公元前(qian)5世紀，芝(zhi)諾發(fa)表了(le)(le)著名的(de)(de)(de)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯悖論：他提出(chu)讓烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)在阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯前(qian)面1000米(mi)處(chu)開始，和(he)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯賽跑(pao)，并且(qie)假定阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯的(de)(de)(de)速度是烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)的(de)(de)(de)10倍。當比賽開始后，若阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯跑(pao)了(le)(le)1000米(mi)，設所(suo)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)為t，此時(shi)(shi)烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)便領先(xian)他100米(mi)；當阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯跑(pao)完下(xia)一個100米(mi)時(shi)(shi)，他所(suo)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)為t/10，烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)于(yu)他10米(mi)；當阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯跑(pao)完下(xia)一個10米(mi)時(shi)(shi)，他所(suo)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)為t/100，烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)于(yu)他1米(mi)……芝(zhi)諾認(ren)為，阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)里斯能夠繼(ji)續逼近(jin)烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)，但決不可能追上它(ta)。
關(guan)于阿基里斯悖論的(de)(de)一(yi)個解釋(shi)是：阿基里斯的(de)(de)確永遠也(ye)追不(bu)上烏(wu)龜(gui)。雖然(ran)現實中我(wo)們知(zhi)道阿基里斯超(chao)越烏(wu)龜(gui)非常簡單，但(dan)是它是如何超(chao)過烏(wu)龜(gui)的(de)(de)在(zai)過去卻(que)一(yi)直(zhi)存(cun)在(zai)爭(zheng)論。
現(xian)代物理學已(yi)經證明了時間和空間不是(shi)可以無限分割的，所以總有最為微小的一個(ge)(ge)時間里(li)，阿基里(li)斯和烏(wu)龜共同前(qian)進了一個(ge)(ge)空間單(dan)位，從此阿基里(li)斯順利超過烏(wu)龜。
芝(zhi)諾悖論的(de)產生原因(yin)，是(shi)在(zai)于“芝(zhi)諾時”不可(ke)(ke)能度量(liang)阿基里斯追上(shang)(shang)烏(wu)龜后的(de)現(xian)象。在(zai)芝(zhi)諾時達到(dao)無限后，正(zheng)常計時仍可(ke)(ke)以進行，只不過芝(zhi)諾的(de)“鐘(zhong)”已經無法度量(liang)它(ta)們了。這個(ge)悖論實際上(shang)(shang)是(shi)反映時空(kong)并不是(shi)無限可(ke)(ke)分的(de)，運動(dong)也不是(shi)連(lian)續(xu)的(de)。
通(tong)俗(su)一點講，我們都(dou)知(zhi)道一條(tiao)線是(shi)由無數(shu)個點組成的(de)，但這(zhe)個“無數(shu)個點”并不能說我們無法畫出一條(tiao)線。也就是(shi)說就是(shi)芝諾偷換了概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是(shi)一個有限的(de)時間，但他認(ren)為這(zhe)個時間是(shi)無限大的(de)，只要時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基(ji)里斯(si)就追上(shang)了烏龜。
阿基(ji)里斯悖(bei)論(lun)分(fen)離(li)了(le)運動與靜止(zhi)，夸大(da)了(le)相對靜止(zhi)，而否認了(le)絕對運動，是形而上學說。
黑格爾在《小邏輯》中說(shuo)：“辯證法(fa)切不(bu)可與單純(chun)的詭辯相混淆。詭辯的本質(zhi)在于孤(gu)立起來看(kan)事物(wu)，把本身片面(mian)的、抽象的規(gui)定，認為(wei)是可靠的。”辯證唯物(wu)主義認為(wei)，運動與靜止是對(dui)立統一(yi)的辯證關系(xi)。
一(yi)方面(mian)，運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜止(zhi)的(de)對立(li)表(biao)現在(zai)：運(yun)動(dong)(dong)(dong)是(shi)絕對的(de)，靜止(zhi)是(shi)相對的(de)，二者相互(hu)區別，不可混淆。所(suo)謂運(yun)動(dong)(dong)(dong)是(shi)絕對的(de)是(shi)說，運(yun)動(dong)(dong)(dong)是(shi)物質的(de)根本屬性，任何事物在(zai)任何條件下(xia)都是(shi)永(yong)恒運(yun)動(dong)(dong)(dong)的(de)，是(shi)無條件的(de)。所(suo)謂靜止(zhi)是(shi)相對的(de)是(shi)說，靜止(zhi)是(shi)運(yun)動(dong)(dong)(dong)在(zai)特定條件下(xia)的(de)特殊狀(zhuang)態，是(shi)有條件的(de)。
