《九章算術》是(shi)中國古代(dai)(dai)張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著。是(shi)《算經十書(shu)》中最重要的一部，成(cheng)于公元(yuan)一世紀(ji)左右。其作(zuo)者已不可(ke)考。一般認為它是(shi)經歷(li)代(dai)(dai)各家的增(zeng)補(bu)修訂(ding)，而(er)逐漸(jian)成(cheng)為現今定本的，西漢(han)的張蒼、耿壽昌曾經做(zuo)過增(zeng)補(bu)和整(zheng)理，其時(shi)大體已成(cheng)定本。最后成(cheng)書(shu)最遲在東漢(han)前期，現今流傳的大多是(shi)在三國時(shi)期魏元(yuan)帝景元(yuan)四(si)年(nian)（263年(nian)），劉徽為《九章》所作(zuo)的注本。
《九(jiu)章算(suan)術》內容十分(fen)豐富，全(quan)書(shu)總結了戰國、秦(qin)、漢時期的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)成(cheng)就。同時，《九(jiu)章算(suan)術》在數(shu)(shu)學(xue)上還(huan)有其獨到(dao)的(de)(de)(de)成(cheng)就，不(bu)僅最(zui)早(zao)提到(dao)分(fen)數(shu)(shu)問題，也首先記錄了盈不(bu)足等問題，《方(fang)程》章還(huan)在世界數(shu)(shu)學(xue)史上首次闡述了負數(shu)(shu)及其加(jia)減運算(suan)法(fa)則。它是一本(ben)綜合性的(de)(de)(de)歷史著作，是當時世界上最(zui)簡練(lian)有效的(de)(de)(de)應(ying)用數(shu)(shu)學(xue)，它的(de)(de)(de)出現(xian)標志(zhi)中國古(gu)代(dai)數(shu)(shu)學(xue)形成(cheng)了完(wan)整的(de)(de)(de)體系(xi)。
2020年4月，列(lie)入《教育部(bu)基礎教育課程教材發展中心中小學(xue)生閱讀指導目錄(lu)（2020年版(ban)）》初(chu)中段。
《九(jiu)章(zhang)算術(shu)(shu)(shu)(shu)》的內容(rong)十分豐富(fu)，全書采用問題集的形式，收有(you)(you)246個與(yu)生(sheng)產、生(sheng)活實踐有(you)(you)聯系的應用問題，其中每道題有(you)(you)問（題目）、答(da)（答(da)案）、術(shu)(shu)(shu)(shu)（解題的步驟，但沒有(you)(you)證明），有(you)(you)的是一(yi)題一(yi)術(shu)(shu)(shu)(shu)，有(you)(you)的是多題一(yi)術(shu)(shu)(shu)(shu)或一(yi)題多術(shu)(shu)(shu)(shu)。這(zhe)些問題依(yi)照性(xing)質和(he)解法(fa)分別(bie)隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少廣、商功、均輸(shu)、盈不足、方程(cheng)及勾(gou)股。共九(jiu)章(zhang)如下(xia)所(suo)示。原作(zuo)有(you)(you)插圖，今傳本已(yi)只(zhi)剩下(xia)正文(wen)了(le)。
《九章(zhang)算(suan)術》共收(shou)有246個(ge)數(shu)學問題，分為九章(zhang)。它們的主(zhu)要內(nei)容分別是(shi)：
第一章“方田”：主要講述(shu)(shu)了(le)平(ping)面幾何圖(tu)形(xing)面積(ji)的(de)計算(suan)方法。包(bao)括長(chang)方形(xing)、等(deng)腰三角形(xing)、直角梯形(xing)、等(deng)腰梯形(xing)、圓(yuan)形(xing)、扇形(xing)、弓形(xing)、圓(yuan)環(huan)這(zhe)八種圖(tu)形(xing)面積(ji)的(de)計算(suan)方法。另外(wai)還系統地講述(shu)(shu)了(le)分數的(de)四則運算(suan)法則，以及求分子分母最(zui)大公(gong)約(yue)數等(deng)方法。
第二(er)章(zhang)“粟米”：谷物糧食的按比例(li)折換；提(ti)出比例(li)算法，稱(cheng)為今有術；衰分章(zhang)提(ti)出比例(li)分配法則，稱(cheng)為衰分術；
第三章“衰分”：比(bi)例分配問題(ti)。
第四(si)章(zhang)“少廣”：已知面(mian)積、體積，反求(qiu)其(qi)一邊長(chang)和徑長(chang)等(deng)；介紹了開平方、開立方的方法。
