羅素(su)悖論是由(you)羅素(su)發(fa)現的一個集(ji)(ji)合論悖論,其基本思想是:對(dui)于任意一個集(ji)(ji)合A,A要么(me)是自(zi)身的元(yuan)素(su),即(ji)A∈A;A要么(me)不是自(zi)身的元(yuan)素(su),即(ji)A?A。根(gen)據康托爾集(ji)(ji)合論的概括原(yuan)則,可將所有不是自(zi)身元(yuan)素(su)的集(ji)(ji)合構成一個集(ji)(ji)合S1,即(ji)S1={x:x?x}。
20世紀之(zhi)初,數學(xue)界(jie)甚至(zhi)整個科(ke)學(xue)界(jie)籠罩在(zai)一片喜(xi)悅祥和(he)的(de)氣氛(fen)之(zhi)中,科(ke)學(xue)家(jia)們普遍認為,數學(xue)的(de)系統(tong)性(xing)和(he)嚴密性(xing)已(yi)經(jing)達到,科(ke)學(xue)大(da)(da)廈已(yi)經(jing)基(ji)本(ben)建成。例如,德國物(wu)理(li)學(xue)家(jia)基(ji)爾(er)霍夫(G.R.Kirchhoff)就(jiu)曾經(jing)說(shuo)(shuo)過:“物(wu)理(li)學(xue)將無所(suo)作為了(le)(le),至(zhi)多(duo)也(ye)只能(neng)在(zai)已(yi)知(zhi)規律(lv)的(de)公式(shi)的(de)小數點(dian)后面(mian)加(jia)上幾個數字罷了(le)(le)。”英國物(wu)理(li)學(xue)家(jia)開爾(er)文(L.Kelvin)在(zai)1900年回(hui)顧物(wu)理(li)學(xue)的(de)發展時(shi)也(ye)說(shuo)(shuo):“在(zai)已(yi)經(jing)基(ji)本(ben)建成的(de)科(ke)學(xue)大(da)(da)廈中,后輩物(wu)理(li)學(xue)家(jia)只能(neng)做一些零碎的(de)修(xiu)補(bu)工(gong)作了(le)(le)。”法國大(da)(da)數學(xue)家(jia)彭迦萊(Poincar6)在(zai)1900年的(de)國際(ji)數學(xue)家(jia)大(da)(da)會上也(ye)公開宣稱,數學(xue)的(de)嚴格性(xing),現在(zai)看來可以說(shuo)(shuo)是(shi)實現了(le)(le)。然而好景不長,時(shi)隔不到兩年,科(ke)學(xue)界(jie)就(jiu)發生了(le)(le)一件(jian)大(da)(da)事,這(zhe)件(jian)大(da)(da)事就(jiu)是(shi)羅素(Russell)悖論的(de)發現。
在某(mou)個(ge)城市中有一位(wei)理發師,他(ta)(ta)的廣(guang)告詞是這(zhe)樣寫的:“本人的理發技(ji)藝十分高(gao)超,譽滿全城。我(wo)(wo)將為(wei)本城所(suo)有不給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)的人刮(gua)臉(lian)(lian)(lian),我(wo)(wo)也只給(gei)這(zhe)些(xie)人刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)。我(wo)(wo)對各位(wei)表示(shi)熱誠(cheng)歡(huan)迎(ying)!”來找他(ta)(ta)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)的人絡繹(yi)不絕,自(zi)然都是那些(xie)不給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)的人。可是,有一天,這(zhe)位(wei)理發師從鏡(jing)子里看見自(zi)己(ji)(ji)的胡子長了(le),他(ta)(ta)本能(neng)(neng)地抓起了(le)剃(ti)刀,你們看他(ta)(ta)能(neng)(neng)不能(neng)(neng)給(gei)他(ta)(ta)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)呢?如果(guo)(guo)他(ta)(ta)不給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian),他(ta)(ta)就(jiu)(jiu)屬于“不給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)的人”,他(ta)(ta)就(jiu)(jiu)要給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian),而如果(guo)(guo)他(ta)(ta)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)呢?他(ta)(ta)又屬于“給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)的人”,他(ta)(ta)就(jiu)(jiu)不該給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)(lian)。
理(li)發(fa)師(shi)悖(bei)(bei)論(lun)與羅(luo)(luo)素(su)悖(bei)(bei)論(lun)是(shi)(shi)等價(jia)的(de):如果把每個(ge)人看成一(yi)個(ge)集合,這(zhe)個(ge)集合的(de)元素(su)被定義成這(zhe)個(ge)人刮臉的(de)對象。那(nei)么,理(li)發(fa)師(shi)宣稱,他(ta)的(de)元素(su),都(dou)是(shi)(shi)城里(li)(li)不屬(shu)于自(zi)身的(de)那(nei)些集合,并且城里(li)(li)所有(you)不屬(shu)于自(zi)身的(de)集合都(dou)屬(shu)于他(ta)。那(nei)么他(ta)是(shi)(shi)否(fou)屬(shu)于他(ta)自(zi)己(ji)?這(zhe)樣就(jiu)由理(li)發(fa)師(shi)悖(bei)(bei)論(lun)得到了(le)羅(luo)(luo)素(su)悖(bei)(bei)論(lun)。反過來的(de)變換也(ye)是(shi)(shi)成立的(de)。
“理發師悖論”是(shi)很容易解(jie)決的,解(jie)決的辦法之(zhi)一就是(shi)修正理發師的規(gui)矩,將他自(zi)己排除在規(gui)矩之(zhi)外;可是(shi)嚴格的羅素悖論就不是(shi)這么容易解(jie)決的了。
一個(ge)圖書(shu)館編纂了一本書(shu)名(ming)詞典,它列(lie)出(chu)這個(ge)圖書(shu)館里所(suo)有不列(lie)出(chu)自己(ji)書(shu)名(ming)的書(shu)。那么(me)它列(lie)不列(lie)出(chu)自己(ji)的書(shu)名(ming)?這個(ge)悖論(lun)與理發師(shi)悖論(lun)基本一致。
