公元前(qian)5世紀,芝(zhi)諾(nuo)發表了著名(ming)的(de)(de)(de)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)悖論(lun):他(ta)(ta)(ta)提出讓烏龜(gui)在阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)前(qian)面(mian)1000米處開(kai)始,和阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)賽跑(pao)(pao),并且(qie)假定阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)的(de)(de)(de)速度是烏龜(gui)的(de)(de)(de)10倍。當比(bi)賽開(kai)始后,若阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)跑(pao)(pao)了1000米,設所用(yong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間為(wei)t,此時(shi)(shi)烏龜(gui)便領先他(ta)(ta)(ta)100米;當阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)跑(pao)(pao)完下一(yi)個100米時(shi)(shi),他(ta)(ta)(ta)所用(yong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間為(wei)t/10,烏龜(gui)仍然前(qian)于(yu)他(ta)(ta)(ta)10米;當阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)跑(pao)(pao)完下一(yi)個10米時(shi)(shi),他(ta)(ta)(ta)所用(yong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間為(wei)t/100,烏龜(gui)仍然前(qian)于(yu)他(ta)(ta)(ta)1米……芝(zhi)諾(nuo)認為(wei),阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)(si)能夠繼續逼近(jin)烏龜(gui),但決不(bu)可能追上它。
關(guan)于阿(a)基里(li)斯悖論的(de)一個解釋是:阿(a)基里(li)斯的(de)確(que)永(yong)遠(yuan)也(ye)追(zhui)不上烏(wu)龜。雖然現實(shi)中我們知道阿(a)基里(li)斯超越(yue)烏(wu)龜非(fei)常簡(jian)單,但是它是如何超過烏(wu)龜的(de)在(zai)過去卻一直存在(zai)爭論。
現代物(wu)理學已經證明了時間和空間不是可(ke)以無限(xian)分割的,所以總有最為微小的一個時間里,阿(a)基里斯和烏(wu)龜共同前(qian)進(jin)了一個空間單(dan)位,從此阿(a)基里斯順利(li)超過烏(wu)龜。
芝諾(nuo)悖(bei)論的(de)產(chan)生(sheng)原因,是在于“芝諾(nuo)時(shi)”不可(ke)能度量阿基里(li)斯追上(shang)烏(wu)龜(gui)后的(de)現象(xiang)。在芝諾(nuo)時(shi)達到無(wu)限后,正常計(ji)時(shi)仍可(ke)以(yi)進行,只不過芝諾(nuo)的(de)“鐘”已經無(wu)法度量它們了。這個悖(bei)論實(shi)際上(shang)是反映時(shi)空(kong)并(bing)不是無(wu)限可(ke)分的(de),運動也不是連(lian)續的(de)。
通俗一(yi)點(dian)(dian)講,我(wo)們都知道一(yi)條線(xian)是由無(wu)數個(ge)點(dian)(dian)組(zu)成的(de),但這(zhe)個(ge)“無(wu)數個(ge)點(dian)(dian)”并不能(neng)說我(wo)們無(wu)法畫出一(yi)條線(xian)。也就(jiu)是說就(jiu)是芝諾(nuo)偷換了概念,(1+0.1+0.01+……)t其實是一(yi)個(ge)有限的(de)時間(jian),但他認為這(zhe)個(ge)時間(jian)是無(wu)限大的(de),只要時間(jian)超過(1+0.1+0.01+……)t阿(a)基里(li)斯就(jiu)追上了烏龜。
阿基里(li)斯悖(bei)論分離(li)了(le)運動(dong)與靜(jing)止,夸大了(le)相對(dui)靜(jing)止,而(er)否(fou)認了(le)絕對(dui)運動(dong),是(shi)形而(er)上學說。
黑格爾在《小邏輯》中說(shuo):“辯(bian)證法切不可與單純(chun)的詭辯(bian)相混淆。詭辯(bian)的本(ben)(ben)質(zhi)在于孤立起來看事(shi)物,把本(ben)(ben)身片面(mian)的、抽象的規定,認(ren)為是可靠的。”辯(bian)證唯物主義認(ren)為,運動與靜止是對(dui)立統一的辯(bian)證關系。
