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簡介

霍奇猜(cai)想(xiang) (Hodge Conjecture)

在非奇異復(fu)射(she)影代數簇(cu)上(shang), 任一霍(huo)奇類是代數閉鏈類的有理線性組合(he)。

背景

二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法(fa)。

基本(ben)想(xiang)法是(shi)問在(zai)(zai)(zai)怎(zen)樣的(de)(de)(de)(de)(de)程度上，我們(men)可以把給定對象的(de)(de)(de)(de)(de)形狀通過把維數(shu)不斷(duan)(duan)增加(jia)(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)簡單(dan)幾何(he)營(ying)造塊(kuai)粘合在(zai)(zai)(zai)一(yi)起來(lai)(lai)形成(cheng)。這(zhe)種(zhong)技巧是(shi)變得如此有(you)用(yong)，使得它(ta)可以用(yong)許(xu)多不同的(de)(de)(de)(de)(de)方式來(lai)(lai)推(tui)廣；最終導致一(yi)些(xie)(xie)強(qiang)有(you)力的(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)具，使數(shu)學家在(zai)(zai)(zai)對他(ta)們(men)研究中(zhong)所遇到的(de)(de)(de)(de)(de)形形色色的(de)(de)(de)(de)(de)對象進行分類時取得巨大的(de)(de)(de)(de)(de)進展。不幸(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)，在(zai)(zai)(zai)這(zhe)一(yi)推(tui)廣中(zhong)，程序(xu)的(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)出發點(dian)變得模糊起來(lai)(lai)。在(zai)(zai)(zai)某(mou)種(zhong)意義下，必須加(jia)(jia)上某(mou)些(xie)(xie)沒有(you)任何(he)幾何(he)解(jie)釋的(de)(de)(de)(de)(de)部件。霍(huo)(huo)奇猜(cai)想(xiang)斷(duan)(duan)言(yan)，對于所謂射(she)影代(dai)數(shu)簇這(zhe)種(zhong)特別完美的(de)(de)(de)(de)(de)空間(jian)類型來(lai)(lai)說，稱作霍(huo)(huo)奇閉(bi)鏈的(de)(de)(de)(de)(de)部件實(shi)際(ji)上是(shi)稱作代(dai)數(shu)閉(bi)鏈的(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)部件的(de)(de)(de)(de)(de)（有(you)理線(xian)性）組(zu)合。

問題

霍奇猜(cai)(cai)想是(shi)代數幾(ji)何的(de)一(yi)個重大的(de)懸而未決的(de)問題。它(ta)(ta)是(shi)關(guan)于非奇異復代數簇的(de)代數拓撲和它(ta)(ta)由(you)定義子簇的(de)多(duo)項(xiang)式方程所表述(shu)的(de)幾(ji)何的(de)關(guan)聯的(de)猜(cai)(cai)想。它(ta)(ta)在霍奇的(de)著述(shu)的(de)一(yi)個結(jie)(jie)(jie)果(guo)中出現，他(ta)在1930至1940年間通過包(bao)含額外的(de)結(jie)(jie)(jie)構(gou)(gou)豐富了德(de)拉(la)姆上同(tong)調的(de)表述(shu)，這種結(jie)(jie)(jie)構(gou)(gou)出現于代數簇的(de)情(qing)況（但不僅(jin)限(xian)于這種情(qing)況）。

現狀

黎曼假設、龐加萊猜想(xiang)、霍奇猜想(xiang)、貝(bei)赫(he)和斯維訥通－戴爾猜想(xiang)、納維葉―斯托(tuo)克(ke)斯方(fang)程、楊―米爾理(li)論、P問(wen)題對NP問(wen)題被稱為21世紀七大數學難題。2000年5月(yue)，美(mei)國(guo)的克(ke)萊數學促進(jin)會為每道題懸(xuan)賞(shang)百萬美(mei)元求解。目前，這一難題仍沒有被破解。

已知的情形

對于(yu)(1,1)類的(de)(de)霍奇(qi)猜想已(yi)經在霍奇(qi)本人提出本猜想前的(de)(de)1924年由(you) Lefschetz證明。換句話說，霍奇(qi)猜想對于(yu)H^2成立(li)。實際(ji)上，這(zhe)是霍奇(qi)提出其猜想的(de)(de)動機之一。

