霍(huo)奇猜想 (Hodge Conjecture)
在非奇異復射影代數簇上, 任一霍奇類是代數閉鏈(lian)類的有(you)理線性(xing)組(zu)合。
二(er)十世紀的(de)數學(xue)家(jia)們發現了研究復雜對象的(de)形狀的(de)強有力的(de)辦法。
基本想(xiang)法是(shi)(shi)問在怎樣的(de)(de)(de)(de)(de)程度上,我(wo)們可以(yi)(yi)把(ba)給定對(dui)象的(de)(de)(de)(de)(de)形狀通過把(ba)維數不斷增加(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)簡(jian)單幾何(he)(he)營造塊粘合在一(yi)(yi)起來(lai)形成。這(zhe)(zhe)(zhe)種技巧是(shi)(shi)變(bian)得如(ru)此有(you)用,使(shi)得它可以(yi)(yi)用許多不同的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)式來(lai)推(tui)廣;最終導致一(yi)(yi)些(xie)強(qiang)有(you)力的(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)具,使(shi)數學家在對(dui)他(ta)們研究中所遇到的(de)(de)(de)(de)(de)形形色色的(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)象進行分(fen)類時取(qu)得巨大的(de)(de)(de)(de)(de)進展。不幸(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi),在這(zhe)(zhe)(zhe)一(yi)(yi)推(tui)廣中,程序的(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)(he)出發點變(bian)得模糊起來(lai)。在某種意(yi)義(yi)下,必須加(jia)上某些(xie)沒有(you)任何(he)(he)幾何(he)(he)解釋的(de)(de)(de)(de)(de)部(bu)件。霍(huo)奇猜想(xiang)斷言,對(dui)于所謂射(she)影代(dai)數簇這(zhe)(zhe)(zhe)種特別(bie)完美的(de)(de)(de)(de)(de)空間(jian)類型來(lai)說,稱(cheng)作霍(huo)奇閉(bi)鏈(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)部(bu)件實(shi)際上是(shi)(shi)稱(cheng)作代(dai)數閉(bi)鏈(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)(he)部(bu)件的(de)(de)(de)(de)(de)(有(you)理線(xian)性)組合。
霍(huo)奇(qi)(qi)猜(cai)想是(shi)(shi)代數幾何的(de)(de)一(yi)個重大的(de)(de)懸而(er)未決的(de)(de)問(wen)題(ti)。它是(shi)(shi)關(guan)于非奇(qi)(qi)異復代數簇(cu)的(de)(de)代數拓(tuo)撲和它由定義子簇(cu)的(de)(de)多項式方程所(suo)表述的(de)(de)幾何的(de)(de)關(guan)聯的(de)(de)猜(cai)想。它在(zai)霍(huo)奇(qi)(qi)的(de)(de)著述的(de)(de)一(yi)個結果中出(chu)現,他(ta)在(zai)1930至1940年間通過包含額(e)外的(de)(de)結構(gou)豐富了德拉姆上同(tong)調的(de)(de)表述,這種結構(gou)出(chu)現于代數簇(cu)的(de)(de)情況(kuang)(但不僅限于這種情況(kuang))。
黎曼假設(she)、龐加萊猜(cai)想(xiang)、霍奇(qi)猜(cai)想(xiang)、貝赫(he)和(he)斯(si)維訥通(tong)-戴爾(er)猜(cai)想(xiang)、納(na)維葉―斯(si)托克(ke)斯(si)方程、楊(yang)―米爾(er)理論(lun)、P問題(ti)(ti)對NP問題(ti)(ti)被稱為(wei)(wei)21世紀(ji)七(qi)大數學難題(ti)(ti)。2000年5月,美國的克(ke)萊數學促(cu)進會為(wei)(wei)每道題(ti)(ti)懸賞(shang)百萬美元求(qiu)解(jie)。目前(qian),這一難題(ti)(ti)仍(reng)沒有被破解(jie)。
對(dui)(dui)于(yu)(yu)(1,1)類(lei)的霍(huo)奇猜(cai)想已經在霍(huo)奇本人(ren)提出(chu)本猜(cai)想前的1924年(nian)由 Lefschetz證(zheng)明。換句話說,霍(huo)奇猜(cai)想對(dui)(dui)于(yu)(yu)H^2成立。實際上,這是霍(huo)奇提出(chu)其猜(cai)想的動機之一(yi)。
除此以外,還(huan)成立以下定理:如(ru)果(guo)霍(huo)(huo)奇猜想對(dui)于(yu)度(du)數p的霍(huo)(huo)奇類成立,其中p<n,n是上述射(she)影代數簇的維(wei)數,那么(me)對(dui)于(yu)度(du)數為2n-p的霍(huo)(huo)奇類,霍(huo)(huo)奇猜想也成立。
