黎曼(man)猜想是波恩哈德·黎曼(man)1859年(nian)提(ti)出的(de),這位數(shu)(shu)學(xue)家于(yu)(yu)1826年(nian)出生(sheng)在當時屬(shu)于(yu)(yu)漢諾威王國的(de)名叫布(bu)列斯倫茨的(de)小(xiao)(xiao)鎮。1859年(nian),黎曼(man)被選為了(le)柏林科學(xue)院(yuan)的(de)通信(xin)院(yuan)士。作為對這一崇高榮譽的(de)回報,他向柏林科學(xue)院(yuan)提(ti)交了(le)一篇題為“論小(xiao)(xiao)于(yu)(yu)給定(ding)數(shu)(shu)值的(de)素數(shu)(shu)個數(shu)(shu)”的(de)論文(wen)。這篇只(zhi)有短短八頁的(de)論文(wen)就是黎曼(man)猜想的(de)“誕生(sheng)地”。
黎曼那(nei)篇(pian)論文所(suo)研(yan)究(jiu)的(de)(de)(de)(de)是一個數(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)(men)(men)長(chang)期以(yi)來就很(hen)感興趣的(de)(de)(de)(de)問題,即素數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)分布。素數(shu)(shu)又稱質數(shu)(shu)。質數(shu)(shu)是像2、3、5、7、11、13、17、19那(nei)樣大于1且(qie)除(chu)了(le)1和(he)自身以(yi)外不能(neng)被(bei)其他正(zheng)整(zheng)數(shu)(shu)整(zheng)除(chu)的(de)(de)(de)(de)自然數(shu)(shu)。這些數(shu)(shu)在數(shu)(shu)論研(yan)究(jiu)中(zhong)(zhong)有著極大的(de)(de)(de)(de)重要性,因(yin)為(wei)所(suo)有大于1的(de)(de)(de)(de)正(zheng)整(zheng)數(shu)(shu)都可以(yi)表示成它(ta)們(men)(men)(men)的(de)(de)(de)(de)合。從某(mou)種意義上講(jiang),它(ta)們(men)(men)(men)在數(shu)(shu)論中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)地位類似于物(wu)理世界中(zhong)(zhong)用以(yi)構(gou)筑萬物(wu)的(de)(de)(de)(de)原子。質數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)定義簡單得可以(yi)在中(zhong)(zhong)學(xue)(xue)甚至(zhi)小學(xue)(xue)課上進行講(jiang)授,但它(ta)們(men)(men)(men)的(de)(de)(de)(de)分布卻(que)奧妙得異(yi)乎尋常,數(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)(men)(men)付出了(le)極大的(de)(de)(de)(de)心力,卻(que)迄今仍未能(neng)徹底了(le)解。
黎曼論文(wen)的一(yi)(yi)個(ge)(ge)重大(da)的成果,就是(shi)(shi)發現了質(zhi)(zhi)數(shu)分布的奧秘完全(quan)蘊藏在一(yi)(yi)個(ge)(ge)特殊(shu)的函數(shu)之中,尤其是(shi)(shi)使那個(ge)(ge)函數(shu)取值為零的一(yi)(yi)系(xi)(xi)列特殊(shu)的點(dian)對質(zhi)(zhi)數(shu)分布的細致規(gui)律有著(zhu)決定性的影響。那個(ge)(ge)函數(shu)如今(jin)被(bei)稱(cheng)為黎曼ζ函數(shu),那一(yi)(yi)系(xi)(xi)列特殊(shu)的點(dian)則被(bei)稱(cheng)為黎曼ζ函數(shu)的非(fei)平(ping)凡零點(dian)。
有(you)意思的(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)(shi),黎(li)曼那篇文(wen)章(zhang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)成果(guo)雖然重(zhong)大,文(wen)字(zi)卻極為簡練,甚至簡練得有(you)些(xie)過分,因(yin)為它包括了很多(duo)“證(zheng)(zheng)(zheng)明(ming)(ming)從(cong)略(lve)”的(de)(de)(de)(de)(de)(de)地(di)方(fang)。而(er)要命的(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)(shi)(shi),“證(zheng)(zheng)(zheng)明(ming)(ming)從(cong)略(lve)”原本是(shi)(shi)(shi)(shi)應該用來(lai)(lai)省略(lve)那些(xie)顯而(er)易見的(de)(de)(de)(de)(de)(de)證(zheng)(zheng)(zheng)明(ming)(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)(de),黎(li)曼的(de)(de)(de)(de)(de)(de)論文(wen)卻并非如此,他那些(xie)“證(zheng)(zheng)(zheng)明(ming)(ming)從(cong)略(lve)”的(de)(de)(de)(de)(de)(de)地(di)方(fang)有(you)些(xie)花費了后世數(shu)學家(jia)們幾十年(nian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)努力才得以補全,有(you)些(xie)甚至直到今天仍是(shi)(shi)(shi)(shi)空白。但黎(li)曼的(de)(de)(de)(de)(de)(de)論文(wen)在為數(shu)不少的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“證(zheng)(zheng)(zheng)明(ming)(ming)從(cong)略(lve)”之外,卻引(yin)人(ren)注目(mu)地(di)包含(han)了一個(ge)他明(ming)(ming)確承認了自(zi)己無(wu)法證(zheng)(zheng)(zheng)明(ming)(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)命題,那個(ge)命題就是(shi)(shi)(shi)(shi)黎(li)曼猜(cai)想(xiang)。黎(li)曼猜(cai)想(xiang)自(zi)1859年(nian)“誕生”以來(lai)(lai),已過了161個(ge)春秋,在這期間,它就像一座(zuo)巍峨(e)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)山峰,吸(xi)引(yin)了無(wu)數(shu)數(shu)學家(jia)前去攀登,卻誰也沒能登頂。