第五章“商功(gong)”：土石(shi)工(gong)程、體(ti)(ti)積計(ji)算；除給出了各種(zhong)立體(ti)(ti)體(ti)(ti)積公式(shi)外，還有(you)工(gong)程分配(pei)方法；
第六章(zhang)“均輸”：合理(li)攤派(pai)賦稅(shui)；用衰(shuai)分術解(jie)決賦役的(de)合理(li)負擔問(wen)題。今有(you)術、衰(shuai)分術及(ji)其應(ying)用方(fang)法(fa)，構(gou)成了包括今天正、反(fan)比(bi)例(li)、比(bi)例(li)分配、復比(bi)例(li)、連(lian)鎖(suo)比(bi)例(li)在(zai)內的(de)整(zheng)套比(bi)例(li)理(li)論。西方(fang)直到15世紀末以后(hou)才形成類似的(de)全(quan)套方(fang)法(fa)。
第七章“盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)”：即雙設法問(wen)題(ti)(ti)；提出了盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)、盈(ying)(ying)適(shi)足(zu)(zu)和(he)不(bu)(bu)足(zu)(zu)適(shi)足(zu)(zu)、兩盈(ying)(ying)和(he)兩不(bu)(bu)足(zu)(zu)三種類型(xing)的(de)盈(ying)(ying)虧問(wen)題(ti)(ti)，以及若干可以通(tong)過兩次假設化為盈(ying)(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)問(wen)題(ti)(ti)的(de)一般問(wen)題(ti)(ti)的(de)解法。這(zhe)也是處于世界(jie)領先地位的(de)成果，傳到西方后，影響極大。
第八章“方(fang)(fang)程(cheng)”：一(yi)次(ci)方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)問題；采(cai)用(yong)分離系(xi)數(shu)(shu)的(de)(de)方(fang)(fang)法表(biao)示線性(xing)方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)，相當于現在的(de)(de)矩陣；解(jie)線性(xing)方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)時使(shi)用(yong)的(de)(de)直除(chu)法，與矩陣的(de)(de)初等變換一(yi)致。這是世界上(shang)最早(zao)的(de)(de)完整的(de)(de)線性(xing)方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)的(de)(de)解(jie)法。在西方(fang)(fang)，直到17世紀才(cai)由萊(lai)布(bu)尼茲提(ti)出完整的(de)(de)線性(xing)方(fang)(fang)程(cheng)的(de)(de)解(jie)法法則(ze)。這一(yi)章還引進(jin)和使(shi)用(yong)了(le)(le)(le)負(fu)(fu)數(shu)(shu)，并(bing)提(ti)出了(le)(le)(le)正(zheng)(zheng)負(fu)(fu)術——正(zheng)(zheng)負(fu)(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)加減法則(ze)，與現今代數(shu)(shu)中(zhong)法則(ze)完全相同；解(jie)線性(xing)方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)時實際還施行了(le)(le)(le)正(zheng)(zheng)負(fu)(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)乘(cheng)除(chu)法。這是世界數(shu)(shu)學史上(shang)一(yi)項重(zhong)大的(de)(de)成就，第一(yi)次(ci)突破了(le)(le)(le)正(zheng)(zheng)數(shu)(shu)的(de)(de)范圍，擴展(zhan)了(le)(le)(le)數(shu)(shu)系(xi)。外國則(ze)到7世紀印(yin)度的(de)(de)婆(po)羅摩及多才(cai)認識負(fu)(fu)數(shu)(shu)。