另一(yi)方面，運動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)(de)統(tong)一(yi)表現在：運動(dong)(dong)(dong)和(he)(he)靜(jing)(jing)止(zhi)是(shi)相互依存、相互貫通的(de)(de)(de)，即(ji)所謂動(dong)(dong)(dong)中有(you)靜(jing)(jing)、靜(jing)(jing)中有(you)動(dong)(dong)(dong)。在運動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)關系(xi)上(shang)有(you)兩種(zhong)(zhong)形而(er)上(shang)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)錯誤：一(yi)種(zhong)(zhong)是(shi)割裂運動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)(de)關系(xi)，否(fou)認運動(dong)(dong)(dong)，只(zhi)(zhi)講(jiang)靜(jing)(jing)止(zhi)，將靜(jing)(jing)止(zhi)絕(jue)對化的(de)(de)(de)形而(er)上(shang)學(xue)(xue)不動(dong)(dong)(dong)論(lun)；一(yi)種(zhong)(zhong)是(shi)割裂運動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)(de)關系(xi)，只(zhi)(zhi)講(jiang)運動(dong)(dong)(dong)，否(fou)認靜(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)(de)形而(er)上(shang)學(xue)(xue)相對主義和(he)(he)詭辯論(lun)。
關于阿(a)基里(li)斯追(zhui)龜(gui)的問(wen)題，我(wo)們可(ke)以很簡單地證明阿(a)基里(li)斯追(zhui)上(shang)了烏龜(gui)。
我們(men)(men)設烏(wu)龜(gui)先前所(suo)(suo)走過的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)屬于(yu)集(ji)合(he)(he)(he)B，烏(wu)龜(gui)現在(zai)所(suo)(suo)在(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)標志為b，烏(wu)龜(gui)所(suo)(suo)走過的(de)(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)是(shi)(shi)(shi)集(ji)合(he)(he)(he)A，A由集(ji)合(he)(he)(he)B中(zhong)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)加上b點(dian)構成。只要是(shi)(shi)(shi)烏(wu)龜(gui)先前所(suo)(suo)在(zai)的(de)(de)(de)(de)點(dian)，都(dou)是(shi)(shi)(shi)阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)可(ke)以(yi)走到(dao)的(de)(de)(de)(de)，因而阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)可(ke)以(yi)走到(dao)集(ji)合(he)(he)(he)B中(zhong)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)。那么，我們(men)(men)能(neng)不(bu)能(neng)在(zai)集(ji)合(he)(he)(he)A中(zhong)找到(dao)一(yi)個點(dian)，它既不(bu)屬于(yu)B，也不(bu)是(shi)(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)(shi)不(bu)能(neng)的(de)(de)(de)(de)。因而如(ru)果(guo)阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)走過了(le)集(ji)合(he)(he)(he)B中(zhong)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)點(dian)，阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)的(de)(de)(de)(de)距(ju)離就已經(jing)是(shi)(shi)(shi)0（如(ru)果(guo)不(bu)是(shi)(shi)(shi)0，則應該在(zai)阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)之間還會存在(zai)著一(yi)個點(dian)，但這個點(dian)并不(bu)存在(zai)），也就是(shi)(shi)(shi)說，阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)已經(jing)追上了(le)烏(wu)龜(gui)。
而(er)按照我們(men)悖論所(suo)設定(ding)的(de)條(tiao)件(jian)，阿基(ji)里斯(si)是(shi)可以(yi)走到(dao)烏龜先(xian)前(qian)所(suo)走過的(de)所(suo)有的(de)點(dian)的(de)。因(yin)而(er)阿基(ji)里斯(si)追到(dao)了烏龜。但在(zai)上面的(de)分(fen)析中(zhong)，我們(men)發現了一(yi)個有趣的(de)矛(mao)盾，這就是(shi)b既屬(shu)于(yu)B又(you)不(bu)屬(shu)于(yu)B，也就是(shi)說，b既是(shi)現在(zai)又(you)是(shi)先(xian)前(qian)。而(er)且這是(shi)阿基(ji)里斯(si)得以(yi)追上烏龜的(de)前(qian)提和(he)條(tiao)件(jian)。這樣的(de)一(yi)個有趣的(de)結論，是(shi)決(jue)不(bu)可能為具(ju)有形而(er)上學(xue)頭(tou)腦的(de)那些(xie)數(shu)學(xue)家們(men)所(suo)接受的(de)。
