(fang)程(cheng)(cheng)是(shi)19世紀(ji)寫下的(de)(de)(de)，我們(men)對它們(men)的(de)(de)(de)理解(jie)(jie)仍(reng)然極少(shao)。挑戰在于對數學(xue)理論作(zuo)出(chu)實質性的(de)(de)(de)進展，使我們(men)能解(jie)(jie)開隱藏(zang)在納衛爾(er)-斯托可方(fang)程(cheng)(cheng)方(fang)程(cheng)(cheng)中的(de)(de)(de)奧(ao)秘。

方程描述

納(na)維(wei)-斯(si)(si)(si)托(tuo)克(ke)斯(si)(si)(si)方程(cheng)依賴微(wei)分方程(cheng)來描(miao)述流體的(de)(de)運動(dong)。這(zhe)些(xie)方程(cheng)，和(he)代數方程(cheng)不(bu)同，不(bu)尋(xun)求建(jian)立所研究的(de)(de)變(bian)(bian)量（譬如速(su)度(du)(du)和(he)壓(ya)力）的(de)(de)關(guan)系(xi)(xi)，而是建(jian)立這(zhe)些(xie)量的(de)(de)變(bian)(bian)化率(lv)或通量之間(jian)的(de)(de)關(guan)系(xi)(xi)。用(yong)數學術(shu)語來講，這(zhe)些(xie)變(bian)(bian)化率(lv)對應于變(bian)(bian)量的(de)(de)導數。這(zhe)樣，簡(jian)單情況的(de)(de)0粘滯(zhi)度(du)(du)的(de)(de)理想流體的(de)(de)納(na)維(wei)-斯(si)(si)(si)托(tuo)克(ke)斯(si)(si)(si)方程(cheng)表(biao)明加速(su)度(du)(du)（速(su)度(du)(du)的(de)(de)導數，或者說變(bian)(bian)化率(lv)）是和(he)內(nei)部壓(ya)力的(de)(de)導數成正比的(de)(de)。這(zhe)表(biao)示對于給定的(de)(de)物理問題的(de)(de)納(na)維(wei)-斯(si)(si)(si)托(tuo)克(ke)斯(si)(si)(si)方程(cheng)的(de)(de)解(jie)必(bi)須用(yong)微(wei)積分的(de)(de)幫助才能取得。實用(yong)上(shang)，只有(you)簡(jian)單的(de)(de)情況才能用(yong)這(zhe)種方法解(jie)答(da)，而它們的(de)(de)確切答(da)案是已知的(de)(de)。這(zhe)些(xie)情況通常設計穩(wen)定態（流場不(bu)隨時間(jian)變(bian)(bian)化）的(de)(de)非湍(tuan)流，其中(zhong)流體的(de)(de)粘滯(zhi)系(xi)(xi)數很大(da)或者其速(su)度(du)(du)很小(xiao)（小(xiao)的(de)(de)雷諾數）。

對于更復雜的(de)情形，例如厄爾尼(ni)諾這樣的(de)全球(qiu)性氣象系統或機翼(yi)的(de)升力(li)，納維(wei)?斯(si)托(tuo)克斯(si)方程的(de)解必須借(jie)助(zhu)計算(suan)機。這本身是一個科(ke)學領域，稱為計算(suan)流體力(li)學。

雖然湍(tuan)流是日常經驗中就可(ke)以遇(yu)到的(de)，但這類問(wen)題極(ji)難求解(jie)。一個$1,000,000的(de)大獎(jiang)由克雷數學(xue)學(xue)院于2000年5月設(she)立，獎(jiang)給對于能夠幫助理解(jie)這一現(xian)象的(de)數學(xue)理論作出實質(zhi)性進展(zhan)的(de)任何人。