第九章(zhang)“勾(gou)股”：利用勾(gou)股定理(li)求解的(de)各(ge)種問(wen)題(ti)。其中的(de)絕大多(duo)數內(nei)容(rong)(rong)是(shi)與當時的(de)社會生活密切(qie)相(xiang)關的(de)。提出了(le)(le)勾(gou)股數問(wen)題(ti)的(de)通解公式：若(ruo)a、b、c分別是(shi)勾(gou)股形的(de)勾(gou)、股、弦，則，m>n。在(zai)(zai)西(xi)方，畢達(da)哥拉斯(si)、歐幾里得等僅得到了(le)(le)這個(ge)(ge)公式的(de)幾種特殊情(qing)況，直到3世紀的(de)丟(diu)番圖才(cai)取得相(xiang)近的(de)結果，這已比《九章(zhang)算(suan)術》晚約3個(ge)(ge)世紀了(le)(le)。勾(gou)股章(zhang)還有些內(nei)容(rong)(rong)，在(zai)(zai)西(xi)方卻(que)還是(shi)近代的(de)事(shi)。例(li)如(ru)勾(gou)股章(zhang)最(zui)后一題(ti)給出的(de)一組(zu)公式，在(zai)(zai)國外到19世紀末才(cai)由美國的(de)數論學家迪克(ke)森得出。
《九章算術》確定了中國(guo)古代數(shu)(shu)學的(de)(de)框(kuang)(kuang)架(jia)，以計算為中心的(de)(de)特點(dian)，密切聯系實際，以解決人們生產、生活中的(de)(de)數(shu)(shu)學問題為目的(de)(de)的(de)(de)風格(ge)。其(qi)影(ying)響之深，以致(zhi)以后(hou)中國(guo)數(shu)(shu)學著作大(da)體(ti)采取(qu)兩種形式：或(huo)為之作注，或(huo)仿其(qi)體(ti)例著書(shu)；甚至西算傳入中國(guo)之后(hou)，人們著書(shu)立說時還(huan)常常把包(bao)括(kuo)西算在內的(de)(de)數(shu)(shu)學知識納入九章的(de)(de)框(kuang)(kuang)架(jia)。然(ran)而，《九章算術》亦(yi)有其(qi)不容忽(hu)視(shi)的(de)(de)缺點(dian)：沒(mei)有任何數(shu)(shu)學概念(nian)的(de)(de)定義，也沒(mei)有給(gei)出任何推(tui)導(dao)和證明。魏景元(yuan)四年（263年），劉徽給(gei)《九章算術》作注，才大(da)大(da)彌補了這個缺陷。
劉徽是(shi)中(zhong)國(guo)數(shu)學(xue)家之一。他(ta)的(de)生平(ping)知(zhi)之甚少。據(ju)考證，他(ta)是(shi)山東鄒平(ping)人(ren)。劉徽定義了若干(gan)數(shu)學(xue)概念，全面論證了《九章算(suan)術》的(de)公式解法，提出(chu)了許多重要的(de)思想、方(fang)法和命題，他(ta)在(zai)數(shu)學(xue)理論方(fang)面成績(ji)斐(fei)然(ran)。
劉徽(hui)對(dui)(dui)數(shu)學概念的(de)(de)定義(yi)(yi)(yi)抽象而嚴謹(jin)。他揭示了概念的(de)(de)本質，基(ji)本符合現(xian)代(dai)邏輯學和(he)數(shu)學對(dui)(dui)概念定義(yi)(yi)(yi)的(de)(de)要求。而且他使用概念時亦保持了其(qi)同一性(xing)。如(ru)他提出凡數(shu)相(xiang)(xiang)與者(zhe)謂之率，把率定義(yi)(yi)(yi)為數(shu)量的(de)(de)相(xiang)(xiang)互關系。又如(ru)他把正負(fu)數(shu)定義(yi)(yi)(yi)為今兩算(suan)得失相(xiang)(xiang)反，要令正負(fu)以(yi)名之，擺脫了正為余，負(fu)為欠的(de)(de)原始觀念，從本質上揭示了正負(fu)數(shu)得失相(xiang)(xiang)反的(de)(de)相(xiang)(xiang)對(dui)(dui)關系。
《九章算術》的(de)算法盡管抽象，但相(xiang)互關(guan)系不明(ming)顯，顯得零亂。劉徽大(da)大(da)發展(zhan)深化了中(zhong)(zhong)算中(zhong)(zhong)久(jiu)已使用的(de)率概念和齊(qi)同(tong)原理，把它們看作運算的(de)綱紀。許多(duo)問題，只要找出(chu)其中(zhong)(zhong)的(de)各種(zhong)率關(guan)系，通過(guo)乘以散之(zhi)，約(yue)以聚(ju)之(zhi)，齊(qi)同(tong)以通之(zhi)，都可以歸結為今有術求解。
