《九(jiu)章算術》是中(zhong)國(guo)古代張(zhang)蒼(cang)、耿壽昌(chang)所(suo)撰(zhuan)寫的(de)一(yi)部數學(xue)專著。是《算經(jing)十書》中(zhong)最重要的(de)一(yi)部，成(cheng)(cheng)于公元一(yi)世紀左右。其作者(zhe)已不可考。一(yi)般認為它是經(jing)歷代各家的(de)增(zeng)(zeng)補修訂，而逐漸(jian)成(cheng)(cheng)為現今定(ding)本(ben)的(de)，西漢(han)的(de)張(zhang)蒼(cang)、耿壽昌(chang)曾經(jing)做過增(zeng)(zeng)補和整理，其時大體已成(cheng)(cheng)定(ding)本(ben)。最后成(cheng)(cheng)書最遲在東漢(han)前期，現今流傳(chuan)的(de)大多(duo)是在三(san)國(guo)時期魏元帝景元四年(nian)（263年(nian)），劉(liu)徽為《九(jiu)章》所(suo)作的(de)注本(ben)。
《九(jiu)章算(suan)術》內容十分(fen)豐富，全(quan)書總結了(le)戰國(guo)、秦、漢時(shi)(shi)期的(de)數學(xue)(xue)成就(jiu)(jiu)。同時(shi)(shi)，《九(jiu)章算(suan)術》在數學(xue)(xue)上(shang)還有其獨到(dao)的(de)成就(jiu)(jiu)，不(bu)僅最早提到(dao)分(fen)數問題，也首先記(ji)錄(lu)了(le)盈不(bu)足等問題，《方程》章還在世(shi)界(jie)數學(xue)(xue)史上(shang)首次闡述了(le)負(fu)數及其加減運算(suan)法則。它是一本綜合性的(de)歷(li)史著(zhu)作，是當時(shi)(shi)世(shi)界(jie)上(shang)最簡(jian)練有效的(de)應用(yong)數學(xue)(xue)，它的(de)出現標(biao)志中國(guo)古代數學(xue)(xue)形成了(le)完整的(de)體(ti)系。
2020年4月，列入《教育(yu)部基(ji)礎教育(yu)課程(cheng)教材發展(zhan)中(zhong)心中(zhong)小學生閱讀指導(dao)目(mu)錄(lu)（2020年版）》初中(zhong)段。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》的(de)(de)內容(rong)十分豐(feng)富(fu)，全書(shu)采用(yong)問題(ti)(ti)集的(de)(de)形(xing)式，收有(you)246個與生(sheng)產(chan)、生(sheng)活(huo)實踐有(you)聯系的(de)(de)應用(yong)問題(ti)(ti)，其中每道題(ti)(ti)有(you)問（題(ti)(ti)目）、答（答案）、術(shu)（解題(ti)(ti)的(de)(de)步驟(zou)，但沒有(you)證明），有(you)的(de)(de)是一題(ti)(ti)一術(shu)，有(you)的(de)(de)是多題(ti)(ti)一術(shu)或一題(ti)(ti)多術(shu)。這(zhe)些問題(ti)(ti)依(yi)照性(xing)質和(he)解法(fa)分別隸屬于(yu)方(fang)(fang)田、粟米、衰（音cui）分、少廣、商功、均輸、盈不(bu)足、方(fang)(fang)程及勾股。共九(jiu)章(zhang)(zhang)如下(xia)所示(shi)。原作有(you)插(cha)圖，今(jin)傳本已只剩下(xia)正文了。
《九(jiu)章算術》共收有(you)246個數學問題，分為九(jiu)章。它們(men)的主要內容分別是：
第一(yi)章“方(fang)田”：主(zhu)要講(jiang)(jiang)述了平面(mian)(mian)幾何圖形(xing)面(mian)(mian)積的計(ji)算方(fang)法。包括長(chang)方(fang)形(xing)、等腰(yao)三角形(xing)、直(zhi)角梯形(xing)、等腰(yao)梯形(xing)、圓形(xing)、扇形(xing)、弓形(xing)、圓環這八種圖形(xing)面(mian)(mian)積的計(ji)算方(fang)法。另外還(huan)系統地講(jiang)(jiang)述了分(fen)數(shu)的四則(ze)運算法則(ze)，以及求分(fen)子分(fen)母(mu)最(zui)大公約數(shu)等方(fang)法。
第二章(zhang)“粟(su)米(mi)”：谷(gu)物糧食的按(an)比例(li)折換；提(ti)出比例(li)算法，稱(cheng)為今(jin)有術；衰分章(zhang)提(ti)出比例(li)分配法則，稱(cheng)為衰分術；
第三章“衰(shuai)分(fen)”：比例(li)分(fen)配問題。
第四章“少廣”：已知面積、體積，反求(qiu)其一(yi)邊長(chang)和(he)徑長(chang)等；介紹了(le)開平方(fang)(fang)、開立(li)方(fang)(fang)的方(fang)(fang)法(fa)。
第五章“商功”：土石工程、體(ti)(ti)(ti)積計算；除給出了各(ge)種立體(ti)(ti)(ti)體(ti)(ti)(ti)積公式外，還有工程分配(pei)方法；
第六章“均輸”：合(he)理(li)攤派賦(fu)稅；用衰分術(shu)解決賦(fu)役的合(he)理(li)負擔(dan)問(wen)題。今(jin)(jin)有術(shu)、衰分術(shu)及其應用方法(fa)(fa)，構成了包括今(jin)(jin)天正(zheng)、反比(bi)(bi)例(li)、比(bi)(bi)例(li)分配(pei)、復比(bi)(bi)例(li)、連鎖比(bi)(bi)例(li)在內的整套比(bi)(bi)例(li)理(li)論。西方直到(dao)15世紀末以后才形成類似(si)的全套方法(fa)(fa)。
第七章“盈(ying)不足(zu)(zu)(zu)”：即雙設法(fa)(fa)問題；提出了盈(ying)不足(zu)(zu)(zu)、盈(ying)適(shi)足(zu)(zu)(zu)和不足(zu)(zu)(zu)適(shi)足(zu)(zu)(zu)、兩(liang)盈(ying)和兩(liang)不足(zu)(zu)(zu)三(san)種類型(xing)的(de)(de)盈(ying)虧問題，以(yi)及若干(gan)可以(yi)通過(guo)兩(liang)次假設化為盈(ying)不足(zu)(zu)(zu)問題的(de)(de)一般(ban)問題的(de)(de)解法(fa)(fa)。這(zhe)也(ye)是處于(yu)世界領(ling)先地位(wei)的(de)(de)成(cheng)果，傳(chuan)到西方后，影響極大(da)。
