《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》原名《周(zhou)髀(bi)(bi)》,算(suan)(suan)經(jing)的(de)十書之一,是中國最古老的(de)天文學(xue)和(he)(he)數學(xue)著作,約(yue)成(cheng)書于公(gong)元前(qian)1世紀,主要闡明當時(shi)的(de)蓋天說和(he)(he)四分歷法(fa)。唐初規(gui)定(ding)它為(wei)國子(zi)監明算(suan)(suan)科的(de)教材之一,故改名《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》。
《周(zhou)髀算經》在數學上的(de)主要成就是介紹(shao)了勾(gou)股(gu)定理(據說(shuo)原書沒有對勾(gou)股(gu)定理進行證(zheng)明,其證(zheng)明是三國時(shi)東吳人(ren)趙(zhao)爽在《周(zhou)髀注》一書的(de)《勾(gou)股(gu)圓(yuan)方(fang)圖注》中給出(chu)的(de))及其在測量上的(de)應用以及怎樣引用到天文計算。)
《周(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)經(jing)》的(de)采用(yong)最(zui)簡便可行(xing)的(de)方法確定天文歷法,揭示日月星辰的(de)運行(xing)規律(lv),囊括四季更替,氣候變化,包涵南北有極,晝(zhou)夜相(xiang)推的(de)道理。給后來者生活作息提供有力(li)的(de)保(bao)障(zhang),自此以后歷代數學家無不以《周(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)經(jing)》為(wei)參考(kao),在此基礎上不斷創新和發展。
假設我(wo)們(men)把《周髀(bi)(bi)算經》的(de)(de)(de)(de)本文(wen)限定為商高(gao)與周公的(de)(de)(de)(de)問答,似乎其成書年代也就不(bu)難(nan)斷(duan)定了(le)(le)。可是(shi),乾(qian)嘉(jia)以后,考據之(zhi)學興起(qi),疑古之(zhi)風日盛(sheng),到了(le)(le)現代,幾乎所有(you)的(de)(de)(de)(de)中外學者都不(bu)得不(bu)接(jie)受這樣(yang)的(de)(de)(de)(de)推斷(duan):不(bu)僅商高(gao)是(shi)后人假托的(de)(de)(de)(de),甚至陳子也是(shi)后人虛構出來的(de)(de)(de)(de)。于是(shi),僅僅把商高(gao)問答看作《周髀(bi)(bi)算經》本文(wen)就不(bu)再有(you)任(ren)何意義了(le)(le)。因此,許多(duo)學者都將陳子問答以后的(de)(de)(de)(de)文(wen)字作為《周髀(bi)(bi)算經》全文(wen)的(de)(de)(de)(de)一個部分(fen),不(bu)再加以區分(fen)。此一來,人們(men)開始根據《周髀(bi)(bi)算經》中的(de)(de)(de)(de)內容(rong)推斷(duan)它的(de)(de)(de)(de)成書年代。
通常(chang)的(de)方法可以分(fen)成(cheng)兩類:天文學(xue)(xue)史(shi)專家,喜歡利用現代(dai)天文學(xue)(xue)手段,根(gen)據《周髀算(suan)經》中記錄的(de)一些(xie)特殊的(de)天文現象(xiang)或數(shu)據,推(tui)算(suan)其應該(gai)出現的(de)年代(dai),并(bing)以此(ci)來確定其成(cheng)書時代(dai)。例如,日本學(xue)(xue)者(zhe)能田忠亮(liang)便以《周髀算(suan)經》中的(de)北(bei)極星(xing)(北(bei)極璇璣)到北(bei)天極的(de)距離.歸算(suan)出其成(cheng)書年代(dai)大約在公(gong)元前5到7世(shi)紀之間。
另一種方法則是根據《周髀(bi)算經》涉(she)及的(de)一些內容,與相對而言年(nian)代(dai)比(bi)較(jiao)明(ming)確(que)的(de)其他歷史典(dian)籍的(de)比(bi)較(jiao),推斷其成書年(nian)代(dai)。錢(qian)寶(bao)琮(1892年(nian)-1974年(nian))在(zai)《周髀(bi)算經考(kao)》中對《周髀(bi)算經》的(de)年(nian)代(dai)做出(chu)如下的(de)考(kao)證:第一,《周髀(bi)算經》主(zhu)要分(fen)為兩個(ge)部分(fen),前為商(shang)高問(wen)答,后為陳子(zi)模型;第二,由于懷疑商(shang)高是后人(ren)的(de)偽托(tuo),因(yin)此,認為陳子(zi)以(yi)下的(de)文(wen)字才是《周髀(bi)算經》的(de)主(zhu)體,通過(guo)與《淮南子(zi)·天文(wen)訓》的(de)比(bi)較(jiao),從六個(ge)方面論(lun)述(shu)了陳子(zi)以(yi)下的(de)文(wen)字成書在(zai)
公元(yuan)前100年(nian)(nian)左右;第(di)三,“周髀(bi)”的(de)(de)意(yi)思以陳子(zi)之說為準,同時也(ye)提到其(qi)他(ta)一(yi)些解釋;第(di)四,比較24氣(qi)名目(mu)及次序與(yu)《三統歷》之異(yi)同,提到趙爽(shuang)注(zhu)稱原節氣(qi)長度15日與(yu)《淮南子(zi)》的(de)(de)粗(cu)略記法類(lei)似;第(di)五,分(fen)數算(suan)(suan)(suan)法的(de)(de)繁復與(yu)《九章算(suan)(suan)(suan)術》類(lei)似。他(ta)的(de)(de)結論是(shi),《周髀(bi)算(suan)(suan)(suan)經》成書在(zai)公元(yuan)前100年(nian)(nian)左右。在(zai)疑古思潮的(de)(de)影響下,還有一(yi)種傾向(xiang)也(ye)值得人們的(de)(de)注(zhu)意(yi),那(nei)就是(shi)以《周髀(bi)算(suan)(suan)(suan)經》全書中所有內(nei)容的(de)(de)下限來判定它的(de)(de)成書年(nian)(nian)代(dai),古克(ke)禮(C.Cullen)大約可以算(suan)(suan)(suan)是(shi)這(zhe)個(ge)方(fang)面的(de)(de)一(yi)個(ge)代(dai)表(biao)。
古克禮認(ren)為以前的(de)(de)學者(zhe)大多錯誤地企圖去發現《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》作為一個整體(ti)完成的(de)(de)年代,因此,它們的(de)(de)結(jie)論(lun)(lun)是在(zai)一種假象的(de)(de)幻覺(jue)中獲得的(de)(de)。他(ta)認(ren)為,這部(bu)(bu)書是一些志同道(dao)合(he)的(de)(de)研究者(zhe)分(fen)別撰述的(de)(de)論(lun)(lun)文集。他(ta)的(de)(de)做法是,首先,調(diao)查《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)內(nei)在(zai)結(jie)構,并將(jiang)其劃(hua)分(fen)為不同的(de)(de)章節(jie),討(tao)(tao)論(lun)(lun)節(jie)與(yu)節(jie)之間的(de)(de)關系;其次,討(tao)(tao)論(lun)(lun)與(yu)各節(jie)內(nei)容(rong)(rong)有(you)關的(de)(de)外部(bu)(bu)世界(jie)的(de)(de)資料與(yu)活動(dong);第(di)三,探討(tao)(tao)可能產生與(yu)各節(jie)內(nei)容(rong)(rong)相關的(de)(de)歷史環境(jing)。他(ta)將(jiang)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)整體(ti)編排打亂,把(ba)它們劃(hua)分(fen)為外篇(pian)與(yu)內(nei)篇(pian)兩個部(bu)(bu)分(fen)。其中內(nei)篇(pian)以陳子(zi)模型為主(zhu)展開,取其下限在(zai)公元(yuan)1世紀。