一(yi)方面,運(yun)動與靜止的(de)(de)(de)對立表現在:運(yun)動是(shi)(shi)絕(jue)對的(de)(de)(de),靜止是(shi)(shi)相對的(de)(de)(de),二者(zhe)相互區別,不可(ke)混淆。所(suo)謂(wei)運(yun)動是(shi)(shi)絕(jue)對的(de)(de)(de)是(shi)(shi)說,運(yun)動是(shi)(shi)物(wu)質(zhi)的(de)(de)(de)根本屬(shu)性,任何事物(wu)在任何條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)下(xia)(xia)都是(shi)(shi)永恒運(yun)動的(de)(de)(de),是(shi)(shi)無條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)的(de)(de)(de)。所(suo)謂(wei)靜止是(shi)(shi)相對的(de)(de)(de)是(shi)(shi)說,靜止是(shi)(shi)運(yun)動在特定條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)下(xia)(xia)的(de)(de)(de)特殊狀(zhuang)態,是(shi)(shi)有條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)的(de)(de)(de)。
另(ling)一方面,運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的統(tong)一表現在:運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)和靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)相(xiang)互(hu)依(yi)存、相(xiang)互(hu)貫通的,即(ji)所謂動(dong)(dong)(dong)中(zhong)有(you)靜(jing)、靜(jing)中(zhong)有(you)動(dong)(dong)(dong)。在運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)關(guan)(guan)系上(shang)(shang)(shang)有(you)兩(liang)種形(xing)而(er)上(shang)(shang)(shang)學的錯(cuo)誤:一種是(shi)割裂運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的關(guan)(guan)系,否(fou)認運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong),只(zhi)(zhi)講靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi),將靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)絕對(dui)化的形(xing)而(er)上(shang)(shang)(shang)學不動(dong)(dong)(dong)論(lun);一種是(shi)割裂運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的關(guan)(guan)系,只(zhi)(zhi)講運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong),否(fou)認靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的形(xing)而(er)上(shang)(shang)(shang)學相(xiang)對(dui)主義(yi)和詭辯論(lun)。
關于阿基里斯追龜(gui)的問(wen)題,我們可以很簡單地(di)證(zheng)明阿基里斯追上了烏龜(gui)。
我(wo)們設烏龜(gui)先(xian)前所(suo)走(zou)過(guo)的(de)(de)所(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)屬于(yu)(yu)集(ji)(ji)合B,烏龜(gui)現在(zai)(zai)(zai)所(suo)在(zai)(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)標志為(wei)b,烏龜(gui)所(suo)走(zou)過(guo)的(de)(de)所(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)集(ji)(ji)合A,A由(you)集(ji)(ji)合B中(zhong)(zhong)所(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)(dian)構成(cheng)。