第八章“方(fang)(fang)程”：一(yi)次方(fang)(fang)程組問題(ti)；采用分(fen)離系數(shu)的(de)方(fang)(fang)法(fa)表(biao)示(shi)線(xian)性(xing)方(fang)(fang)程組，相(xiang)當于現在的(de)矩陣；解(jie)線(xian)性(xing)方(fang)(fang)程組時使(shi)用的(de)直(zhi)除(chu)法(fa)，與矩陣的(de)初等變換一(yi)致。這(zhe)是(shi)世界上最早的(de)完整(zheng)的(de)線(xian)性(xing)方(fang)(fang)程組的(de)解(jie)法(fa)。在西方(fang)(fang)，直(zhi)到17世紀才由萊布尼茲(zi)提(ti)出完整(zheng)的(de)線(xian)性(xing)方(fang)(fang)程的(de)解(jie)法(fa)法(fa)則(ze)(ze)。這(zhe)一(yi)章還引進和使(shi)用了(le)負(fu)數(shu)，并提(ti)出了(le)正(zheng)(zheng)負(fu)術——正(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)的(de)加減法(fa)則(ze)(ze)，與現今代數(shu)中(zhong)法(fa)則(ze)(ze)完全(quan)相(xiang)同；解(jie)線(xian)性(xing)方(fang)(fang)程組時實際還施行了(le)正(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)的(de)乘除(chu)法(fa)。這(zhe)是(shi)世界數(shu)學史上一(yi)項(xiang)重大的(de)成就，第一(yi)次突破了(le)正(zheng)(zheng)數(shu)的(de)范圍，擴展(zhan)了(le)數(shu)系。外國則(ze)(ze)到7世紀印度(du)的(de)婆羅(luo)摩及多(duo)才認(ren)識負(fu)數(shu)。
第(di)九章“勾(gou)股(gu)”：利用勾(gou)股(gu)定理求解(jie)的(de)(de)各種問題(ti)(ti)。其中的(de)(de)絕大多數(shu)內容是與當時(shi)的(de)(de)社會生活密切相(xiang)關(guan)的(de)(de)。提出了勾(gou)股(gu)數(shu)問題(ti)(ti)的(de)(de)通解(jie)公式(shi)：若a、b、c分別是勾(gou)股(gu)形的(de)(de)勾(gou)、股(gu)、弦，則，m>n。在西(xi)方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅得到(dao)了這(zhe)個公式(shi)的(de)(de)幾種特殊情況(kuang)，直到(dao)3世(shi)紀的(de)(de)丟(diu)番圖(tu)才(cai)取得相(xiang)近的(de)(de)結果，這(zhe)已比《九章算術》晚約(yue)3個世(shi)紀了。勾(gou)股(gu)章還有些(xie)內容，在西(xi)方卻還是近代的(de)(de)事(shi)。例如(ru)勾(gou)股(gu)章最后一題(ti)(ti)給出的(de)(de)一組公式(shi)，在國外到(dao)19世(shi)紀末(mo)才(cai)由美國的(de)(de)數(shu)論學家(jia)迪克森得出。
《九章算術》確定了中(zhong)國(guo)古代數(shu)(shu)學的(de)(de)框架，以計算為(wei)(wei)中(zhong)心的(de)(de)特(te)點(dian)，密切(qie)聯系實際，以解決(jue)人們生(sheng)產、生(sheng)活中(zhong)的(de)(de)數(shu)(shu)學問(wen)題為(wei)(wei)目的(de)(de)的(de)(de)風(feng)格(ge)。其影響之(zhi)(zhi)深(shen)，以致以后(hou)(hou)中(zhong)國(guo)數(shu)(shu)學著作(zuo)大體采取兩(liang)種形式：或為(wei)(wei)之(zhi)(zhi)作(zuo)注(zhu)，或仿其體例著書；甚(shen)至西算傳入(ru)中(zhong)國(guo)之(zhi)(zhi)后(hou)(hou)，人們著書立說時還(huan)常常把包括西算在內的(de)(de)數(shu)(shu)學知識納入(ru)九章的(de)(de)框架。然而，《九章算術》亦有其不容忽視的(de)(de)缺點(dian)：沒(mei)有任何數(shu)(shu)學概念的(de)(de)定義，也沒(mei)有給(gei)出任何推(tui)導和證(zheng)明(ming)。魏(wei)景(jing)元(yuan)四年(nian)（263年(nian)），劉徽(hui)給(gei)《九章算術》作(zuo)注(zhu)，才大大彌補了這個缺陷(xian)。
劉徽是中國數學(xue)家(jia)之一(yi)。他的生平知(zhi)之甚少。據考證，他是山東鄒(zou)平人。劉徽定義了若干(gan)數學(xue)概念，全面(mian)論證了《九章算術》的公式解法，提(ti)出了許多重要的思想、方法和命題(ti)，他在數學(xue)理(li)論方面(mian)成績斐然。
劉(liu)徽(hui)對數(shu)(shu)學(xue)概念(nian)(nian)的(de)定義(yi)抽象(xiang)而嚴謹。他(ta)揭(jie)示(shi)了(le)概念(nian)(nian)的(de)本(ben)質(zhi)(zhi)，基本(ben)符(fu)合現代邏輯學(xue)和(he)數(shu)(shu)學(xue)對概念(nian)(nian)定義(yi)的(de)要求。而且他(ta)使用(yong)概念(nian)(nian)時亦保持了(le)其(qi)同一性。如(ru)(ru)他(ta)提出凡數(shu)(shu)相(xiang)與者謂(wei)之率，把(ba)率定義(yi)為(wei)數(shu)(shu)量(liang)的(de)相(xiang)互關系(xi)。又如(ru)(ru)他(ta)把(ba)正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)定義(yi)為(wei)今兩(liang)算(suan)得失(shi)相(xiang)反，要令正(zheng)負(fu)以名之，擺脫了(le)正(zheng)為(wei)余，負(fu)為(wei)欠的(de)原始觀念(nian)(nian)，從本(ben)質(zhi)(zhi)上揭(jie)示(shi)了(le)正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)得失(shi)相(xiang)反的(de)相(xiang)對關系(xi)。
《九章算(suan)(suan)術(shu)》的(de)算(suan)(suan)法盡(jin)管(guan)抽象，但相互關系(xi)不明顯(xian)，顯(xian)得(de)零(ling)亂。劉徽大(da)(da)大(da)(da)發展深(shen)化(hua)了中算(suan)(suan)中久已使用(yong)的(de)率(lv)(lv)概念和齊(qi)同原理，把(ba)它們看作(zuo)運算(suan)(suan)的(de)綱紀。許多問(wen)題，只(zhi)要(yao)找出其中的(de)各種率(lv)(lv)關系(xi)，通過乘以(yi)散之，約以(yi)聚之，齊(qi)同以(yi)通之，都可以(yi)歸結為今有術(shu)求解。
一平(ping)面(mian)(mian)（或(huo)(huo)立(li)體(ti)）圖形(xing)經過平(ping)移或(huo)(huo)旋(xuan)轉(zhuan)，其(qi)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)(ji)(ji)）不(bu)變。把一個(ge)平(ping)面(mian)(mian)（或(huo)(huo)立(li)體(ti)）圖形(xing)分解(jie)成若干部分，各部分面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)(ji)(ji)）之和(he)與原(yuan)(yuan)圖形(xing)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)(ji)(ji)）相等(deng)。基于這兩條不(bu)言(yan)自(zi)明(ming)的前(qian)提的出入相補原(yuan)(yuan)理，是中國古代數學(xue)進(jin)行幾何推演和(he)證明(ming)時(shi)最常用的原(yuan)(yuan)理。劉徽發展了(le)出入相補原(yuan)(yuan)理，成功地證明(ming)了(le)許多(duo)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)以及可以化為面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)問(wen)題的勾股(gu)、開(kai)方的公式和(he)算(suan)法的正(zheng)確性。
