給定一個整體(ti)域(yu)上的(de)(de)阿貝爾簇,猜想(xiang)它(ta)的(de)(de)莫(mo)代爾群的(de)(de)秩(zhi)等于它(ta)的(de)(de)L函數(shu)在1處(chu)的(de)(de)零點(dian)階(jie)數(shu),且它(ta)的(de)(de)L函數(shu)在1處(chu)的(de)(de)泰勒展開的(de)(de)首項系(xi)數(shu)與莫(mo)代爾群的(de)(de)有(you)限(xian)部分(fen)大小、自由(you)部分(fen)體(ti)積(ji)、所有(you)素(su)位的(de)(de)周期以及沙群有(you)精確的(de)(de)等式關系(xi)。
前半部分通常稱為弱BSD猜(cai)想。BSD猜(cai)想是分圓域的(de)類數公式的(de)推(tui)廣。格羅(luo)斯(si)提出了一個細化的(de)BSD猜(cai)想。布洛克(ke)和(he)加藤提出了更(geng)一般的(de)對于motif的(de)Bloch-Kato猜(cai)想。
BSD猜想的(de)(de)陳述依(yi)賴(lai)于莫代爾(er)定(ding)理(li):整(zheng)體域上的(de)(de)阿貝爾(er)簇的(de)(de)有(you)理(li)點(dian)形成一個有(you)限(xian)生(sheng)成交換群。精確的(de)(de)部(bu)分(fen)依(yi)賴(lai)于沙群的(de)(de)有(you)限(xian)性(xing)猜想。
對于解析(xi)秩為0的情形,Coates,Wiles,Kolyvagin,Rubin,Skinner,Urban等(deng)人證(zheng)明(ming)了弱BSD猜想(xiang),并(bing)且(qie)精(jing)確的BSD猜想(xiang)在2以外(wai)均(jun)成立(li)。
對于解析(xi)秩為(wei)1的(de)情(qing)形,Gross,Zagier等人證明了(le)弱BSD猜(cai)(cai)想,并且(qie)精確的(de)BSD猜(cai)(cai)想在(zai)2和(he)導(dao)子以外(wai)均(jun)成立。
由(you)BSD猜想(xiang)(xiang)可以推出奇(qi)偶性猜想(xiang)(xiang)、西(xi)爾維斯特等(deng)很(hen)多(duo)猜想(xiang)(xiang)。其中著(zhu)名(ming)的(de)(de)是(shi)與同余數(shu)(shu)問題的(de)(de)關系,從BSD猜想(xiang)(xiang)可以推出模8余5,6,7的(de)(de)無平方(fang)因子(zi)的(de)(de)正整數(shu)(shu)一定可以成為某個有理邊長直(zhi)角三角形的(de)(de)面積(ji)。