十九世紀(ji)下半葉,德國(guo)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)康(kang)托爾創立(li)了(le)著名的(de)集合論,在集合論剛產生時,曾遭到許多(duo)人的(de)猛烈攻擊(ji)。但不久這一開(kai)創性成果(guo)就為(wei)廣大(da)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)所接受了(le),并且獲(huo)得廣泛而(er)高(gao)度的(de)贊譽。數(shu)學(xue)(xue)家(jia)們(men)發現,從自然(ran)數(shu)與康(kang)托爾集合論出發可(ke)建立(li)起整個數(shu)學(xue)(xue)大(da)廈。因而(er)集合論成為(wei)現代數(shu)學(xue)(xue)的(de)基石。“一切(qie)數(shu)學(xue)(xue)成果(guo)可(ke)建立(li)在集合論基礎上”這一發現使數(shu)學(xue)(xue)家(jia)們(men)為(wei)之陶醉。
1903年(nian),一(yi)個震(zhen)(zhen)驚數(shu)(shu)學(xue)界的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)消(xiao)息傳出(chu)(chu)(chu):集(ji)合(he)論(lun)是有(you)漏洞的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這就是英國數(shu)(shu)學(xue)家羅(luo)素(su)(su)提(ti)出(chu)(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)羅(luo)素(su)(su)悖(bei)(bei)論(lun)。羅(luo)素(su)(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)這條(tiao)悖(bei)(bei)論(lun)使集(ji)合(he)論(lun)產生了(le)危機。它(ta)非常淺顯易懂,而(er)且所(suo)(suo)(suo)涉(she)及的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)只是集(ji)合(he)論(lun)中(zhong)最(zui)基本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)東(dong)西(xi)。所(suo)(suo)(suo)以(yi),羅(luo)素(su)(su)悖(bei)(bei)論(lun)一(yi)提(ti)出(chu)(chu)(chu)就在當時的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)界與邏輯學(xue)界內(nei)引起(qi)了(le)極大震(zhen)(zhen)動(dong)。德(de)國的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名邏輯學(xue)家弗雷格在他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關于(yu)集(ji)合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)(chu)理論(lun)完稿付(fu)印時,收(shou)到(dao)了(le)羅(luo)素(su)(su)關于(yu)這一(yi)悖(bei)(bei)論(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信。他立刻發現,自(zi)己忙了(le)很久得出(chu)(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)系列結果卻被這條(tiao)悖(bei)(bei)論(lun)攪得一(yi)團糟。他只能在自(zi)己著(zhu)作(zuo)(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)末尾寫道:“一(yi)個科(ke)學(xue)家所(suo)(suo)(suo)碰到(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)最(zui)倒霉的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)事(shi),莫過于(yu)是在他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)(zuo)即將(jiang)完成(cheng)時卻發現所(suo)(suo)(suo)干的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)(chu)崩潰了(le)。”
公理化集合論(lun)的(de)建立,成功排除了集合論(lun)中(zhong)出(chu)現的(de)悖(bei)論(lun),從而比(bi)較圓(yuan)滿地解決了第(di)三(san)次數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)危機。但(dan)在(zai)另一(yi)方面(mian),羅素(su)悖(bei)論(lun)對數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)而言有著(zhu)更為(wei)深刻的(de)影響。它(ta)使得數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)基礎(chu)問(wen)題第(di)一(yi)次以最迫切的(de)需要的(de)姿態擺到數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家面(mian)前,導致了數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)家對數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)基礎(chu)的(de)研究。而這(zhe)方面(mian)的(de)進一(yi)步發展又極其深刻地影響了整(zheng)個數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)。如圍繞著(zhu)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)基礎(chu)之爭,形(xing)成了現代數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)史(shi)上著(zhu)名(ming)的(de)三(san)大數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)流(liu)派,而各派的(de)工作(zuo)又都(dou)促進了數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)大發展。
于(yu)是(shi),數學的基(ji)礎被動搖(yao)了(le),這就是(shi)所謂的第三(san)次數學危機。