有人統計過(guo),在當今數學(xue)(xue)文獻中(zhong)已(yi)有超過(guo)一千條(tiao)數學(xue)(xue)命題(ti)以黎(li)曼猜想(或其推廣形式(shi))的成立為(wei)前(qian)提。如(ru)果黎(li)曼猜想被證(zheng)明,所有那(nei)些數學(xue)(xue)命題(ti)就全(quan)都(dou)可(ke)以榮升為(wei)定理;反(fan)之,如(ru)果黎(li)曼猜想被否證(zheng),則那(nei)些數學(xue)(xue)命題(ti)中(zhong)起碼(ma)有一部分將成為(wei)陪葬。
黎(li)曼(man)觀察(cha)到(dao),素(su)數的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率緊密相關(guan)于(yu)一個精心構造的(de)(de)(de)(de)所(suo)謂黎(li)曼(man)zeta函數ζ(s)的(de)(de)(de)(de)性態。黎(li)曼(man)假設斷言,方程ζ(s)=0的(de)(de)(de)(de)所(suo)有(you)有(you)意義的(de)(de)(de)(de)解都(dou)在(zai)一條直線上(shang)。這點已經對于(yu)開始的(de)(de)(de)(de)1,500,000,000個解驗證過。
之所以(yi)(yi)要對(dui)這(zhe)一表(biao)達式進行解析(xi)延拓, 是(shi)因為這(zhe)一表(biao)達式只適用(yong)于復(fu)平(ping)面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 (否則級數(shu)(shu)不收斂)。黎曼(man)找(zhao)到了(le)這(zhe)一表(biao)達式的解析(xi)延拓(當然黎曼(man)沒(mei)有使用(yong) “解析(xi)延拓” 這(zhe)樣的現代復(fu)變函數(shu)(shu)論術語(yu))。運用(yong)路徑(jing)積分(fen),解析(xi)延拓后的黎曼(man)ζ 函數(shu)(shu)可以(yi)(yi)表(biao)示為:
這里我(wo)們采用的是(shi)歷史文獻中的記(ji)號, 式中的積分實(shi)際是(shi)一(yi)個環繞正實(shi)軸(zhou)進(jin)行的圍(wei)道積分(即從 +∞ 出發(fa), 沿實(shi)軸(zhou)上方積分至(zhi)原點附近(jin), 環繞原點積分至(zhi)實(shi)軸(zhou)下方, 再沿實(shi)軸(zhou)下方積分至(zhi) +∞ ,而且離實(shi)軸(zhou)的距(ju)離及環繞原點的半徑(jing)均趨(qu)于 0),按照現(xian)代數學記(ji)號應記(ji)成:
從這個關系式中不難(nan)發現,黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函(han)(han)數(shu)在 s=-2n (n 為(wei)(wei)(wei)(wei)正整數(shu)) 取值為(wei)(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling) - 因(yin)(yin)為(wei)(wei)(wei)(wei) sin(πs/2) 為(wei)(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)。復平面上的(de)這種使黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函(han)(han)數(shu)取值為(wei)(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)的(de)點(dian)被稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函(han)(han)數(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)。因(yin)(yin)此 s=-2n (n 為(wei)(wei)(wei)(wei)正整數(shu))是黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函(han)(han)數(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)。這些零(ling)(ling)(ling)點(dian)分布有序、 性(xing)質簡單, 被稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函(han)(han)數(shu)的(de)平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian) (trivial zero)。除了這些平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)外,黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函(han)(han)數(shu)還有許多(duo)其它零(ling)(ling)(ling)點(dian), 它們的(de)性(xing)質遠(yuan)比(bi)那(nei)些平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)來得(de)復雜, 被稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)非平凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian) (non-trivial zeros)。
黎曼(man)ζ 函數的所(suo)有非平(ping)凡零點都位于復平(ping)面(mian)上 Re(s)=1/2 的直(zhi)線上,也即方程ζ(s)=0的解的實(shi)部都是1/2。
在黎(li)(li)曼(man)(man)猜想的(de)(de)(de)研(yan)究中, 數學家們把復平面上 Re(s)=1/2 的(de)(de)(de)直線稱為 critical line(臨界線)。運用這一術語,黎(li)(li)曼(man)(man)猜想也可(ke)以(yi)表述為:黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函數的(de)(de)(de)所有非平凡零點都位于 critical line 上。