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猜想陳述

給(gei)定一個整體(ti)域上的(de)(de)阿貝爾(er)簇(cu)，猜(cai)想它的(de)(de)莫代爾(er)群(qun)的(de)(de)秩等(deng)(deng)于它的(de)(de)L函數在(zai)1處(chu)的(de)(de)零點階數，且(qie)它的(de)(de)L函數在(zai)1處(chu)的(de)(de)泰(tai)勒展開的(de)(de)首項系(xi)數與莫代爾(er)群(qun)的(de)(de)有限部分(fen)大(da)小(xiao)、自由部分(fen)體(ti)積、所有素位(wei)的(de)(de)周期以及沙群(qun)有精確的(de)(de)等(deng)(deng)式關(guan)系(xi)。

前半部分通常(chang)稱為弱BSD猜想。BSD猜想是(shi)分圓域(yu)的(de)(de)(de)類(lei)數(shu)公式的(de)(de)(de)推廣。格羅斯提(ti)出了一個細化的(de)(de)(de)BSD猜想。布洛(luo)克和加(jia)藤提(ti)出了更一般的(de)(de)(de)對(dui)于motif的(de)(de)(de)Bloch-Kato猜想。

已知結果

BSD猜想的(de)(de)陳述依賴(lai)于莫代爾定理(li)：整(zheng)體域上的(de)(de)阿貝(bei)爾簇的(de)(de)有理(li)點形成(cheng)一個(ge)有限(xian)生成(cheng)交換群。精確(que)的(de)(de)部分依賴(lai)于沙群的(de)(de)有限(xian)性猜想。

對(dui)于解(jie)析秩為0的(de)情形(xing)，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證(zheng)明了弱(ruo)BSD猜想，并且精確(que)的(de)BSD猜想在2以外均成立。

對于解析(xi)秩為1的情形，Gross，Zagier等人(ren)證明了弱BSD猜想(xiang)，并且精(jing)確的BSD猜想(xiang)在2和導子(zi)以(yi)外均成立。

猜想的推論

由BSD猜(cai)想(xiang)可(ke)以推(tui)出奇偶性猜(cai)想(xiang)、西(xi)爾維斯特等很多(duo)猜(cai)想(xiang)。其中著名的(de)是與同余數(shu)問題的(de)關系，從BSD猜(cai)想(xiang)可(ke)以推(tui)出模8余5，6，7的(de)無平方因子的(de)正整數(shu)一定(ding)可(ke)以成(cheng)為某個有(you)理邊長直角三角形(xing)的(de)面積。