在(zai)(zai)有關外部環境的(de)(de)(de)(de)討論(lun)中(zhong)(zhong)(zhong),指出(chu)作(zuo)為皇家的(de)(de)(de)(de)藏書目錄,班(ban)固(32-92年(nian)(nian))編寫的(de)(de)(de)(de)《漢書·藝文志》中(zhong)(zhong)(zhong)有《許(xu)商(shang)算術》與《杜(du)忠算術》而(er)無(wu)《周(zhou)髀算經(jing)》;蓋(gai)天(tian)說在(zai)(zai)公(gong)元(yuan)l世紀已經(jing)為人所熟知,蔡邕在(zai)(zai)公(gong)元(yuan)180年(nian)(nian)已經(jing)明確將其列為中(zhong)(zhong)(zhong)圈古代(dai)的(de)(de)(de)(de)三家宇宙論(lun)之一。結論(lun)是,由于受到(dao)了(le)渾天(tian)說的(de)(de)(de)(de)影響,《周(zhou)髀算經(jing)》的(de)(de)(de)(de)成書時間(jian)不可能早于公(gong)元(yuan)前(qian)l世紀,但也(ye)不會晚于公(gong)元(yuan)200年(nian)(nian)。筆者以為,判(pan)別(bie)中(zhong)(zhong)(zhong)國古代(dai)科(ke)學(xue)典籍的(de)(de)(de)(de)完成年(nian)(nian)代(dai),應該(gai)以書中(zhong)(zhong)(zhong)主要的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)思想或(huo)知識水平所反映的(de)(de)(de)(de)年(nian)(nian)代(dai)為判(pan)別(bie)標準,而(er)不應以書中(zhong)(zhong)(zhong)夾雜的(de)(de)(de)(de)若干后代(dai)摻(chan)入的(de)(de)(de)(de)只(zhi)言片語作(zuo)為推斷的(de)(de)(de)(de)條件。由于早期的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)典籍通(tong)常都是人類知識逐(zhu)漸積累的(de)(de)(de)(de)結晶,因此,搞清楚(chu)其中(zhong)(zhong)(zhong)科(ke)學(xue)思想的(de)(de)(de)(de)萌生時期與流傳脈絡,也(ye)許(xu)比單純判(pan)定它的(de)(de)(de)(de)成書年(nian)(nian)代(dai)更(geng)有意義。
科學史已經(jing)(jing)反(fan)復地證明(ming),今天看來是(shi)(shi)(shi)非常顯然的(de)(de)科學真理(li),在人類(lei)認識它的(de)(de)初期(qi)往往經(jing)(jing)歷了長期(qi)的(de)(de)懷疑,甚至(zhi)抵制。例(li)如,歲差(cha)現象在南北朝時(shi)期(qi)的(de)(de)存(cun)廢之(zhi)爭(zheng),就是(shi)(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)(ge)典型的(de)(de)事(shi)例(li)。因此,試(shi)圖通過(guo)以(yi)《周髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》中的(de)(de)內容的(de)(de)完整或正(zheng)確性(xing)介于某兩個(ge)(ge)古(gu)代文獻(xian)之(zhi)間(jian),就認定(ding)其成(cheng)書年代也(ye)(ye)必(bi)定(ding)介于兩者之(zhi)間(jian)的(de)(de)方法,是(shi)(shi)(shi)靠不(bu)住的(de)(de)。而利用一(yi)(yi)些重要數(shu)據的(de)(de)理(li)論推(tui)算(suan)來判(pan)定(ding)其成(cheng)書年代的(de)(de)方法,許(xu)多時(shi)候也(ye)(ye)是(shi)(shi)(shi)不(bu)太可(ke)行(xing)的(de)(de)。有(you)關《周髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)書年代的(de)(de)討論,馮禮貴曾經(jing)(jing)收集了14種不(bu)同(tong)的(de)(de)觀點。盡管在《周髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》成(cheng)書年代的(de)(de)判(pan)斷上(shang)有(you)很大的(de)(de)區別(bie),但(dan)幾乎所有(you)的(de)(de)研究者都有(you)一(yi)(yi)個(ge)(ge)共識,那就是(shi)(shi)(shi)《周髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》并不(bu)是(shi)(shi)(shi)成(cheng)書于一(yi)(yi)人一(yi)(yi)時(shi),它經(jing)(jing)過(guo)了許(xu)多朝代的(de)(de)流傳進(jin)化才得以(yi)完成(cheng)我們所看到的(de)(de)篇幅與結構。
章鴻釗曾經(jing)(jing)(jing)明確地將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)劃分(fen)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)三(san)(san)個(ge)(ge)(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi):第一(yi)(yi)期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi),商(shang)高(gao)問(wen)答(da);第二(er)期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi),陳(chen)子(zi)問(wen)答(da);第三(san)(san)期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi),陳(chen)子(zi)以后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文字(zi)。這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分(fen),是(shi)(shi)許多(duo)人(ren)都默認的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)事實(shi)。正(zheng)如陳(chen)方正(zheng)在(zai)(zai)總(zong)結(jie)前(qian)人(ren)對(dui)(dui)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)》成(cheng)書過程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討論(lun)(lun)時所說:《周(zhou)(zhou)(zhou)髀》不(bu)但(dan)不(bu)是(shi)(shi)個(ge)(ge)(ge)(ge)人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作,甚(shen)至(zhi)也(ye)(ye)未必是(shi)(shi)單(dan)一(yi)(yi)性質的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作,而可能是(shi)(shi)由多(duo)個(ge)(ge)(ge)(ge)在(zai)(zai)不(bu)同(tong)歷(li)史時期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)出現,相(xiang)(xiang)關、相(xiang)(xiang)類但(dan)并不(bu)相(xiang)(xiang)同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)說、理(li)(li)(li)論(lun)(lun),逐漸累積而成(cheng)。