《九(jiu)(jiu)章算術》是(shi)中(zhong)(zhong)國古代的(de)數學(xue)專著，是(shi)“算經十書”（漢唐之(zhi)間出現的(de)十部(bu)古算書）中(zhong)(zhong)最重要的(de)一(yi)種。魏晉(jin)時劉(liu)徽(hui)為《九(jiu)(jiu)章算術》作注(zhu)時說(shuo):“周公(gong)制(zhi)禮而有九(jiu)(jiu)數，九(jiu)(jiu)數之(zhi)流則(ze)《九(jiu)(jiu)章》是(shi)矣”，又說(shuo)“漢北平侯(hou)張蒼、大司(si)農中(zhong)(zhong)丞(cheng)耿壽昌皆以善算命世(shi)。蒼等因舊文之(zhi)遺殘，各稱刪(shan)補，故(gu)校其目則(ze)與(yu)古或異(yi)，而所論多近語也(ye)”。
根據研(yan)究，西(xi)(xi)漢的張蒼、耿壽昌曾(ceng)經(jing)做過增補。最后成書最遲在東漢前期，但(dan)是其基本內容(rong)在西(xi)(xi)漢后期已經(jing)基本定型。
《漢書(shu)(shu)(shu)藝文志》（班(ban)固根據劉歆《七略(lve)》寫成(cheng)者）中著(zhu)錄(lu)的數學書(shu)(shu)(shu)僅有《許商算(suan)(suan)術(shu)》、《杜忠(zhong)算(suan)(suan)術(shu)》兩種，并無《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》，可(ke)見(jian)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的出現要(yao)晚于《七略(lve)》。《后(hou)漢書(shu)(shu)(shu)馬(ma)援傳(chuan)》載其侄孫馬(ma)續“博覽群書(shu)(shu)(shu)，善《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》”，馬(ma)續是公(gong)元1世(shi)紀最(zui)后(hou)二、三(san)十年時人(ren)。再根據《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》中可(ke)供判定年代(dai)的官名(ming)、地名(ming)等(deng)來推斷，現傳(chuan)本《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的成(cheng)書(shu)(shu)(shu)年代(dai)大約是在公(gong)元1世(shi)紀的下半葉。九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)將(jiang)書(shu)(shu)(shu)中的所有數學問題(ti)分為九(jiu)大類，是陳凱靖編輯(ji)的
1984年，在(zai)湖北(bei)出土了《算(suan)(suan)數書(shu)(shu)》書(shu)(shu)簡。據考證，它比《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》要早一個半世(shi)紀以上(shang)，書(shu)(shu)中有(you)些內容(rong)和《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》非(fei)常相(xiang)似，一些內容(rong)的文句也基本相(xiang)同(tong)。有(you)人推測兩(liang)書(shu)(shu)具有(you)某些繼承(cheng)關系(xi)，但也有(you)不(bu)同(tong)的看法認為《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》沒(mei)有(you)直接受到《算(suan)(suan)數書(shu)(shu)》影響。
后(hou)世的(de)(de)(de)數學(xue)家，大都是(shi)(shi)從《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》開始學(xue)習和(he)(he)研究(jiu)數學(xue)，許(xu)多(duo)人(ren)曾為它作(zuo)過(guo)注釋(shi)。其中(zhong)(zhong)最(zui)著名的(de)(de)(de)有劉徽(hui)（263）、李淳風(feng)（656）等(deng)人(ren)。劉、李等(deng)人(ren)的(de)(de)(de)注釋(shi)和(he)(he)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》一起流(liu)傳至今。唐宋兩代，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》都由國家明令(ling)規定為教科(ke)書(shu)(shu)(shu)。到了北(bei)宋，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》還(huan)曾由政府(fu)進行過(guo)刊刻(ke)（1084），這是(shi)(shi)世界上(shang)最(zui)早(zao)的(de)(de)(de)印(yin)刷本(ben)數學(xue)書(shu)(shu)(shu)。在現傳本(ben)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》中(zhong)(zhong)，最(zui)早(zao)的(de)(de)(de)版本(ben)乃是(shi)(shi)上(shang)述北(bei)宋本(ben)的(de)(de)(de)南宋翻刻(ke)本(ben)（1213），現藏于上(shang)海圖(tu)書(shu)(shu)(shu)館（孤本(ben)，殘(can)，只(zhi)余前(qian)五卷）。清代戴(dai)震(zhen)由《永樂大典(dian)》中(zhong)(zhong)抄(chao)出《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》全書(shu)(shu)(shu)，并(bing)作(zuo)了校勘。此后(hou)的(de)(de)(de)《四(si)庫(ku)全書(shu)(shu)(shu)》本(ben)、武英殿(dian)聚珍本(ben)、孔(kong)繼涵刻(ke)的(de)(de)(de)《算經十(shi)書(shu)(shu)(shu)》本(ben)（1773）等(deng)，大多(duo)數都是(shi)(shi)以戴(dai)校本(ben)為底(di)本(ben)的(de)(de)(de)。
