黎(li)曼(man)(man)猜(cai)(cai)想(xiang)是波恩(en)哈(ha)德(de)·黎(li)曼(man)(man)1859年(nian)(nian)提出的(de),這位數(shu)學(xue)家(jia)于1826年(nian)(nian)出生在當時屬于漢諾威王國的(de)名叫布(bu)列斯(si)倫茨的(de)小鎮。1859年(nian)(nian),黎(li)曼(man)(man)被選為(wei)了(le)柏林(lin)科(ke)學(xue)院的(de)通信院士。作為(wei)對這一崇(chong)高(gao)榮譽(yu)的(de)回報,他向柏林(lin)科(ke)學(xue)院提交了(le)一篇(pian)題為(wei)“論(lun)小于給(gei)定數(shu)值的(de)素(su)數(shu)個數(shu)”的(de)論(lun)文。這篇(pian)只有短短八(ba)頁的(de)論(lun)文就(jiu)是黎(li)曼(man)(man)猜(cai)(cai)想(xiang)的(de)“誕生地(di)”。
黎曼(man)那篇論(lun)文所研(yan)究(jiu)的(de)(de)(de)是一個數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家們長期以來就很(hen)感興趣(qu)的(de)(de)(de)問(wen)題,即素數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)分布。素數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)又稱質(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。質(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)是像2、3、5、7、11、13、17、19那樣(yang)大(da)于1且(qie)除了(le)(le)1和自(zi)身以外(wai)不能(neng)被其他正整數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)整除的(de)(de)(de)自(zi)然數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。這(zhe)些(xie)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)在數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)研(yan)究(jiu)中(zhong)有著極大(da)的(de)(de)(de)重要性,因為所有大(da)于1的(de)(de)(de)正整數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)都(dou)可以表示成(cheng)它們的(de)(de)(de)合。從某(mou)種意義上講,它們在數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)中(zhong)的(de)(de)(de)地位類似(si)于物(wu)理世界(jie)中(zhong)用以構筑(zhu)萬物(wu)的(de)(de)(de)原子(zi)。質(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)定義簡單得(de)可以在中(zhong)學(xue)甚至小學(xue)課上進行(xing)講授,但它們的(de)(de)(de)分布卻奧(ao)妙(miao)得(de)異乎(hu)尋常,數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)家們付出(chu)了(le)(le)極大(da)的(de)(de)(de)心力,卻迄今仍未能(neng)徹(che)底了(le)(le)解。
黎(li)曼論文的(de)一個(ge)重大(da)的(de)成果,就是發現(xian)了(le)質數分布的(de)奧(ao)秘完全蘊藏(zang)在一個(ge)特殊的(de)函(han)數之(zhi)中,尤其是使那個(ge)函(han)數取值為(wei)(wei)零的(de)一系(xi)列(lie)特殊的(de)點(dian)對(dui)質數分布的(de)細(xi)致(zhi)規(gui)律(lv)有著決定性的(de)影響。那個(ge)函(han)數如今被稱(cheng)為(wei)(wei)黎(li)曼ζ函(han)數,那一系(xi)列(lie)特殊的(de)點(dian)則被稱(cheng)為(wei)(wei)黎(li)曼ζ函(han)數的(de)非平凡零點(dian)。
有意思的(de)(de)是,黎曼(man)(man)那(nei)(nei)篇文(wen)章的(de)(de)成果雖然重(zhong)大,文(wen)字卻(que)(que)極為(wei)(wei)簡(jian)(jian)練,甚(shen)至簡(jian)(jian)練得有些過(guo)分,因為(wei)(wei)它(ta)包括了(le)(le)(le)很多“證(zheng)明(ming)從(cong)略(lve)”的(de)(de)地方。而要命(ming)的(de)(de)是,“證(zheng)明(ming)從(cong)略(lve)”原(yuan)本是應(ying)該用來(lai)省略(lve)那(nei)(nei)些顯而易見的(de)(de)證(zheng)明(ming)的(de)(de),黎曼(man)(man)的(de)(de)論文(wen)卻(que)(que)并非如此,他那(nei)(nei)些“證(zheng)明(ming)從(cong)略(lve)”的(de)(de)地方有些花費了(le)(le)(le)后世數學家們幾十年的(de)(de)努力才得以補全,有些甚(shen)至直到今天仍(reng)是空白。但黎曼(man)(man)的(de)(de)論文(wen)在為(wei)(wei)數不(bu)少(shao)的(de)(de)“證(zheng)明(ming)從(cong)略(lve)”之外,卻(que)(que)引(yin)(yin)人注目(mu)地包含了(le)(le)(le)一個他明(ming)確承認了(le)(le)(le)自己無法證(zheng)明(ming)的(de)(de)命(ming)題,那(nei)(nei)個命(ming)題就(jiu)是黎曼(man)(man)猜(cai)想。黎曼(man)(man)猜(cai)想自1859年“誕(dan)生”以來(lai),已過(guo)了(le)(le)(le)161個春(chun)秋,在這期間,它(ta)就(jiu)像一座(zuo)巍峨的(de)(de)山峰(feng),吸引(yin)(yin)了(le)(le)(le)無數數學家前去攀登,卻(que)(que)誰也沒能登頂。