只要是(shi)(shi)烏龜(gui)先(xian)前所(suo)在(zai)(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian),都是(shi)(shi)阿(a)(a)(a)基(ji)里斯(si)可以走(zou)到(dao)的(de)(de),因而阿(a)(a)(a)基(ji)里斯(si)可以走(zou)到(dao)集(ji)(ji)合B中(zhong)(zhong)所(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)。那么(me),我(wo)們能(neng)不(bu)(bu)(bu)能(neng)在(zai)(zai)(zai)集(ji)(ji)合A中(zhong)(zhong)找到(dao)一(yi)個(ge)點(dian)(dian)(dian),它既不(bu)(bu)(bu)屬于(yu)(yu)B,也(ye)不(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)b,回答是(shi)(shi)不(bu)(bu)(bu)能(neng)的(de)(de)。因而如(ru)果(guo)阿(a)(a)(a)基(ji)里斯(si)走(zou)過(guo)了(le)集(ji)(ji)合B中(zhong)(zhong)所(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian),阿(a)(a)(a)基(ji)里斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)距離就已(yi)經是(shi)(shi)0(如(ru)果(guo)不(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)0,則應該在(zai)(zai)(zai)阿(a)(a)(a)基(ji)里斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)之間還(huan)會存在(zai)(zai)(zai)著一(yi)個(ge)點(dian)(dian)(dian),但這(zhe)個(ge)點(dian)(dian)(dian)并不(bu)(bu)(bu)存在(zai)(zai)(zai)),也(ye)就是(shi)(shi)說,阿(a)(a)(a)基(ji)里斯(si)已(yi)經追上了(le)烏龜(gui)。
而(er)(er)按照我們悖論(lun)所設定的(de)條件,阿基里斯是(shi)可以走到(dao)烏龜(gui)先前所走過(guo)的(de)所有(you)的(de)點的(de)。因而(er)(er)阿基里斯追(zhui)到(dao)了烏龜(gui)。但(dan)在上(shang)面的(de)分析中(zhong),我們發現(xian)了一(yi)個有(you)趣的(de)矛(mao)盾(dun),這就(jiu)是(shi)b既(ji)屬(shu)于B又不屬(shu)于B,也就(jiu)是(shi)說,b既(ji)是(shi)現(xian)在又是(shi)先前。而(er)(er)且這是(shi)阿基里斯得以追(zhui)上(shang)烏龜(gui)的(de)前提和條件。這樣的(de)一(yi)個有(you)趣的(de)結論(lun),是(shi)決不可能為具有(you)形而(er)(er)上(shang)學(xue)頭腦的(de)那些數學(xue)家們所接受的(de)。
此(ci)悖論(lun)假設阿基里斯永遠只(zhi)能到達龜前一(yi)個(ge)時間(jian)(jian)段(duan)到達的(de)(de)地(di)方,即追(zhui)上(shang)的(de)(de)前一(yi)個(ge)時間(jian)(jian)段(duan),此(ci)時條件未(wei)發生變化,并先(xian)承認此(ci)時間(jian)(jian)段(duan)兩者間(jian)(jian)仍有差異,然后用不(bu)同的(de)(de)時間(jian)(jian)段(duan)進行重(zhong)復換(huan)算,假設條件仍未(wei)變化。而在(zai)此(ci)時間(jian)(jian)段(duan)的(de)(de)下一(yi)個(ge)口(kou)徑相同的(de)(de)時間(jian)(jian)段(duan)里,阿基米斯就會追(zhui)上(shang)。
相反(fan)觀點(dian):這證(zheng)(zheng)明是(shi)錯(cuo)誤的(de)。因為(wei)證(zheng)(zheng)明假設了(le)阿基里斯可以走(zou)一(yi)個點(dian),在事實上回避了(le)悖論(lun)中無法找第1點(dian)問題實質。故此證(zheng)(zheng)明和悖論(lun)無關,只是(shi)把小學應用題用集合論(lun)復述了(le)一(yi)遍。
其實,我們根據中學所學過的(de)(de)無窮(qiong)等比遞縮數列(lie)求和的(de)(de)知識,只需列(lie)一個方程就(jiu)可以輕(qing)而易舉地推翻芝諾的(de)(de)悖論:阿基里斯在跑了
1000(1+0.1+0.01+…………)=1000(1+1/9)=10000/9米(mi)時便可趕(gan)上烏龜。
人們認為數(shu)列1+0.1+0.01+…………是永(yong)遠也不(bu)能窮(qiong)盡的。這只不(bu)過是一個錯覺。
我們不妨來計(ji)算一下(xia)阿基里(li)斯能夠追上烏(wu)龜(gui)的時間(jian)為t(1+0.1+0.01+…………)=t (1+1/9)=10t/9