作為一部世界數學名(ming)著，《九章算術》早在隋唐時期即已傳(chuan)入朝鮮、日(ri)本。它已被譯(yi)成日(ri)、俄、德、法等(deng)多種(zhong)文字版本。
《九(jiu)章(zhang)算術》中的數學成就是多方面的：
（1）、在(zai)算術(shu)方面的(de)(de)主要(yao)成就有(you)分數運算、比(bi)例(li)問(wen)(wen)題和“盈不(bu)足”算法(fa)。《九章(zhang)算術(shu)》是世(shi)界(jie)上最早系統敘述了(le)分數運算的(de)(de)著(zhu)作，在(zai)第二(er)、三、六章(zhang)中有(you)許(xu)多(duo)比(bi)例(li)問(wen)(wen)題，在(zai)世(shi)界(jie)上也是比(bi)較(jiao)早的(de)(de)。“盈不(bu)足”的(de)(de)算法(fa)需(xu)要(yao)給(gei)出兩(liang)次假(jia)設，是一項創造(zao)，中世(shi)紀(ji)歐洲稱它為“雙設法(fa)”，有(you)人認為它是由中國經中世(shi)紀(ji)阿拉(la)伯國家傳去的(de)(de)。
《九章(zhang)算(suan)術》中有比較完整的(de)分(fen)(fen)數計(ji)算(suan)方法(fa)，包括四則運(yun)算(suan)，通分(fen)(fen)、約分(fen)(fen)、化帶分(fen)(fen)數為(wei)假分(fen)(fen)數（我國古代稱為(wei)通分(fen)(fen)內(nei)子，“內(nei)”讀為(wei)納）等等。其步驟(zou)與方法(fa)大(da)體(ti)與現(xian)代的(de)雷同。
分(fen)數加(jia)減(jian)運(yun)(yun)算，《九章(zhang)算術》已明確提出先(xian)通分(fen)，使(shi)兩分(fen)數的(de)分(fen)母(mu)(mu)(mu)相同(tong)，然后進(jin)行(xing)加(jia)減(jian)。加(jia)法(fa)的(de)步驟是(shi)“母(mu)(mu)(mu)互(hu)乘子，并(bing)以(yi)為(wei)實(shi)，母(mu)(mu)(mu)相乘為(wei)法(fa)，實(shi)如(ru)法(fa)而(er)一(yi)”這(zhe)里“實(shi)”是(shi)分(fen)子。“法(fa)”是(shi)分(fen)母(mu)(mu)(mu)，“實(shi)如(ru)法(fa)而(er)一(yi)”也就(jiu)是(shi)用(yong)法(fa)去(qu)除實(shi)，進(jin)行(xing)除法(fa)運(yun)(yun)算，《九章(zhang)算術》還注意到(dao)兩點：其(qi)一(yi)是(shi)運(yun)(yun)算結果(guo)如(ru)出現“不滿(man)法(fa)者，以(yi)法(fa)命之”。就(jiu)是(shi)分(fen)子小于分(fen)母(mu)(mu)(mu)時(shi)便(bian)以(yi)分(fen)數形(xing)式保留。其(qi)二是(shi)“其(qi)母(mu)(mu)(mu)同(tong)者，直相從之”，就(jiu)是(shi)分(fen)母(mu)(mu)(mu)相同(tong)的(de)分(fen)數進(jin)行(xing)加(jia)減(jian)，運(yun)(yun)算時(shi)不必通分(fen)，使(shi)分(fen)子直接加(jia)減(jian)即可。
《九(jiu)章算術》中還有求(qiu)最大(da)公約(yue)(yue)數(shu)(shu)(shu)和約(yue)(yue)分(fen)的(de)方(fang)法。求(qiu)最大(da)公約(yue)(yue)數(shu)(shu)(shu)的(de)方(fang)法稱(cheng)為“更相減(jian)(jian)損(sun)”法，其具體步驟是(shi)(shi)“可(ke)半者(zhe)(zhe)半之，不可(ke)半者(zhe)(zhe)，副(fu)置(zhi)分(fen)母(mu)子(zi)之數(shu)(shu)(shu)，以(yi)少(shao)減(jian)(jian)多，更相減(jian)(jian)損(sun)，求(qiu)其等(deng)(deng)也(ye)。以(yi)等(deng)(deng)數(shu)(shu)(shu)約(yue)(yue)之。”這里所說的(de)“等(deng)(deng)數(shu)(shu)(shu)”就(jiu)是(shi)(shi)我(wo)們(men)現(xian)在的(de)最大(da)公約(yue)(yue)數(shu)(shu)(shu)。可(ke)半者(zhe)(zhe)是(shi)(shi)指分(fen)子(zi)分(fen)母(mu)都(dou)是(shi)(shi)偶(ou)數(shu)(shu)(shu)，可(ke)以(yi)折(zhe)半的(de)先(xian)把它們(men)折(zhe)半，即可(ke)先(xian)約(yue)(yue)去2。不都(dou)是(shi)(shi)偶(ou)數(shu)(shu)(shu)了(le)，則另外(wai)擺（即副(fu)置(zhi)）分(fen)子(zi)分(fen)母(mu)算籌進行計(ji)算，從大(da)數(shu)(shu)(shu)中減(jian)(jian)去小數(shu)(shu)(shu)，輾轉相減(jian)(jian)，減(jian)(jian)到余數(shu)(shu)(shu)和減(jian)(jian)數(shu)(shu)(shu)相等(deng)(deng)，即得等(deng)(deng)數(shu)(shu)(shu)。
在(zai)《九章(zhang)算術》的第(di)二(er)(er)(er)、三(san)、六等章(zhang)內，廣泛地(di)使用了(le)各(ge)種(zhong)比例解(jie)應用問(wen)題。粟(su)米(mi)(mi)(mi)章(zhang)的開始(shi)就列(lie)舉(ju)了(le)各(ge)種(zhong)糧食(shi)間互(hu)換的比率如下：“粟(su)米(mi)(mi)(mi)之法(fa)(fa)：粟(su)率五十(shi)(shi)，糲米(mi)(mi)(mi)三(san)十(shi)(shi)，粺米(mi)(mi)(mi)二(er)(er)(er)十(shi)(shi)七(qi)(qi)，糳米(mi)(mi)(mi)二(er)(er)(er)十(shi)(shi)四，……”這是(shi)說：谷子五斗(dou)(dou)去皮可(ke)得糙米(mi)(mi)(mi)三(san)斗(dou)(dou)，又可(ke)舂(chong)得九折米(mi)(mi)(mi)二(er)(er)(er)斗(dou)(dou)七(qi)(qi)升(sheng)(sheng)，或八(ba)拆米(mi)(mi)(mi)二(er)(er)(er)斗(dou)(dou)四升(sheng)(sheng)，……。例如，粟(su)米(mi)(mi)(mi)章(zhang)第(di)一(yi)題：“今有(you)(you)粟(su)米(mi)(mi)(mi)一(yi)斗(dou)(dou)，欲為(wei)糲米(mi)(mi)(mi)，問(wen)得幾何”。它(ta)的解(jie)法(fa)(fa)是(shi)：“以(yi)所有(you)(you)數(shu)乘所求率為(wei)實，以(yi)所有(you)(you)率為(wei)法(fa)(fa)，實如法(fa)(fa)而一(yi)”。