有(you)人統(tong)計過,在當(dang)今數(shu)學文獻(xian)中已有(you)超(chao)過一(yi)(yi)千條數(shu)學命題以黎(li)曼(man)猜(cai)想(或其推廣形式)的成立為前提。如果(guo)黎(li)曼(man)猜(cai)想被證明,所(suo)有(you)那(nei)些(xie)(xie)數(shu)學命題就全都可(ke)以榮升為定理(li);反(fan)之,如果(guo)黎(li)曼(man)猜(cai)想被否證,則那(nei)些(xie)(xie)數(shu)學命題中起碼有(you)一(yi)(yi)部分(fen)將(jiang)成為陪葬。
黎曼(man)觀(guan)察到,素數(shu)的頻率緊密相(xiang)關于(yu)一個精心構造(zao)的所謂(wei)黎曼(man)zeta函數(shu)ζ(s)的性(xing)態。黎曼(man)假設(she)斷言,方程ζ(s)=0的所有有意(yi)義的解(jie)都在一條直線上。這點已經(jing)對于(yu)開始的1,500,000,000個解(jie)驗證過。
之所以要對(dui)這(zhe)(zhe)一表達式進行(xing)解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo), 是因為這(zhe)(zhe)一表達式只適用于(yu)復(fu)(fu)平面(mian)上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 (否則級數不收斂)。黎曼找到了這(zhe)(zhe)一表達式的解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo)(當然黎曼沒有使用 “解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo)” 這(zhe)(zhe)樣的現代復(fu)(fu)變函(han)數論(lun)術語)。運用路徑積(ji)分,解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo)后的黎曼ζ 函(han)數可(ke)以表示為:
這(zhe)里我(wo)們采用的(de)是歷(li)史文獻中的(de)記號, 式中的(de)積(ji)分實際是一(yi)個環(huan)繞正實軸(zhou)(zhou)進行的(de)圍道積(ji)分(即從 +∞ 出發, 沿(yan)(yan)實軸(zhou)(zhou)上方(fang)積(ji)分至原點附(fu)近, 環(huan)繞原點積(ji)分至實軸(zhou)(zhou)下(xia)方(fang), 再(zai)沿(yan)(yan)實軸(zhou)(zhou)下(xia)方(fang)積(ji)分至 +∞ ,而且離(li)實軸(zhou)(zhou)的(de)距離(li)及環(huan)繞原點的(de)半徑均趨于(yu) 0),按(an)照(zhao)現(xian)代數學記號應記成:
從這個關系式中不難發現,黎曼(man)ζ 函(han)(han)(han)數(shu)(shu)在 s=-2n (n 為正(zheng)整(zheng)數(shu)(shu)) 取值為零(ling)(ling)(ling) - 因為 sin(πs/2) 為零(ling)(ling)(ling)。復平(ping)(ping)面上的(de)(de)這種(zhong)使黎曼(man)ζ 函(han)(han)(han)數(shu)(shu)取值為零(ling)(ling)(ling)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)被(bei)稱(cheng)為黎曼(man)ζ 函(han)(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian)。因此 s=-2n (n 為正(zheng)整(zheng)數(shu)(shu))是黎曼(man)ζ 函(han)(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian)。這些(xie)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian)分布有(you)序、 性(xing)質簡單(dan), 被(bei)稱(cheng)為黎曼(man)ζ 函(han)(han)(han)數(shu)(shu)的(de)(de)平(ping)(ping)凡(fan)(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian) (trivial zero)。除了這些(xie)平(ping)(ping)凡(fan)(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian)外,黎曼(man)ζ 函(han)(han)(han)數(shu)(shu)還有(you)許多其它(ta)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian), 它(ta)們的(de)(de)性(xing)質遠比那些(xie)平(ping)(ping)凡(fan)(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian)來得復雜, 被(bei)稱(cheng)為非平(ping)(ping)凡(fan)(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)(dian) (non-trivial zeros)。
黎曼ζ 函(han)數的所有(you)非平(ping)凡零(ling)點都位于復平(ping)面上(shang) Re(s)=1/2 的直線上(shang),也即(ji)方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。
在黎曼猜(cai)(cai)想(xiang)的研究(jiu)中, 數學家們把復平面上(shang) Re(s)=1/2 的直線(xian)稱為(wei) critical line(臨界線(xian))。運用這一術(shu)語,黎曼猜(cai)(cai)想(xiang)也可以表述為(wei):黎曼ζ 函數的所有(you)非平凡(fan)零點都位于 critical line 上(shang)。