因(yin)此,將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)》單(dan)純(chun)視為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)表述蓋天(tian)(tian)說的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽體(ti)系(xi),而忽視它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積性質,是(shi)(shi)不(bu)甚(shen)恰(qia)當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆者也(ye)(ye)贊同(tong)將(jiang)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)劃分(fen)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)三(san)(san)個(ge)(ge)(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)。具體(ti)而言(yan),上卷之(zhi)(zhi)一(yi)(yi),商(shang)高(gao)與(yu)(yu)周(zhou)(zhou)(zhou)公(gong)(gong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)答(da),應(ying)該(gai)是(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)始文字(zi),它(ta)反映了早期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以商(shang)高(gao)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)代表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中(zhong)國古代數(shu)學(xue)家對(dui)(dui)數(shu)學(xue)以及(ji)數(shu)學(xue)之(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認識(shi)。商(shang)高(gao)答(da)周(zhou)(zhou)(zhou)公(gong)(gong)問(wen)企(qi)圖說明的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)題是(shi)(shi)解決幾何(he)測(ce)量(liang)(liang)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)方法(fa),這(zhe)一(yi)(yi)點他(ta)做到了。這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)方法(fa)包含勾(gou)股(gu)定理(li)(li)(li)與(yu)(yu)用(yong)矩之(zhi)(zhi)道(dao)。按照商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說法(fa),這(zhe)些數(shu)學(xue)內(nei)容(rong)(rong)在(zai)(zai)大(da)禹治水的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時候已(yi)經(jing)(jing)(jing)具備,應(ying)該(gai)是(shi)(shi)可信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第二(er)個(ge)(ge)(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi),陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出,其內(nei)容(rong)(rong)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)上卷之(zhi)(zhi)二(er)陳(chen)子(zi)與(yu)(yu)容(rong)(rong)方的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)答(da),這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)部(bu)分(fen)大(da)約在(zai)(zai)戰國時期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)已(yi)經(jing)(jing)(jing)形成(cheng)。這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)(qi)(qi),陳(chen)子(zi)將(jiang)商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用(yong)矩之(zhi)(zhi)道(dao)進一(yi)(yi)步(bu)發展成(cheng)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)測(ce)望日高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重差術。也(ye)(ye)是(shi)(shi)可以相(xiang)(xiang)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳(chen)子(zi)問(wen)答(da)中(zhong)試圖解決的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)題是(shi)(shi),利用(yong)影差原(yuan)理(li)(li)(li)與(yu)(yu)日高(gao)術,在(zai)(zai)商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用(yong)矩之(zhi)(zhi)道(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上,進一(yi)(yi)步(bu)完(wan)善更加宏大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測(ce)天(tian)(tian)量(liang)(liang)地的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)(li)論(lun)(lun)與(yu)(yu)實(shi)踐。陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出,事實(shi)上是(shi)(shi)在(zai)(zai)向著(zhu)(zhu)這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁出了關鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)步(bu):把(ba)商(shang)高(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀》轉化為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)蓋天(tian)(tian)說的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)(zhou)(zhou)髀》,把(ba)一(yi)(yi)部(bu)比(bi)較單(dan)純(chun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)著(zhu)(zhu)作轉化為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)一(yi)(yi)部(bu)純(chun)粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)理(li)(li)(li)天(tian)(tian)文學(xue)論(lun)(lun)著(zhu)(zhu)。