芝(zhi)諾所說的阿基里斯(si)不(bu)可能追上烏龜,就隱藏著(zhu)時間必須(xu)小于10t/9這樣一個條(tiao)件(jian)。
由于阿基里斯(si)和烏龜是在不(bu)斷地(di)運動的,對時間是沒有(you)限制的,時間很容易(yi)突破10t/9這樣(yang)一(yi)個條件。一(yi)旦(dan)突破10t/9這樣(yang)一(yi)個條件,阿基里斯(si)就追上了或超過了烏龜。
人們被距(ju)離數(shu)列1+0.1+0.01+…………好像是永(yong)遠(yuan)也(ye)不能窮盡(jin)的假象迷惑了(le),沒有(you)考慮(lv)到時間數(shu)列1+0.1+0.01+…………是很容易達到和(he)超過的了(le)。
但是不(bu)(bu)是所有的數列(lie)都能(neng)達到,所以,我們看問題(ti)不(bu)(bu)能(neng)太極端(duan)。例(li)如無論多少個點也不(bu)(bu)能(neng)組成直線,對于點的個數來說(shuo),我們就永遠無法(fa)窮盡它。
其實,以上的(de)證明是(shi)無法推翻(fan)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)悖(bei)論的(de)。因(yin)為(wei)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)證明用(yong)到(dao)了(le)極限這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念。然而(er),極限這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念,正是(shi)為(wei)了(le)解決阿基里斯悖(bei)論而(er)定義出來的(de)一個(ge)(ge)(ge)概(gai)念。用(yong)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念再反證這(zhe)個(ge)(ge)(ge)悖(bei)論很明顯是(shi)不合理的(de)。
無限的細分并不代表不會從時(shi)間(jian)1流入時(shi)間(jian)2,否則你的時(shi)鐘(zhong)將永遠停留在59分59.9999............秒(miao)。
阿基(ji)里斯能夠繼續逼(bi)近(jin)烏龜(gui),在某一時(shi)間(jian)點之(zhi)前(qian)無法追(zhui)(zhui)上(shang)。但永遠追(zhui)(zhui)不(bu)上(shang)這一結(jie)果并(bing)不(bu)成立(li),因為這一悖論只引導去考慮追(zhui)(zhui)上(shang)之(zhi)前(qian)的距離(li),而不(bu)是追(zhui)(zhui)上(shang)的這一距離(li)。
悖(bei)論隱(yin)含的(de)(de)(de)假設就是阿基(ji)(ji)里斯沒有(you)追上龜,為什么呢?阿基(ji)(ji)里斯的(de)(de)(de)每一(yi)段,都是烏龜跑完(wan)了,才(cai)讓(rang)阿基(ji)(ji)里斯才(cai)跑的(de)(de)(de)。只是想當(dang)然的(de)(de)(de)用了一(yi)開始(shi)的(de)(de)(de)距離(li)差,而這(zhe)個距離(li)差為逐(zhu)段變小。
而這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)(ge)趨近過程又想用時(shi)間(jian)衡量,恰好(hao)時(shi)間(jian)和距(ju)(ju)離,都(dou)可以無(wu)限劃分。靜(jing)止也存在(zai)(zai)這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)的(de)(de)(de)(de)接近過程,舉個(ge)(ge)例子(zi):假設(she)烏龜是(shi)靜(jing)止的(de)(de)(de)(de),讓(rang)阿基里斯以這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)的(de)(de)(de)(de)方(fang)式跑(pao)。900米(mi)(mi),90米(mi)(mi),9米(mi)(mi),0.9米(mi)(mi)……,這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)他也追不上烏龜啊,也同樣(yang)(yang)變不成零,因為你(ni)的(de)(de)(de)(de)假設(she)就是(shi)距(ju)(ju)離的(de)(de)(de)(de)無(wu)限小(xiao),這(zhe)(zhe)(zhe)只是(shi)在(zai)(zai)尋找最短的(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)離。這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)(ge)就關(guan)系(xi)到極(ji)限了。就像(xiang)在(zai)(zai)找最小(xiao)的(de)(de)(de)(de)物質粒子(zi)一(yi)樣(yang)(yang)。