除此以外，還成立以下定理：如(ru)果霍奇猜想對(dui)于度數(shu)p的(de)霍奇類(lei)成立，其中p<n，n是上述射(she)影代數(shu)簇的(de)維數(shu)，那么對(dui)于度數(shu)為2n-p的(de)霍奇類(lei)，霍奇猜想也成立。

霍奇的想法

蘇(su)格(ge)蘭數(shu)學家威廉·霍(huo)(huo)(huo)奇：怎么(me)能知道(dao)哪些類的(de)(de)(de)同源性在任何(he)給(gei)定歧管，相(xiang)當于一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)代數(shu)周期？一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)偉大的(de)(de)(de)想法。 只(zhi)是他不(bu)能證明。 我們有(you)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)小的(de)(de)(de)平滑的(de)(de)(de)“空(kong)間”（在每(mei)個(ge)(ge)鄰域類似于歐幾(ji)里(li)德(de)空(kong)間，但在更(geng)大的(de)(de)(de)規(gui)模上(shang)，“空(kong)間”是不(bu)同的(de)(de)(de)），這(zhe)是由(you)一(yi)(yi)(yi)群方程描述(shu)，使得這(zhe)個(ge)(ge)空(kong)間具有(you)均勻的(de)(de)(de)維度。 然后我們獲(huo)取基(ji)本(ben)的(de)(de)(de)“拓撲”信息，并將其(qi)分(fen)解成(cheng)更(geng)小的(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)(bu)分(fen)（由(you)數(shu)字對標記）。幾(ji)何(he)部(bu)(bu)分(fen)內的(de)(de)(de)理性東西被稱(cheng)為“Hodge循(xun)(xun)環”。 每(mei)個(ge)(ge)較小的(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)(bu)分(fen)是稱(cheng)為代數(shu)循(xun)(xun)環的(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)(bu)分(fen)的(de)(de)(de)組合(he)。 基(ji)本(ben)上(shang)我們有(you)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)“樁”。我們仔(zi)細看(kan)看(kan)它，看(kan)看(kan)它是由(you)許(xu)多(duo)“切碎的(de)(de)(de)木(mu)材”組成(cheng)。“切碎的(de)(de)(de)木(mu)材”里(li)面有(you)“twigs”（霍(huo)(huo)(huo)奇循(xun)(xun)環）。霍(huo)(huo)(huo)奇猜想斷言，對于成(cheng)堆的(de)(de)(de)切碎的(de)(de)(de)木(mu)材，樹(shu)枝實際上(shang)是被稱(cheng)為原子（代數(shu)循(xun)(xun)環）的(de)(de)(de)幾(ji)何(he)部(bu)(bu)分(fen)的(de)(de)(de)組合(he)。

這個(ge)(ge)叫霍奇(qi)猜想的(de)(de)東東，用(yong)通俗的(de)(de)話說，就是“再(zai)好再(zai)復(fu)(fu)雜(za)(za)(za)的(de)(de)一(yi)(yi)(yi)座宮殿，都可(ke)以由一(yi)(yi)(yi)堆(dui)積木(mu)壘成”。用(yong)文人的(de)(de)話說就是: 任何(he)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)形(xing)狀(zhuang)的(de)(de)幾何(he)圖形(xing)，不管它有多復(fu)(fu)雜(za)(za)(za)(只要你(ni)能想得出來)，它都可(ke)以用(yong)一(yi)(yi)(yi)堆(dui)簡單的(de)(de)幾何(he)圖形(xing)拼成。在實際工(gong)作中，我們無法在二(er)維(wei)平面的(de)(de)紙上繪畫出來一(yi)(yi)(yi)種復(fu)(fu)雜(za)(za)(za)的(de)(de)多維(wei)圖形(xing)，霍奇(qi)猜想就是把復(fu)(fu)雜(za)(za)(za)的(de)(de)拓(tuo)撲(pu)圖形(xing)分(fen)拆成為(wei)一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)個(ge)(ge)構件(jian)，我們只要按照(zhao)規則(ze)安裝(zhuang)就可(ke)以理解設(she)計者的(de)(de)思想。霍奇(qi)猜想提出已經快(kuai)80年了(le)，至今(jin)有了(le)第一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)例(li)子(zi)。