從(cong)上(shang)卷之三(san)開(kai)始,是(shi)(shi)對蓋天說(shuo)理(li)(li)論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)擴張與完善(shan)。首先(xian)是(shi)(shi)在(zai)陳子(zi)(zi)模(mo)(mo)型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)本假設下,建立七衡六間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)宇宙模(mo)(mo)型(xing)(xing),并以術文的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式給出每(mei)日(ri)太陽(yang)運行軌道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算(suan)方法,使七衡圖(tu)成(cheng)為一(yi)個(ge)(ge)可以操作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)真正的(de)(de)(de)(de)(de)(de)活動式星(xing)盤。在(zai)此基(ji)礎上(shang),進一(yi)步(bu)引(yin)入(ru)(ru)新的(de)(de)(de)(de)(de)(de)天地形(xing)狀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)(mo)式,給出了(le)(le)(le)地理(li)(li)五帶的(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分、寒(han)暑成(cheng)因的(de)(de)(de)(de)(de)(de)解釋、日(ri)出日(ri)落的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方位,并建立了(le)(le)(le)蓋天說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)天體測量學,引(yin)入(ru)(ru)了(le)(le)(le)去極度的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念,制作(zuo)了(le)(le)(le)比較完整的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《四分歷(li)》等等。這些雖然大(da)(da)大(da)(da)地豐富了(le)(le)(le)陳子(zi)(zi)模(mo)(mo)型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論內涵,但同時也制造了(le)(le)(le)蓋天說(shuo)系統內部(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)些無法完全自洽的(de)(de)(de)(de)(de)(de)矛盾(dun),成(cheng)為后世學者不斷批(pi)評的(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標。這個(ge)(ge)部(bu)分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成(cheng),意味著《周髀算(suan)經》作(zuo)為一(yi)部(bu)論述(shu)蓋天說(shuo)理(li)(li)論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)專(zhuan)著的(de)(de)(de)(de)(de)(de)完成(cheng)。從(cong)《周髀算(suan)經》上(shang)卷之三(san)開(kai)始,出現了(le)(le)(le)大(da)(da)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“術曰”,這一(yi)點(dian)與商高問答及(ji)陳子(zi)(zi)問答的(de)(de)(de)(de)(de)(de)行文風格形(xing)成(cheng)明顯的(de)(de)(de)(de)(de)(de)反(fan)差(cha),從(cong)一(yi)個(ge)(ge)側(ce)面反(fan)映(ying)出其形(xing)成(cheng)時期(qi)應該是(shi)(shi)比前兩(liang)個(ge)(ge)部(bu)分更(geng)加晚近的(de)(de)(de)(de)(de)(de)事(shi)實。
綜(zong)上所述,《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)第一(yi)部(bu)(bu)分(fen)商(shang)高問(wen)答,曾經(jing)(jing)(jing)作(zuo)(zuo)為(wei)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)》獨立(li)的(de)(de)(de)(de)(de)本(ben)文,其完成(cheng)時間應(ying)該(gai)是(shi)(shi)在(zai)西周(zhou)初期(qi),約公(gong)元(yuan)前11世紀(ji)。陳子問(wen)答中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)理(li)論與(yu)宇(yu)宙(zhou)模(mo)型完成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)時間,大約在(zai)公(gong)元(yuan)前4、5世紀(ji)。作(zuo)(zuo)為(wei)一(yi)部(bu)(bu)闡釋(shi)蓋天(tian)說理(li)論的(de)(de)(de)(de)(de)數理(li)天(tian)文學(xue)(xue)著作(zuo)(zuo),《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)》從(cong)上卷之三(san)開始,是(shi)(shi)對陳子模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)完善和擴充,其中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)些(xie)基本(ben)數據(ju)與(yu)結構(gou),如七衡圖與(yu)去極度等(deng),應(ying)該(gai)是(shi)(shi)在(zai)陳子模(mo)型提出后就已經(jing)(jing)(jing)確定了的(de)(de)(de)(de)(de),但是(shi)(shi),陳子假設的(de)(de)(de)(de)(de)平(ping)行(xing)平(ping)面的(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)地模(mo)型,則得(de)到(dao)了一(yi)定的(de)(de)(de)(de)(de)修正,并且(qie)加(jia)入了一(yi)些(xie)新的(de)(de)(de)(de)(de)東(dong)西,如寒(han)暑成(cheng)因與(yu)歷法等(deng)內(nei)容,總而言之,《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)》第三(san)部(bu)(bu)分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)成(cheng)型,按照錢寶琮與(yu)劉(liu)朝陽(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)考證,應(ying)該(gai)不會晚于(yu)公(gong)元(yuan)前100年。