此悖(bei)論假設阿(a)基里斯永遠只能到(dao)達龜前一個(ge)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)(duan)到(dao)達的地方，即追(zhui)上的前一個(ge)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)(duan)，此時(shi)(shi)條(tiao)件未(wei)發生變化，并先承(cheng)認此時(shi)(shi)間(jian)段(duan)(duan)兩者間(jian)仍有差(cha)異，然后用不同(tong)的時(shi)(shi)間(jian)段(duan)(duan)進行重復換算，假設條(tiao)件仍未(wei)變化。而(er)在此時(shi)(shi)間(jian)段(duan)(duan)的下一個(ge)口徑相同(tong)的時(shi)(shi)間(jian)段(duan)(duan)里，阿(a)基米斯就(jiu)會追(zhui)上。
相(xiang)反觀點(dian)：這(zhe)證(zheng)(zheng)明是錯(cuo)誤的。因為證(zheng)(zheng)明假設了阿基里斯可以走一個點(dian)，在事(shi)實上回避了悖(bei)論中無法(fa)找第1點(dian)問題實質。故此證(zheng)(zheng)明和悖(bei)論無關，只(zhi)是把小(xiao)學應用題用集合論復述了一遍。
其實，我們(men)根據(ju)中學(xue)所學(xue)過的(de)無窮等比遞(di)縮數列求和的(de)知識，只需列一個(ge)方程就可以輕而易舉地推翻芝諾的(de)悖論(lun)：阿基里斯在(zai)跑了(le)
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米(mi)時便可(ke)趕上烏龜。
人們認(ren)為數列1+0.1+0.01+…………是(shi)永遠(yuan)也不(bu)能窮盡的。這只不(bu)過是(shi)一個(ge)錯覺。
我們不妨來計算(suan)一下(xia)阿基(ji)里(li)斯能夠(gou)追(zhui)上烏龜的(de)時(shi)間(jian)為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9
芝(zhi)諾所說的阿基(ji)里斯不可能(neng)追上烏龜，就隱藏(zang)著時間必須小(xiao)于10t/9這(zhe)樣一(yi)個條件。
由于阿(a)基里斯(si)和烏(wu)龜(gui)是(shi)在不斷地運動的(de)(de)，對時(shi)間是(shi)沒有限制的(de)(de)，時(shi)間很容易(yi)突破(po)10t/9這樣一個(ge)條件。一旦突破(po)10t/9這樣一個(ge)條件，阿(a)基里斯(si)就追上了(le)或超(chao)過了(le)烏(wu)龜(gui)。
人們(men)被距離數(shu)列1+0.1+0.01+…………好像是永遠也(ye)不能窮(qiong)盡的假象(xiang)迷惑(huo)了，沒有考(kao)慮到時間數(shu)列1+0.1+0.01+…………是很容易達到和(he)超過(guo)的了。
但是(shi)不(bu)(bu)是(shi)所有的數列都能(neng)達到，所以(yi)，我(wo)們看問題(ti)不(bu)(bu)能(neng)太(tai)極(ji)端。例如無論多少個點(dian)也不(bu)(bu)能(neng)組(zu)成直線，對于點(dian)的個數來說，我(wo)們就永遠無法窮盡它(ta)。
其實，以上的(de)證(zheng)明(ming)是無法(fa)推翻(fan)這(zhe)個(ge)(ge)悖論(lun)的(de)。因為這(zhe)個(ge)(ge)證(zheng)明(ming)用到了(le)極限這(zhe)個(ge)(ge)概(gai)念(nian)。然而(er)，極限這(zhe)個(ge)(ge)概(gai)念(nian)，正(zheng)是為了(le)解決阿(a)基里斯(si)悖論(lun)而(er)定(ding)義出來的(de)一(yi)個(ge)(ge)概(gai)念(nian)。用這(zhe)個(ge)(ge)概(gai)念(nian)再(zai)反證(zheng)這(zhe)個(ge)(ge)悖論(lun)很明(ming)顯是不合(he)理的(de)。
無限的細分并不代表不會從(cong)時(shi)間(jian)1流(liu)入時(shi)間(jian)2，否則(ze)你的時(shi)鐘將(jiang)永遠停留在59分59.9999............秒。
阿基里(li)斯能夠繼續逼近烏龜，在某一時(shi)間點之(zhi)(zhi)前無法追(zhui)上(shang)。但永遠追(zhui)不上(shang)這(zhe)一結果并不成(cheng)立，因為這(zhe)一悖論只(zhi)引導去考(kao)慮追(zhui)上(shang)之(zhi)(zhi)前的距(ju)離，而不是(shi)追(zhui)上(shang)的這(zhe)一距(ju)離。
悖論隱含的假設就是(shi)阿基里(li)(li)斯(si)沒有追(zhui)上龜(gui)，為(wei)什么呢(ni)？阿基里(li)(li)斯(si)的每一段，都(dou)是(shi)烏龜(gui)跑(pao)完了，才讓(rang)阿基里(li)(li)斯(si)才跑(pao)的。只(zhi)是(shi)想當然(ran)的用了一開始的距離(li)差，而這個距離(li)差為(wei)逐段變小。
而(er)這(zhe)個(ge)趨(qu)近過(guo)(guo)程又(you)想(xiang)用時間(jian)衡量，恰好時間(jian)和距(ju)離，都可以(yi)無限劃(hua)分。靜(jing)止(zhi)也存在這(zhe)樣的(de)接近過(guo)(guo)程，舉個(ge)例(li)子：假設烏(wu)龜(gui)是(shi)靜(jing)止(zhi)的(de)，讓(rang)阿基里斯以(yi)這(zhe)樣的(de)方式(shi)跑。900米(mi)(mi)，90米(mi)(mi)，9米(mi)(mi)，0.9米(mi)(mi)……，這(zhe)樣他也追(zhui)不上烏(wu)龜(gui)啊，也同樣變不成零，因為你(ni)的(de)假設就是(shi)距(ju)離的(de)無限小，這(zhe)只是(shi)在尋找最(zui)短的(de)距(ju)離。這(zhe)個(ge)就關系到極限了。就像在找最(zui)小的(de)物質粒子一樣。
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