《九(jiu)章算術(shu)》第七(qi)章“盈(ying)(ying)(ying)不足(zu)”專講盈(ying)(ying)(ying)虧問題(ti)(ti)及(ji)其(qi)解法(fa)其(qi)中(zhong)(zhong)(zhong)第一題(ti)(ti)：“今有（人(ren)(ren)）共(gong)買(mai)物(wu)，（每）人(ren)(ren)出八（錢），盈(ying)(ying)(ying)（余(yu)）三錢；人(ren)(ren)出七(qi)（錢），不足(zu)四(si)（錢），問人(ren)(ren)數、物(wu)價(jia)各幾何(he)”，“答(da)曰：七(qi)人(ren)(ren)，物(wu)價(jia)53（錢）。”“盈(ying)(ying)(ying)不足(zu)術(shu)曰：置(zhi)所出率，盈(ying)(ying)(ying)、不足(zu)各居其(qi)下(xia)。令(ling)維乘(cheng)（即交錯相(xiang)乘(cheng)）所出率，并以為(wei)實(shi)(shi)，并盈(ying)(ying)(ying)，不足(zu)為(wei)法(fa)，實(shi)(shi)如(ru)法(fa)而一……置(zhi)所出率，以少減多，余(yu)，以約法(fa)、實(shi)(shi)。實(shi)(shi)為(wei)物(wu)價(jia)，法(fa)為(wei)人(ren)(ren)數”。盈(ying)(ying)(ying)不足(zu)術(shu)是中(zhong)(zhong)(zhong)國數學(xue)史上解應用問題(ti)(ti)的一種別開生面的創造，它在我國古代算法(fa)中(zhong)(zhong)(zhong)占有相(xiang)當重(zhong)(zhong)要(yao)的地(di)位。盈(ying)(ying)(ying)不足(zu)術(shu)還經過絲(si)綢之路西(xi)傳(chuan)中(zhong)(zhong)(zhong)亞阿拉伯國家，受到(dao)特(te)別重(zhong)(zhong)視，被稱為(wei)“契丹(dan)算法(fa)”，后來又傳(chuan)入歐洲(zhou)，中(zhong)(zhong)(zhong)世紀時(shi)期(qi)“雙設法(fa)”曾長期(qi)統治(zhi)了他們的數學(xue)王國。
（2）、《九章算術(shu)》總結了生產、生活實踐中大量(liang)的(de)幾何知(zhi)識，在方田、商功和勾(gou)股(gu)章中提出(chu)了很多面積(ji)(ji)、體積(ji)(ji)的(de)計算公式和勾(gou)股(gu)定理(li)的(de)應(ying)用。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》方(fang)(fang)田(tian)(tian)(tian)章(zhang)(zhang)主要論述(shu)平面(mian)圖形(xing)直線形(xing)和圓(yuan)的面(mian)積(ji)計(ji)算(suan)方(fang)(fang)法。《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》方(fang)(fang)田(tian)(tian)(tian)章(zhang)(zhang)第一題“今有田(tian)(tian)(tian)廣(guang)(guang)(guang)十五步(bu)(bu)(bu)，從（音縱(zong)zong）十六步(bu)(bu)(bu)。問(wen)為(wei)田(tian)(tian)(tian)幾(ji)何。”“答曰(yue)：一畝(mu)”。這里“廣(guang)(guang)(guang)”就是寬，“從”即縱(zong)，指其長度，“方(fang)(fang)田(tian)(tian)(tian)術(shu)曰(yue)：廣(guang)(guang)(guang)從步(bu)(bu)(bu)數相乘得積(ji)步(bu)(bu)(bu)，（得積(ji)步(bu)(bu)(bu)就是得到乘積(ji)的平方(fang)(fang)步(bu)(bu)(bu)數）以畝(mu)法二(er)百四十步(bu)(bu)(bu)（實(shi)質應為(wei)積(ji)步(bu)(bu)(bu)）除之，即畝(mu)數。百畝(mu)為(wei)一頃。”當時(shi)稱(cheng)長方(fang)(fang)形(xing)為(wei)方(fang)(fang)田(tian)(tian)(tian)或直田(tian)(tian)(tian)。稱(cheng)三角形(xing)為(wei)圭田(tian)(tian)(tian)，面(mian)積(ji)公式為(wei)“術(shu)曰(yue)：半廣(guang)(guang)(guang)以乘正從”。這里廣(guang)(guang)(guang)是指三角形(xing)的底邊，正從是指底邊上(shang)的
高，劉徽在注文中(zhong)對這(zhe)一計算公式(shi)實質(zhi)上(shang)作(zuo)了證明：“半(ban)廣者，以盈補虛(xu)，為直田(tian)也。”“亦(yi)可以半(ban)正(zheng)從(cong)以乘(cheng)廣”（圖(tu)1－30）。盈是(shi)多余，虛(xu)乃不足(zu)。“以盈補虛(xu)”就是(shi)以多余部分填補不足(zu)的(de)部分，這(zhe)就是(shi)我國古代數學推導平面(mian)圖(tu)形面(mian)積(ji)(ji)公式(shi)所用的(de)傳統的(de)“出入相補”的(de)方法，由(you)上(shang)圖(tu)“以盈補虛(xu)”變(bian)圭田(tian)為與之等積(ji)(ji)的(de)直田(tian)，于(yu)是(shi)得到(dao)了圭田(tian)的(de)面(mian)積(ji)(ji)計算公式(shi)。
方田(tian)(tian)章第二(er)十七、二(er)十八題(ti)(ti)把直角(jiao)梯形(xing)稱(cheng)(cheng)為(wei)“邪田(tian)(tian)”（即斜田(tian)(tian)）它(ta)的面(mian)積公(gong)式是(shi)(shi)：“術(shu)曰(yue)：并(bing)兩(liang)邪（即兩(liang)斜，應理解(jie)為(wei)梯形(xing)兩(liang)底(di)）而半之，以乘正(zheng)從……，又可半正(zheng)從……以乘并(bing)。”劉(liu)徽在注(zhu)中(zhong)說明他(ta)的證法(fa)(fa)仍是(shi)(shi)“出入(ru)相補”法(fa)(fa)。在方田(tian)(tian)章第二(er)十九、三十題(ti)(ti)把一(yi)般梯形(xing)稱(cheng)(cheng)為(wei)“箕田(tian)(tian)”，上、下底(di)分別稱(cheng)(cheng)為(wei)“舌”、“踵”，面(mian)積公(gong)式是(shi)(shi)：“術(shu)曰(yue)：并(bing)踵舌而半之，以乘正(zheng)從”。