根據《周(zhou)髀算經(jing)》原文中的明確(que)交待(dai),以及在(zai)文獻中對幾個關(guan)鍵問題的詳細論(lun)證,我們已經(jing)知道《周(zhou)髀算經(jing)》中的蓋天宇宙有如(ru)下特征(zheng)∶
一(yi)、大地與天(tian)為相距80,000里的平(ping)行圓形平(ping)面。
二(er)、大地中(zhong)央有(you)高(gao)(gao)大柱形物(wu)(高(gao)(gao)60,000里的(de)“璇璣”,其(qi)底面直(zhi)徑為23,000里)。
三(san)、該宇宙模(mo)型的構造者在圓形大地上為(wei)自己(ji)的居息之處確定了位置(zhi),并且這(zhe)位置(zhi)不在中央(yang)而(er)是(shi)偏南。
四、大地(di)中央的柱形延伸至天處為北極。
五、日(ri)月星辰在天上(shang)環繞北極作(zuo)平面圓周運動。
六(liu)、太陽(yang)在(zai)這種圓周運動中有(you)著多(duo)重同心軌(gui)道(dao),并且以半年(nian)(nian)為周期作規律性的軌(gui)道(dao)遷(qian)移(一(yi)年(nian)(nian)往返一(yi)遍)。
七、太陽的(de)(de)上述運行(xing)模式可以在相當程(cheng)度上說明晝夜成因和(he)太陽周(zhou)年視運動(dong)中的(de)(de)一(yi)些天象。
令人極(ji)為驚訝的(de)是,筆(bi)者發現(xian)上述七(qi)項特征竟與古(gu)代(dai)印度(du)的(de)宇宙模型全都吻合!這樣的(de)現(xian)象恐非偶然,值得加以注意和(he)研究。下面先報道筆(bi)者初步比較的(de)結果,更深入的(de)研究或當俟諸異日。
關于(yu)古代(dai)印度宇宙(zhou)模(mo)型的(de)(de)(de)記(ji)載,主要保(bao)存在(zai)一些《往(wang)世(shi)(shi)書(shu)》(Puranas)中(zhong)。《往(wang)世(shi)(shi)書(shu)》是印度教的(de)(de)(de)圣典,同(tong)時又是古代(dai)史籍(ji),帶有(you)百科全書(shu)性質。它們的(de)(de)(de)確切成書(shu)年(nian)代(dai)難以判定,但其中(zhong)關于(yu)宇宙(zhou)模(mo)式(shi)的(de)(de)(de)一套概(gai)念,學者們相信(xin)可(ke)以追溯到吠陀(tuo)時代(dai)----約公元前1000年(nian)之前,因(yin)而是非常古老的(de)(de)(de)。《往(wang)世(shi)(shi)書(shu)》中(zhong)的(de)(de)(de)宇宙(zhou)模(mo)式(shi)可(ke)以概(gai)述如下(xia):
大地(di)(di)象(xiang)平(ping)底的(de)(de)圓盤,在大地(di)(di)中央(yang)聳立著巍峨(e)的(de)(de)高山(shan),名為迷盧(lu)(Meru,也(ye)即(ji)漢譯佛經中的(de)(de)“須彌山(shan)”,或作Sumeru,譯成“蘇迷盧(lu)”)。迷盧(lu)山(shan)外圍繞著環(huan)形陸(lu)地(di)(di),此陸(lu)地(di)(di)又為環(huan)形大海(hai)所(suo)圍繞,……如此遞相(xiang)環(huan)繞向外延(yan)展,共有七圈大陸(lu)和七圈海(hai)洋。
印度在迷盧山的(de)南(nan)方。
與(yu)大(da)地平行的(de)天上有著一系列天輪(lun),這些(xie)天輪(lun)的(de)共同軸心(xin)就是迷盧(lu)山;迷盧(lu)山的(de)頂端(duan)就是北極星(xing)(Dhruva)所在之(zhi)處,諸天輪(lun)攜帶(dai)著各(ge)種天體繞(rao)之(zhi)旋轉;這些(xie)天體包括(kuo)日、月、恒星(xing)、……以及五大(da)行星(xing)----依次為水星(xing)、金星(xing)、火(huo)星(xing)、木星(xing)和土(tu)星(xing)。
利用迷(mi)盧山(shan)可以解釋黑(hei)夜與白晝的(de)交替。攜(xie)帶太(tai)陽的(de)天輪上有180條(tiao)軌道,太(tai)陽每(mei)天遷(qian)移一軌,半年后(hou)反向(xiang)重(zhong)復,以此來描(miao)述日(ri)出方位角的(de)周(zhou)年變(bian)化(hua)。……
又唐代(dai)釋(shi)(shi)道宣《釋(shi)(shi)迦方志》卷上也記(ji)述了(le)古代(dai)印度的宇宙(zhou)模型,細(xi)節上恰可與上述記(ji)載相互補(bu)充∶
……蘇迷盧山,即經所謂須彌山也,在大(da)海中,據金輪表,半出(chu)海上(shang)八萬(wan)由旬,日月回薄于其腰也。外有(you)金山七重(zhong)圍(wei)之,中各海水,具八功德(de)。
根(gen)據這些記載,古代印度宇宙模型(xing)與(yu)《周(zhou)髀算經》蓋天(tian)宇宙模型(xing)卻是有驚人的相似之處(chu),在細(xi)節上幾乎處(chu)處(chu)吻合∶
一、兩者的天、地(di)都(dou)是(shi)圓(yuan)形(xing)的平(ping)行平(ping)面;
二(er)、“璇(xuan)璣”和“迷盧(lu)山”同樣扮演了大地(di)中(zhong)央(yang)的“天柱(zhu)”角色;
三、周地和印度都被置于(yu)各自宇宙中大地的南(nan)半部分(fen);
四、“璇璣”和“迷盧(lu)上(shang)”的(de)正上(shang)方(fang)都(dou)是各種天體旋轉的(de)樞軸----北(bei)極(ji);
五(wu)、日月星辰在天上環繞(rao)北極作平面圓周運動。
六、如果說(shuo)印(yin)度迷盧山(shan)外的“七山(shan)七海”在數字上(shang)使人聯想到《周髀算經》的“七衡六間(jian)”的話,那么印(yin)度宇宙中太陽天輪的180條軌道無論從性質還是功能來說(shuo)都與七衡六間(jian)完全一致(zhi)(太陽在七衡之間(jian)的往返也是每天連(lian)續(xu)移(yi)動的)。
七、特別值得指(zhi)出,《周髀算經》中天(tian)與地(di)的(de)距離(li)是(shi)(shi)八(ba)萬(wan)里,而迷盧(lu)山也是(shi)(shi)高出海上(shang)(shang)“八(ba)萬(wan)由(you)旬”,其上(shang)(shang)即諸天(tian)輪(lun)所在,是(shi)(shi)其天(tian)地(di)距離(li)恰好同(tong)為八(ba)萬(wan)單位,難道(dao)純屬偶然(ran)?
在人類文明發展史上(shang),文化的(de)多(duo)(duo)元(yuan)自(zi)發生成是完(wan)全可能的(de),因此(ci)許多(duo)(duo)不同文明中相(xiang)似(si)之處,也可能是偶然巧合(he)。但是《周髀算經》的(de)蓋天宇宙(zhou)模型(xing)與古(gu)代印度宇宙(zhou)模型(xing)之間的(de)相(xiang)似(si)程度實在太(tai)高----從整個(ge)格局到許多(duo)(duo)細節(jie)都一一吻合(he),如果(guo)仍用“偶然巧合(he)”去解釋(shi),無論如何總顯得過(guo)于(yu)勉強(qiang)。
當然,如(ru)果(guo)我們就(jiu)此立刻進入(ru)關于“誰源于誰”的(de)考(kao)據之中,那(nei)又將遠(yuan)遠(yuan)超出本文(wen)的(de)范圍。
2寒暑(shu)五帶(dai)的知識來自(zi)何處?