羅素(su)的悖論發表之后(hou),接著(zhu)又發現一系列悖論(后(hou)來歸入所(suo)謂語義悖論):
1.理(li)查德(de)悖論
2.培(pei)里(li)悖論
3.格瑞林(lin)和(he)納(na)爾遜悖論
羅素(su)構造了一(yi)個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)S:S由一(yi)切不屬(shu)于(yu)自身的(de)(de)(de)集(ji)(ji)合(he)(he)所組成。然后羅素(su)問:s是(shi)(shi)否屬(shu)于(yu)S呢?根據排中律,一(yi)個(ge)(ge)(ge)元素(su)或者屬(shu)于(yu)某(mou)(mou)個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he),或者不屬(shu)于(yu)某(mou)(mou)個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)。因此,對于(yu)一(yi)個(ge)(ge)(ge)給定集(ji)(ji)合(he)(he),問是(shi)(shi)否屬(shu)于(yu)它(ta)自己是(shi)(shi)有(you)意(yi)義(yi)的(de)(de)(de)。但對這個(ge)(ge)(ge)看似合(he)(he)理的(de)(de)(de)問題的(de)(de)(de)回答卻會(hui)陷入兩難(nan)境地(di)。如果(guo)s屬(shu)于(yu)S,根據S的(de)(de)(de)定義(yi),s就不屬(shu)于(yu)S;反之,如果(guo)s不屬(shu)于(yu)S,同樣(yang)根據定義(yi),s就屬(shu)于(yu)S。無論如何(he)都是(shi)(shi)矛盾的(de)(de)(de)。
羅(luo)素悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)提出后,數學家們紛紛提出自己的解(jie)決(jue)方案(an)。人們希望能夠通過(guo)對康托爾(er)的集合(he)論(lun)(lun)(lun)進(jin)行改造,通過(guo)對集合(he)定義加以(yi)限制(zhi)來排(pai)除悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun),這(zhe)就需要建立(li)新的原(yuan)則。“這(zhe)些原(yuan)則必須足夠狹窄,以(yi)保證排(pai)除一(yi)切(qie)(qie)矛盾;另一(yi)方面又必須充分(fen)廣闊,使康托爾(er)集合(he)論(lun)(lun)(lun)中一(yi)切(qie)(qie)有價值的內容得以(yi)保存下(xia)來。”解(jie)決(jue)這(zhe)一(yi)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)主要有兩(liang)種選擇(ze),ZF公理系統和NBG公理系統。
1908年,策梅羅(luo)(Ernst Zermelo)在(zai)(zai)(zai)自己這(zhe)一(yi)(yi)原則基(ji)礎上提出第一(yi)(yi)個(ge)公(gong)(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論體系(xi)(xi),后來這(zhe)一(yi)(yi)公(gong)(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)系(xi)(xi)統(tong)很大程度上彌補(bu)了(le)康(kang)托(tuo)爾(er)樸(pu)素(su)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論的(de)缺陷。這(zhe)一(yi)(yi)公(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)在(zai)(zai)(zai)通過(guo)弗(fu)蘭(lan)克(ke)爾(er)(Abraham Fraenkel)的(de)改(gai)進后被稱(cheng)為ZF公(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)。在(zai)(zai)(zai)該公(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)中(zhong),由(you)(you)于(yu)分類公(gong)(gong)理(li)(li)(Axiom schema of specification):P(x)是(shi)x的(de)一(yi)(yi)個(ge)性質,對任(ren)意(yi)已(yi)知集(ji)(ji)合(he)(he)(he)A,存在(zai)(zai)(zai)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)B使得對所有元(yuan)素(su)x∈B當且(qie)僅當x∈A且(qie)P(x);因此(ci){x∣x是(shi)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)}并不(bu)(bu)能在(zai)(zai)(zai)該系(xi)(xi)統(tong)中(zhong)寫成一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he),由(you)(you)于(yu)它(ta)并不(bu)(bu)是(shi)任(ren)何(he)已(yi)知集(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)子集(ji)(ji);并且(qie)通過(guo)該公(gong)(gong)理(li)(li),存在(zai)(zai)(zai)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)A={x∣x是(shi)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)}在(zai)(zai)(zai)ZF系(xi)(xi)統(tong)中(zhong)能被證明是(shi)矛盾(dun)的(de),因此(ci)羅(luo)素(su)悖(bei)論在(zai)(zai)(zai)該系(xi)(xi)統(tong)中(zhong)被避免(mian)了(le)。
除(chu)ZF系統外,集合(he)(he)論(lun)的公(gong)理系統還(huan)有(you)多種,如馮·諾伊曼(von Neumann)等(deng)人(ren)提出的NBG系統等(deng)。在該公(gong)理系統中,所有(you)包含集合(he)(he)的"collection"都能被稱(cheng)為類(class),凡是(shi)集合(he)(he)也能被稱(cheng)為類,但(dan)是(shi)某(mou)些(xie)collection太大了(le)(比如一(yi)個(ge)collection包含所有(you)集合(he)(he))以至于不能是(shi)一(yi)個(ge)集合(he)(he),因此只(zhi)能是(shi)個(ge)類。這同樣也避(bi)免了(le)羅素悖論(lun)。