至于(yu)圓(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積(ji)，在(zai)《九章(zhang)算(suan)術》方田章(zhang)第三十(shi)一(yi)、三十(shi)二題中，它(ta)的(de)面(mian)(mian)積(ji)計算(suan)公式為：“半周半徑(jing)相(xiang)乘(cheng)得積(ji)步”。這里(li)“周”是(shi)圓(yuan)(yuan)周長(chang)，“徑(jing)”是(shi)指直徑(jing)。這個圓(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積(ji)計算(suan)公式是(shi)正確的(de)。只是(shi)當時取徑(jing)一(yi)周三（即(ji)π≈3）。于(yu)是(shi)由此計算(suan)所得的(de)圓(yuan)(yuan)面(mian)(mian)積(ji)就不夠精密(mi)。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術》商(shang)功章(zhang)(zhang)收集的(de)都是一些有關(guan)體(ti)積(ji)計算(suan)(suan)(suan)(suan)的(de)問題。但是商(shang)功章(zhang)(zhang)并沒有論述長方體(ti)或(huo)正方體(ti)的(de)體(ti)積(ji)算(suan)(suan)(suan)(suan)法。看(kan)來(lai)《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)(suan)(suan)術》是在(zai)長方體(ti)或(huo)正方體(ti)體(ti)積(ji)計算(suan)(suan)(suan)(suan)公(gong)式：V=abc的(de)基礎上來(lai)計算(suan)(suan)(suan)(suan)其他立體(ti)圖形體(ti)積(ji)的(de)。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》商功(gong)章(zhang)提到城、垣、堤(di)、溝(gou)、塹、渠(qu)，因其(qi)功(gong)用(yong)不同因而名稱各異，其(qi)實質都(dou)是(shi)正截面為等(deng)腰梯形的(de)直(zhi)棱柱，他們(men)的(de)體(ti)積(ji)計算(suan)(suan)方法：“術曰：并上、下廣而半之，以(yi)高若深乘之，又以(yi)袤(mao)乘之，即積(ji)尺”。這里上、下廣指橫(heng)截面的(de)上、下底（a，b）高或深（h），袤(mao)是(shi)指城垣……的(de)長（l）。因此城、垣…的(de)體(ti)積(ji)計算(suan)(suan)術公式V=1/2（a+b）h.
劉徽在注釋中把對于平面圖形的出入相補原理(li)推廣應用到空間圖形，成(cheng)為“損廣補狹”以證(zheng)明幾(ji)何體體積公式。
劉徽還(huan)用(yong)棋(qi)驗(yan)法(fa)(fa)來推(tui)導比較復(fu)雜的(de)幾何體體積(ji)計(ji)算公(gong)式。所(suo)謂棋(qi)驗(yan)法(fa)(fa)，“棋(qi)”是(shi)指某些幾何體模型即(ji)用(yong)幾何體模型驗(yan)證的(de)方法(fa)(fa)，例如長方體本身就是(shi)“棋(qi)”[圖1－32（1）]斜解一個長方體，得(de)兩個兩底面為直(zhi)角三(san)角形的(de)直(zhi)三(san)棱(leng)柱，我(wo)國(guo)古代稱為“塹堵”（如圖），所(suo)以塹堵的(de)體積(ji)是(shi)長方體體積(ji)的(de)二分之一。
《九章算(suan)術》商功(gong)章還有圓錐、圓臺（古(gu)代稱“圓亭”）的體(ti)積計算(suan)公(gong)式。甚至對(dui)三個側(ce)面是(shi)等腰梯形(xing)，其(qi)他兩面為勾股形(xing)的五(wu)面體(ti)[圖1－33（1）]，上(shang)、下底為矩形(xing)的擬(ni)
柱體（古(gu)代稱“芻(chu)童”）以(yi)及上底為一線(xian)段(duan)，下(xia)底為一矩形的擬柱體（古(gu)代稱“芻(chu)甍”）（“甍”音“夢(meng)”）等都可以(yi)計(ji)算(suan)其體積。
（3）、《九(jiu)章算術》中的(de)代數內(nei)容同樣(yang)很豐富，具有當(dang)時世界的(de)先進水平。
1．開平方(fang)和開立方(fang)
《九章(zhang)算術》中講了開(kai)平方、開(kai)立方的(de)(de)(de)方法，而且計算步驟(zou)基(ji)本一(yi)樣。所不同(tong)的(de)(de)(de)是古代用(yong)籌(chou)算進行演算，現以少廣章(zhang)第12題(ti)為例，說明古代開(kai)平方演算的(de)(de)(de)步驟(zou)，“今(jin)有(you)積五(wu)萬五(wu)千二(er)(er)百二(er)(er)十五(wu)步。問為方幾何”。“答(da)曰：二(er)(er)百三十五(wu)步”。這里所說的(de)(de)(de)步是我國古代的(de)(de)(de)長(chang)度單位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上述由圖1－25（1）—（10）是(shi)按(an)算(suan)籌進行(xing)演算(suan)的，看起來似乎(hu)很繁瑣，實際上步(bu)驟十(shi)分清楚(chu)，易于操作。它的開平方(fang)(fang)原理與現代(dai)開平方(fang)(fang)原理相同。其(qi)中“借算(suan)”的右(you)移、左移在(zai)現代(dai)的觀點(dian)下可以(yi)理解為一次變換(huan)(huan)(huan)和代(dai)換(huan)(huan)(huan)。《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》時代(dai)并沒有理解到變換(huan)(huan)(huan)和代(dai)換(huan)(huan)(huan)，但(dan)是(shi)這對以(yi)后宋、元(yuan)時期高(gao)次方(fang)(fang)程的解法是(shi)有深遠影響的。
《九章算術(shu)(shu)》方(fang)(fang)(fang)程(cheng)章中(zhong)的(de)(de)“方(fang)(fang)(fang)程(cheng)”是專(zhuan)指多元一次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)而(er)言(yan)，與“方(fang)(fang)(fang)程(cheng)”的(de)(de)含義(yi)并不相同。《九章算術(shu)(shu)》中(zhong)多元一次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)的(de)(de)解法，是將(jiang)它(ta)們(men)的(de)(de)系(xi)數(shu)(shu)和(he)常數(shu)(shu)項(xiang)用算籌擺成“方(fang)(fang)(fang)陣”（所以稱之謂(wei)“方(fang)(fang)(fang)程(cheng)”）。消元的(de)(de)過程(cheng)相當于現代(dai)大(da)學課程(cheng)高等(deng)代(dai)數(shu)(shu)中(zhong)的(de)(de)線性變換。