《周髀(bi)算經》中(zhong)(zhong)有相(xiang)當于現代人熟知(zhi)的(de)關于地球上寒暑(shu)五(wu)帶的(de)知(zhi)識(shi)。這(zhe)是一個非常令(ling)人驚異的(de)現象----因(yin)為這(zhe)類知(zhi)識(shi)是以往兩千年間,中(zhong)(zhong)國傳統天(tian)文學說中(zhong)(zhong)所沒(mei)有、而且不相(xiang)信(xin)的(de)。
這些知(zhi)識在《周(zhou)髀算(suan)經》中(zhong)主要(yao)見于卷(juan)下(xia)第(di)9節∶
極下不生萬(wan)物(wu),何以知(zhi)之(zhi)?……北極左右,夏有(you)不釋之(zhi)冰。
中(zhong)衡去周七萬五千(qian)五百里。中(zhong)衡左右,冬有(you)不死之草,夏長(chang)之類。此陽彰陰微,故萬物不死,五谷一歲再熟。
凡北極之左右(you),物有(you)朝(chao)生(sheng)暮獲,冬生(sheng)之類。
這里需要先作一(yi)些(xie)說明∶
上引(yin)第二(er)則中,所謂“中衡(heng)左右”即趙爽(shuang)注文中所認為的“內(nei)衡(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)外(wai),外(wai)衡(heng)之(zhi)(zhi)(zhi)內(nei)”;這一區(qu)域正(zheng)好對應(ying)于(yu)地(di)球寒(han)暑五帶中的熱帶(南(nan)緯23°30′至北(bei)緯23°30′之(zhi)(zhi)(zhi)間)----盡管《周(zhou)髀算經》中并無(wu)地(di)球的觀念。
上引第三則中,說(shuo)北極(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)左右“物(wu)有朝生暮獲”,這就必須聯系(xi)到《周(zhou)(zhou)髀(bi)算經》蓋天(tian)宇(yu)宙模(mo)型對于(yu)極(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)晝(zhou)(zhou)、極(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)夜(ye)現象(xiang)的(de)演繹和描述能力。據前所述,圓(yuan)形(xing)大(da)地中央的(de)“璇璣”之底面(mian)直(zhi)徑(jing)(jing)為(wei)23,000里,則半徑(jing)(jing)為(wei)11,500里,而《周(zhou)(zhou)髀(bi)算經》所設定的(de)太陽光芒(mang)向其四周(zhou)(zhou)照射的(de)極(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)限(xian)距離是(shi)167,000里;于(yu)是(shi),由(you)本文(wen)(wen)圖(tu)1清(qing)楚(chu)可見(jian),每年(nian)從(cong)春(chun)(chun)分(fen)(fen)(fen)至(zhi)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)期間,在“璇璣”范圍內將出現極(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)晝(zhou)(zhou)----晝(zhou)(zhou)夜(ye)始(shi)終(zhong)在陽光之下;而從(cong)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)到春(chun)(chun)分(fen)(fen)(fen)期間則出現極(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)夜(ye)----陽光在此期間的(de)任何(he)時(shi)刻都照射不到“璇璣”范圍之內。這也(ye)就是(shi)趙爽注(zhu)文(wen)(wen)中所說(shuo)的(de)“北極(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)之下,從(cong)春(chun)(chun)分(fen)(fen)(fen)至(zhi)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)為(wei)晝(zhou)(zhou),從(cong)秋(qiu)分(fen)(fen)(fen)至(zhi)春(chun)(chun)分(fen)(fen)(fen)為(wei)夜(ye)”,因為(wei)是(shi)以半年(nian)為(wei)晝(zhou)(zhou)、半年(nian)為(wei)夜(ye)。
《周髀算經》中(zhong)上述關于(yu)寒暑(shu)五(wu)帶的知識,其準(zhun)確性是沒有疑問的。然而(er)這些知識卻并不是以往(wang)兩千年間中(zhong)國(guo)傳統天(tian)文學(xue)中(zhong)的組成部分。對于(yu)這一現象,可(ke)以從幾(ji)方(fang)面來加(jia)以討論。
首先,為《周(zhou)髀算經(jing)》作注的(de)(de)(de)(de)(de)(de)趙(zhao)爽,竟然(ran)就(jiu)表(biao)示不(bu)相信書中的(de)(de)(de)(de)(de)(de)這(zhe)些(xie)知(zhi)(zhi)識。例如(ru)對于北極附近“夏(xia)(xia)有不(bu)釋之(zhi)(zhi)冰”,趙(zhao)爽注稱∶“冰凍(dong)不(bu)解(jie),是(shi)以(yi)推之(zhi)(zhi),夏(xia)(xia)至之(zhi)(zhi)日外(wai)(wai)衡之(zhi)(zhi)下為冬矣(yi),萬物當(dang)死----此日遠近為冬夏(xia)(xia),非陰陽(yang)之(zhi)(zhi)氣,爽或疑焉(yan)。”又如(ru)對于“冬有不(bu)死之(zhi)(zhi)草”、“陽(yang)彰陰微”、“五(wu)谷一(yi)歲再熟”的(de)(de)(de)(de)(de)(de)熱帶,趙(zhao)爽表(biao)示“此欲以(yi)內(nei)衡之(zhi)(zhi)外(wai)(wai)、外(wai)(wai)衡之(zhi)(zhi)內(nei),常(chang)為夏(xia)(xia)也(ye)。