蘇(su)格(ge)蘭數學家威廉·霍(huo)(huo)奇(qi):怎么能知(zhi)道哪些類的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)同(tong)源性在(zai)任何(he)給(gei)定歧管,相當于一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)代數周期(qi)?一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)偉大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)想(xiang)(xiang)法。 只是(shi)(shi)(shi)他不能證(zheng)明。 我們有一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)小(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)平滑的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“空間(jian)”(在(zai)每(mei)個(ge)(ge)鄰域類似于歐幾(ji)里德空間(jian),但在(zai)更(geng)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)規模上,“空間(jian)”是(shi)(shi)(shi)不同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)),這是(shi)(shi)(shi)由一(yi)(yi)(yi)群方程描述(shu),使得(de)這個(ge)(ge)空間(jian)具(ju)有均勻的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)維度(du)。 然(ran)后我們獲取基(ji)本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“拓撲”信息,并將其分(fen)解成更(geng)小(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)分(fen)(由數字對標記(ji))。幾(ji)何(he)部(bu)分(fen)內的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理性東西被稱(cheng)為(wei)“Hodge循(xun)(xun)環(huan)(huan)”。 每(mei)個(ge)(ge)較(jiao)小(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)分(fen)是(shi)(shi)(shi)稱(cheng)為(wei)代數循(xun)(xun)環(huan)(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)組合。 基(ji)本上我們有一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)“樁”。我們仔細看(kan)(kan)看(kan)(kan)它,看(kan)(kan)看(kan)(kan)它是(shi)(shi)(shi)由許多“切(qie)碎(sui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)木材”組成。“切(qie)碎(sui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)木材”里面有“twigs”(霍(huo)(huo)奇(qi)循(xun)(xun)環(huan)(huan))。霍(huo)(huo)奇(qi)猜(cai)想(xiang)(xiang)斷(duan)言,對于成堆的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)切(qie)碎(sui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)木材,樹枝實際上是(shi)(shi)(shi)被稱(cheng)為(wei)原子(代數循(xun)(xun)環(huan)(huan))的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)組合。
這個(ge)叫霍奇(qi)猜想的(de)(de)東(dong)東(dong),用通俗(su)的(de)(de)話說(shuo),就(jiu)是(shi)“再好再復(fu)雜(za)的(de)(de)一座宮殿(dian),都可以由一堆積木壘成(cheng)(cheng)”。用文人的(de)(de)話說(shuo)就(jiu)是(shi): 任何一個(ge)形(xing)(xing)狀的(de)(de)幾何圖形(xing)(xing),不(bu)管它有多復(fu)雜(za)(只要(yao)你(ni)能(neng)想得出來(lai)(lai)),它都可以用一堆簡單的(de)(de)幾何圖形(xing)(xing)拼(pin)成(cheng)(cheng)。在實際工作中,我們無(wu)法在二維平面的(de)(de)紙上繪(hui)畫(hua)出來(lai)(lai)一種復(fu)雜(za)的(de)(de)多維圖形(xing)(xing),霍奇(qi)猜想就(jiu)是(shi)把(ba)復(fu)雜(za)的(de)(de)拓撲圖形(xing)(xing)分拆成(cheng)(cheng)為一個(ge)個(ge)構(gou)件,我們只要(yao)按照(zhao)規則安裝就(jiu)可以理解設計者的(de)(de)思想。霍奇(qi)猜想提出已(yi)經快80年了(le),至今有了(le)第一個(ge)例子。