由(you)于《九章算(suan)術》在(zai)用(yong)(yong)直除法(fa)解(jie)一次方(fang)(fang)程組過程中，不可避免地要出(chu)現正負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)的問(wen)題(ti)，于是(shi)在(zai)方(fang)(fang)程章第三題(ti)中明確提出(chu)了正負(fu)(fu)術。劉徽在(zai)該術的注文里實質(zhi)上給出(chu)了正、負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)的定義(yi)：“兩算(suan)得失相反，要令‘正’、‘負(fu)(fu)’以(yi)(yi)(yi)名之(zhi)”。并在(zai)計(ji)算(suan)工具即算(suan)籌(chou)上加以(yi)(yi)(yi)區別“正算(suan)赤(chi)，負(fu)(fu)算(suan)黑(hei)，否則(ze)以(yi)(yi)(yi)邪(xie)正為(wei)異”。這就是(shi)規定正數(shu)(shu)(shu)用(yong)(yong)紅色算(suan)籌(chou)，負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)用(yong)(yong)黑(hei)色算(suan)籌(chou)。如(ru)果(guo)只有同色算(suan)籌(chou)的話，則(ze)遇到正數(shu)(shu)(shu)將籌(chou)正放，負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)時(shi)邪(xie)（同斜(xie)）放。宋代以(yi)(yi)(yi)后出(chu)現筆算(suan)也相應地用(yong)(yong)紅、黑(hei)色數(shu)(shu)(shu)碼字以(yi)(yi)(yi)區別正、負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)，或在(zai)個位數(shu)(shu)(shu)上記斜(xie)劃以(yi)(yi)(yi)表(biao)示負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)，如(ru)（即—1824），后來(lai)這種包括負(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)寫法(fa)在(zai)內(nei)的中國數(shu)(shu)(shu)碼字還傳到日(ri)本。
關于正、負(fu)(fu)數(shu)的加(jia)減運算法(fa)(fa)則(ze)，“正負(fu)(fu)術曰(yue)：同(tong)(tong)名(ming)(ming)(ming)相(xiang)(xiang)益，異名(ming)(ming)(ming)相(xiang)(xiang)除，正無(wu)入負(fu)(fu)之(zhi)，負(fu)(fu)無(wu)入正之(zhi)。其(qi)異名(ming)(ming)(ming)相(xiang)(xiang)除，同(tong)(tong)名(ming)(ming)(ming)相(xiang)(xiang)益，正無(wu)入正之(zhi)，負(fu)(fu)無(wu)入負(fu)(fu)之(zhi)”。這里所說(shuo)的“同(tong)(tong)名(ming)(ming)(ming)”、“異名(ming)(ming)(ming)”分別相(xiang)(xiang)當于所說(shuo)的同(tong)(tong)號、異號。“相(xiang)(xiang)益”、“相(xiang)(xiang)除”是指二數(shu)相(xiang)(xiang)加(jia)、相(xiang)(xiang)減。術文前四句是減法(fa)(fa)運算法(fa)(fa)則(ze)：
（1）如果被減數絕對值大于減數絕對值，即a>b≥0，
則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異(yi)名(ming)相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被減數絕對值小于(yu)減數絕對值，即b>a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中(zhong)間(jian)一式(shi)的a和a對(dui)(dui)消(xiao)，而（b-a）無(wu)可對(dui)(dui)消(xiao)，則改“正”為“負”，即“正無(wu)入(ru)負之”。“無(wu)入(ru)”就(jiu)(jiu)是無(wu)對(dui)(dui)，也(ye)就(jiu)(jiu)是無(wu)可對(dui)(dui)消(xiao)（或不夠(gou)減(jian)或對(dui)(dui)方為零）。
②如果兩數皆負
則(ze)（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中間的式子里（-a）和（-a）對消(xiao)，而-（b-a）無可對消(xiao)，則(ze)改“負”為“正”所以說“負無入(ru)正之(zhi)”。
③如果兩數一(yi)正一(yi)負。則仍(reng)同（1）的(de)異名相益。
術文(wen)的后四句是(shi)指正負數加法(fa)運算法(fa)則。
（1）同號兩(liang)數相加，即同名相益(yi)，其和的(de)絕對(dui)值(zhi)等于(yu)兩(liang)數絕對(dui)值(zhi)和。
如果a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號兩數相加，實為(wei)(wei)相減，即(ji)異名相除。如(ru)果正數的(de)絕對值較(jiao)大，其和為(wei)(wei)正，即(ji)“正無入正之(zhi)”。如(ru)果負(fu)(fu)數的(de)絕對值較(jiao)大，其和為(wei)(wei)負(fu)(fu)，即(ji)“負(fu)(fu)無入負(fu)(fu)之(zhi)”。用(yong)符(fu)號表(biao)示為(wei)(wei)
①如果a>b≥0，
則a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如(ru)果(guo)b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或(huo)（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于(yu)正(zheng)負數(shu)的乘(cheng)(cheng)(cheng)除(chu)法(fa)則，在《九章算術(shu)》時代(dai)或許(xu)會遇到有(you)關正(zheng)負數(shu)的乘(cheng)(cheng)(cheng)除(chu)運算。可惜書(shu)中并未論及(ji)，直到元代(dai)朱世杰于(yu)《算學啟蒙》（1299年(nian)）中才(cai)有(you)明確的記(ji)載：“同(tong)名相乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)正(zheng)，異名相乘(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)(wei)負”，“同(tong)名相除(chu)所得(de)為(wei)(wei)正(zheng)，異名相除(chu)所得(de)為(wei)(wei)負”，因(yin)此(ci)至(zhi)遲于(yu)13世紀(ji)末我國(guo)(guo)對有(you)理數(shu)四則運算法(fa)則已經全面作了總結(jie)。至(zhi)于(yu)正(zheng)負數(shu)概念的引入，正(zheng)負數(shu)加減運算法(fa)則的形成的歷史記(ji)錄，我國(guo)(guo)更(geng)是(shi)遙遙領先。國(guo)(guo)外首先承認負數(shu)的是(shi)七世紀(ji)印(yin)度數(shu)學家婆羅門岌多（約(yue)598-？）歐洲(zhou)到16世紀(ji)才(cai)承認負數(shu)。