然(ran)其(qi)修廣,爽未(wei)之(zhi)(zhi)前(qian)聞”----他從(cong)未(wei)聽(ting)說(shuo)過。我們從(cong)趙(zhao)爽為《周(zhou)髀算經(jing)》全書所作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)注釋來(lai)判斷,他毫無(wu)疑問是(shi)那個時代夠(gou)格(ge)(ge)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)天文(wen)學家之(zhi)(zhi)一(yi),為什么(me)竟從(cong)未(wei)聽(ting)說(shuo)過這(zhe)些(xie)寒暑五(wu)帶知(zhi)(zhi)識?比較合(he)理的(de)(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)釋似乎只能是(shi)∶這(zhe)些(xie)知(zhi)(zhi)識不(bu)是(shi)中國傳統天文(wen)學體系中的(de)(de)(de)(de)(de)(de)組成部分(fen),所以(yi)對于當(dang)時大(da)部分(fen)中國天文(wen)學家來(lai)說(shuo),這(zhe)些(xie)知(zhi)(zhi)識是(shi)新(xin)奇的(de)(de)(de)(de)(de)(de)、與舊(jiu)有知(zhi)(zhi)識背景格(ge)(ge)格(ge)(ge)不(bu)入的(de)(de)(de)(de)(de)(de),因而也(ye)是(shi)難以(yi)置信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。
其次(ci),在古代中(zhong)(zhong)國(guo)居傳(chuan)(chuan)統地(di)位的天文(wen)學(xue)說(shuo)(shuo)----渾天說(shuo)(shuo)中(zhong)(zhong),由于(yu)沒有(you)正(zheng)(zheng)確(que)的地(di)球(qiu)概念,是不(bu)可能(neng)提(ti)出(chu)寒暑(shu)五帶(dai)之(zhi)類的問(wen)題(ti)來的。因此直到明朝(chao)末年(nian),來華的耶穌(su)會傳(chuan)(chuan)教(jiao)士在他們的中(zhong)(zhong)文(wen)著(zhu)作(zuo)中(zhong)(zhong)向中(zhong)(zhong)國(guo)讀者介(jie)紹(shao)寒暑(shu)五帶(dai)知識時(shi),仍被(bei)中(zhong)(zhong)國(guo)人目為(wei)(wei)未之(zhi)前(qian)聞的新奇學(xue)說(shuo)(shuo)。正(zheng)(zheng)式這些耶穌(su)會傳(chuan)(chuan)教(jiao)士的中(zhong)(zhong)文(wen)著(zhu)作(zuo)才(cai)使(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)學(xue)者接受了地(di)球(qiu)寒暑(shu)五帶(dai)之(zhi)說(shuo)(shuo)。而當清朝(chao)初(chu)年(nian)“西學(xue)中(zhong)(zhong)源”說(shuo)(shuo)甚(shen)囂(xiao)塵上時(shi),梅文(wen)鼎等(deng)人為(wei)(wei)寒暑(shu)五帶(dai)之(zhi)說(shuo)(shuo)尋找(zhao)中(zhong)(zhong)國(guo)源頭(tou),找(zhao)到的正(zheng)(zheng)是《周(zhou)髀算經》----他們認為(wei)(wei)是《周(zhou)髀算經》等(deng)中(zhong)(zhong)國(guo)學(xue)說(shuo)(shuo)在上古時(shi)期傳(chuan)(chuan)入西方,才(cai)教(jiao)會了希臘人、羅馬人和阿拉伯人掌握天文(wen)學(xue)知識的。
我們面(mian)臨一系(xi)列尖銳的(de)問(wen)題(ti)∶既(ji)然(ran)在渾(hun)天學說(shuo)(shuo)中(zhong)因沒有(you)(you)地球(qiu)概念(nian)而不可(ke)能(neng)提出(chu)寒暑五(wu)帶(dai)的(de)問(wen)題(ti),那么《周(zhou)髀算經》中(zhong)同樣(yang)沒有(you)(you)地球(qiu)概念(nian),何(he)以(yi)卻能(neng)記載(zai)這(zhe)些(xie)(xie)知識?如果說(shuo)(shuo)《周(zhou)髀算經》的(de)作者身處(chu)北溫帶(dai)之中(zhong),只是(shi)(shi)根據越向(xiang)北越冷、越往南越熱,就能(neng)推衍出(chu)北極(ji)“夏有(you)(you)不釋之冰”、熱帶(dai)“五(wu)谷一歲再熟”之類的(de)現象,那渾(hun)天家何(he)以(yi)偏就不能(neng)?再說(shuo)(shuo)趙爽為《周(zhou)髀算經》作注,他(ta)總該是(shi)(shi)接受蓋天學說(shuo)(shuo)之人,何(he)以(yi)連他(ta)都對(dui)這(zhe)些(xie)(xie)知識不能(neng)相信?這(zhe)樣(yang)看來,有(you)(you)必(bi)要考慮(lv)這(zhe)些(xie)(xie)知識來自異域的(de)可(ke)能(neng)性。
首(shou)先,《周(zhou)髀算經(jing)》中明確記載(zai)了勾股定理的公式:“若(ruo)求邪(xie)(xie)至(zhi)(zhi)日(ri)(ri)者,以日(ri)(ri)下(xia)為(wei)勾,日(ri)(ri)高為(wei)股,勾股各自乘,并而開方除(chu)之(zhi),得(de)邪(xie)(xie)至(zhi)(zhi)日(ri)(ri)。”(《周(zhou)髀算經(jing)》上卷二(er))
而勾(gou)股定(ding)理的證明呢,就在(zai)《周髀算(suan)經(jing)》上卷(juan)一——
昔者(zhe)周公(gong)問(wen)于商(shang)高曰:“竊(qie)聞乎大夫(fu)善數也,請問(wen)昔者(zhe)包犧立周天歷(li)度——夫(fu)天可不階而升,地不可得(de)尺(chi)寸而度,請問(wen)數安從(cong)出?”
商(shang)高曰:“數之(zhi)法(fa)出于(yu)圓方,圓出于(yu)方,方出于(yu)矩(ju)(ju),矩(ju)(ju)出于(yu)九(jiu)九(jiu)八(ba)十(shi)一。故(gu)折矩(ju)(ju),以為(wei)勾廣三(san),股修(xiu)四(si),徑隅五。既(ji)方之(zhi),外半其一矩(ju)(ju),環而共(gong)盤,得成三(san)四(si)五。兩矩(ju)(ju)共(gong)長(chang)二十(shi)有五,是(shi)謂積矩(ju)(ju)。故(gu)禹(yu)之(zhi)所以治天下者,此數之(zhi)所生也。”
周(zhou)公對古代伏羲(庖犧)構造周(zhou)天歷度的(de)(de)事(shi)跡感到(dao)不可思議(yi)(天不可階而升,地不可得尺寸而度),就請教商高(gao)數學(xue)(xue)知識從何而來。于(yu)(yu)(yu)(yu)是商高(gao)以勾股定理的(de)(de)證(zheng)明(ming)為例(li),解釋(shi)數學(xue)(xue)知識的(de)(de)由來。“數之法出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)圓(yuan)方(fang)(fang),圓(yuan)出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)方(fang)(fang),方(fang)(fang)出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)矩(ju),矩(ju)出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)九九八十(shi)一。”解釋(shi)發展脈絡——數之法出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)圓(yuan)(圓(yuan)周(zhou)率三)方(fang)(fang)(四(si)方(fang)(fang)),圓(yuan)出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)方(fang)(fang)(圓(yuan)形(xing)面積(ji)(ji)=外接(jie)正方(fang)(fang)形(xing)面積(ji)(ji)*圓(yuan)周(zhou)率/4),方(fang)(fang)出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)矩(ju)(正方(fang)(fang)形(xing)源自(zi)兩(liang)邊相(xiang)等的(de)(de)矩(ju)),矩(ju)出(chu)(chu)(chu)于(yu)(yu)(yu)(yu)九九八十(shi)一(長乘寬面積(ji)(ji)計算依自(zi)九九乘法表)。
“故折(zhe)矩①,以為(wei)勾(gou)(gou)廣三,股修四,徑隅(yu)五。”開始做圖(tu)——選擇一個勾(gou)(gou)三(圓周(zhou)率三)、股四(四方)的矩,矩的兩條邊終點(dian)的連(lian)線應為(wei)5(徑隅(yu)五)。
“②既方(fang)(fang)之,外(wai)半其(qi)一(yi)矩(ju)(ju)(ju)(ju),環(huan)而(er)共(gong)盤,得成三(san)(san)四(si)五(wu)。”這就是關(guan)鍵的證明過程——以矩(ju)(ju)(ju)(ju)的兩條邊畫正(zheng)方(fang)(fang)形(xing)(勾(gou)方(fang)(fang)、股(gu)方(fang)(fang)),根據矩(ju)(ju)(ju)(ju)的弦(xian)外(wai)面再(zai)畫一(yi)個矩(ju)(ju)(ju)(ju)(曲(qu)尺,實際上用作直角(jiao)三(san)(san)角(jiao)形(xing)),將“外(wai)半其(qi)一(yi)矩(ju)(ju)(ju)(ju)”得到(dao)的三(san)(san)角(jiao)形(xing)剪下環(huan)繞(rao)復制形(xing)成一(yi)個大正(zheng)方(fang)(fang)形(xing),可(ke)看到(dao)其(qi)中有邊長三(san)(san)勾(gou)方(fang)(fang)、邊長四(si)股(gu)方(fang)(fang)、邊長五(wu)弦(xian)方(fang)(fang)三(san)(san)個正(zheng)方(fang)(fang)形(xing)。
“兩(liang)(liang)矩共長(chang)③二十有五,是(shi)(shi)謂積(ji)矩。”此為(wei)驗(yan)算——勾方(fang)(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)面積(ji)之和(he),與弦方(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)面積(ji)二十五相等——從(cong)圖形(xing)(xing)(xing)上來(lai)看,大正方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)減去四個三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)(xing)面積(ji)后為(wei)弦方(fang)(fang)(fang)(fang),再是(shi)(shi)大正方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)減去右(you)上、左下兩(liang)(liang)個長(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)面積(ji)后為(wei)勾方(fang)(fang)(fang)(fang)股方(fang)(fang)(fang)(fang)之和(he)。因三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)(xing)為(wei)長(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)面積(ji)的(de)一(yi)半,可推出四個三(san)(san)角(jiao)形(xing)(xing)(xing)面積(ji)等于(yu)右(you)上、左下兩(liang)(liang)個長(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)面積(ji),所以勾方(fang)(fang)(fang)(fang)+股方(fang)(fang)(fang)(fang)=弦方(fang)(fang)(fang)(fang)。
注(zhu)意:①矩(ju),又稱曲(qu)尺,L型(xing)的(de)(de)木匠工具,由長(chang)短兩根木條組(zu)成的(de)(de)直角。古(gu)代“矩(ju)”指L型(xing)曲(qu)尺,“矩(ju)形”才是“矩(ju)”衍生的(de)(de)長(chang)方(fang)形。
②“既方(fang)之,外半(ban)其(qi)一矩(ju)”此句有爭議。清代四庫全(quan)書版定為“既方(fang)其(qi)外半(ban)之一矩(ju)”,而之前版本多為“既方(fang)之外半(ban)其(qi)一矩(ju)”。經陳(chen)良(liang)佐、李國偉(wei)、李繼閔、曲安京等學者研(yan)究,“既方(fang)之,外半(ban)其(qi)一矩(ju)”更符合邏輯。
③長指的(de)是面積。古代對(dui)不同維度的(de)量(liang)綱(gang)比較,并(bing)沒有發明新的(de)術語(yu),而統稱(cheng)(cheng)“長”。趙爽(shuang)注稱(cheng)(cheng):“兩矩(ju)者,句(ju)股各自乘之實(shi)(shi)。共(gong)長者,并(bing)實(shi)(shi)之數。
由于年代久遠(yuan),周(zhou)公弦圖失傳,傳世版(ban)本只(zhi)印了(le)趙爽(shuang)弦圖(造紙(zhi)術在漢(han)代才發(fa)明(ming))。所以(yi)某(mou)些學者誤以(yi)為(wei)(wei)商高(gao)沒有證明(ming)(只(zhi)是說了(le)一段莫名(ming)其妙(miao)的話),后來趙爽(shuang)才給出證明(ming)。其實(shi)不然,摘錄(lu)趙爽(shuang)注釋(shi)《周(zhou)髀算經》時(shi)所做的《勾股(gu)圓方圖》——“句(ju)股(gu)各自乘(cheng),并(bing)之(zhi)為(wei)(wei)弦實(shi),開(kai)方除(chu)之(zhi)即弦。案:弦圖又(you)可(ke)以(yi)句(ju)股(gu)相(xiang)乘(cheng)為(wei)(wei)朱實(shi)二,倍(bei)之(zhi)為(wei)(wei)朱實(shi)四,以(yi)句(ju)股(gu)之(zhi)差(cha)自相(xiang)乘(cheng)為(wei)(wei)中黃(huang)實(shi),加(jia)差(cha)實(shi)亦成弦實(shi)。