現(xian)傳本《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》成書于何時(shi)，眾(zhong)說(shuo)紛紜，多數認為在(zai)西漢末到東漢初之(zhi)間，約公元一世(shi)紀前(qian)后，《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》的作(zuo)者不詳。很可能是(shi)在(zai)成書前(qian)一段歷史時(shi)期內通過(guo)(guo)多人(ren)之(zhi)手逐(zhu)次(ci)整(zheng)理、修改、補充而成的集(ji)體創作(zuo)結晶。由于二(er)千(qian)年來經過(guo)(guo)輾轉手抄(chao)、刻印，難(nan)免(mian)會(hui)出現(xian)差錯和遺(yi)漏(lou)，加上(shang)《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》文(wen)字簡(jian)略有些內容不易理解，因此歷史上(shang)有過(guo)(guo)多次(ci)校正和注釋。
關于對《九(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)》所(suo)做的(de)校注主要有：西漢張(zhang)蒼增訂、刪補，三國時曹魏劉徽注，唐李淳風注，南(nan)宋楊輝著《詳解九(jiu)章算(suan)法》選用《九(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)》中(zhong)80道典型的(de)題作過詳解并分類，清李潢（？—1811年）所(suo)著《九(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)細草圖(tu)說(shuo)》對《九(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)》進行(xing)了校訂、列算(suan)草、補插圖(tu)、加說(shuo)明(ming)，尤其是圖(tu)文并茂(mao)之作。
現(xian)代錢寶琮（1892—1974年(nian)(nian)）曾對(dui)包(bao)括《九章(zhang)算術(shu)》在內的(de)《算經十(shi)書(shu)》進行了(le)校點，用(yong)通俗(su)語言(yan)、近(jin)代數學術(shu)語對(dui)《九章(zhang)算術(shu)》及劉、李注文(wen)詳(xiang)加(jia)注釋。80年(nian)(nian)代以來，今人白尚恕、郭(guo)書(shu)春、李繼(ji)閔等都有(you)校注本(ben)出版。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》是世(shi)(shi)界上(shang)最早系統(tong)敘述(shu)了分(fen)數(shu)運算(suan)的(de)著(zhu)作；其中(zhong)盈不足(zu)的(de)算(suan)法(fa)(fa)更是一(yi)項令人驚奇的(de)創造(zao)；“方程(cheng)”章(zhang)還在世(shi)(shi)界數(shu)學(xue)史上(shang)首次闡(chan)述(shu)了負數(shu)及(ji)其加減(jian)運算(suan)法(fa)(fa)則。在代數(shu)方面，《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》在世(shi)(shi)界數(shu)學(xue)史上(shang)最早提出負數(shu)概念及(ji)正負數(shu)加減(jian)法(fa)(fa)法(fa)(fa)則；中(zhong)學(xue)講授(shou)的(de)線(xian)性方程(cheng)組的(de)解(jie)法(fa)(fa)和(he)(he)《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》介紹(shao)的(de)方法(fa)(fa)大體(ti)相同。注重實際應用是《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》的(de)一(yi)個顯著(zhu)特點。該書的(de)一(yi)些(xie)知(zhi)識還傳播(bo)至(zhi)(zhi)印度和(he)(he)阿拉伯，甚(shen)至(zhi)(zhi)經過(guo)這些(xie)地區遠至(zhi)(zhi)歐洲。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》是幾代人共(gong)同勞動的(de)(de)(de)結晶，它的(de)(de)(de)出(chu)現標志(zhi)著中(zhong)國古代數(shu)學(xue)(xue)體系的(de)(de)(de)形(xing)成．后(hou)世(shi)的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)，大都是從《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》開始學(xue)(xue)習和(he)研究數(shu)學(xue)(xue)知識的(de)(de)(de)。唐宋兩(liang)代都由國家(jia)明(ming)令規定為教科書(shu)。1084年由當時的(de)(de)(de)北宋朝廷(ting)進行刊刻(ke)，這是世(shi)界上最早的(de)(de)(de)印(yin)刷(shua)本數(shu)學(xue)(xue)書(shu)。可以說，《九章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》是中(zhong)國為數(shu)學(xue)(xue)發(fa)展做出(chu)的(de)(de)(de)又一杰出(chu)貢獻。
在九章算(suan)術中(zhong)(zhong)有(you)許多(duo)數學(xue)問(wen)題(ti)都是世界上記載最(zui)早的(de)。例如，關于比(bi)例算(suan)法的(de)問(wen)題(ti)，它和(he)后(hou)來在16世紀西(xi)歐出現(xian)的(de)三分律的(de)算(suan)法一樣。關于雙設法的(de)問(wen)題(ti)，在阿拉伯曾稱為契丹算(suan)法，13世紀以(yi)后(hou)的(de)歐洲數學(xue)著作中(zhong)(zhong)也有(you)如此(ci)稱呼的(de)，這(zhe)也是中(zhong)(zhong)國古(gu)代數學(xue)知識向西(xi)方傳播的(de)一個證(zheng)據。
《九章算(suan)術》對(dui)中國古代的(de)數學發展有很大影響(xiang)，這種影響(xiang)一直持續到了清朝中葉。《九章算(suan)術》的(de)敘(xu)述(shu)方式以歸(gui)納為主，先給(gei)出(chu)若(ruo)干例題，再(zai)給(gei)出(chu)解(jie)法，不同于(yu)西方以演(yan)繹為主的(de)敘(xu)述(shu)方式，中國后來的(de)數學著作也都是采用敘(xu)述(shu)方式為主。歷代數學家有不少人曾經注釋(shi)過這本書(shu)，其中以劉(liu)徽(hui)和李(li)淳風的(de)注釋(shi)最有名。
《九章算(suan)術》還流傳(chuan)到了日(ri)本和朝鮮，對(dui)其古(gu)代的數學發展也產生了很大的影響。
2020年4月，列(lie)入《教育部基礎教育課(ke)程教材(cai)發(fa)展中心中小學生閱讀指導目錄（2020年版）》初中段(duan)。
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