一平面(mian)（或(huo)(huo)立(li)體(ti)）圖(tu)(tu)形經(jing)過平移或(huo)(huo)旋(xuan)轉(zhuan)，其面(mian)積(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)）不(bu)(bu)變(bian)。把一個平面(mian)（或(huo)(huo)立(li)體(ti)）圖(tu)(tu)形分(fen)解成若(ruo)干(gan)部分(fen)，各(ge)部分(fen)面(mian)積(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)）之和(he)與原圖(tu)(tu)形面(mian)積(ji)（或(huo)(huo)體(ti)積(ji)）相(xiang)等。基于這兩(liang)條不(bu)(bu)言自明的(de)前提(ti)的(de)出入(ru)(ru)相(xiang)補原理(li)，是中國古代(dai)數(shu)學進行幾(ji)何推演(yan)和(he)證明時最常(chang)用的(de)原理(li)。劉徽發展了出入(ru)(ru)相(xiang)補原理(li)，成功地證明了許多面(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)以及可以化(hua)為面(mian)積(ji)、體(ti)積(ji)問題(ti)的(de)勾股、開(kai)方(fang)的(de)公式和(he)算法的(de)正(zheng)確(que)性。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》是(shi)中國古代(dai)的(de)數(shu)學專著，是(shi)“算(suan)(suan)經十書”（漢唐(tang)之間出現(xian)的(de)十部古算(suan)(suan)書）中最重要的(de)一種(zhong)。魏晉(jin)時劉徽為《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》作注時說(shuo):“周公制禮而有(you)九(jiu)(jiu)數(shu)，九(jiu)(jiu)數(shu)之流(liu)則(ze)《九(jiu)(jiu)章(zhang)》是(shi)矣”，又說(shuo)“漢北(bei)平侯張蒼(cang)、大司(si)農中丞耿壽昌皆以善算(suan)(suan)命世(shi)。蒼(cang)等因舊文之遺殘，各稱刪補，故校(xiao)其目則(ze)與(yu)古或異，而所(suo)論(lun)多近(jin)語也”。
根據研究(jiu)，西(xi)漢的張蒼、耿(geng)壽昌曾經(jing)做過增補。最(zui)后成書最(zui)遲在東(dong)漢前期，但(dan)是(shi)其基本內容在西(xi)漢后期已經(jing)基本定型。
《漢書藝文志》（班固根據(ju)劉歆《七略》寫(xie)成(cheng)者）中著錄的(de)數(shu)(shu)學書僅(jin)有《許(xu)商算術》、《杜忠(zhong)算術》兩種(zhong)，并(bing)無(wu)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》，可見《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》的(de)出(chu)現(xian)要晚于(yu)《七略》。《后漢書馬援傳(chuan)》載(zai)其侄孫馬續“博覽(lan)群書，善(shan)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》”，馬續是(shi)公元1世紀最后二(er)、三十年時人。再根據(ju)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》中可供判定(ding)年代的(de)官名(ming)、地名(ming)等(deng)來推斷，現(xian)傳(chuan)本《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》的(de)成(cheng)書年代大約(yue)是(shi)在公元1世紀的(de)下半葉。九(jiu)(jiu)章(zhang)算術將書中的(de)所有數(shu)(shu)學問題分為九(jiu)(jiu)大類，是(shi)陳凱靖編輯的(de)
1984年，在湖北出(chu)土了《算(suan)數書(shu)》書(shu)簡。據(ju)考證，它比(bi)《九章(zhang)(zhang)算(suan)術》要早(zao)一個半(ban)世紀以上，書(shu)中(zhong)有(you)些內容和《九章(zhang)(zhang)算(suan)術》非常相似(si)，一些內容的(de)文句(ju)也(ye)基本相同(tong)。有(you)人推測兩書(shu)具有(you)某些繼承關系，但也(ye)有(you)不同(tong)的(de)看法認(ren)為《九章(zhang)(zhang)算(suan)術》沒有(you)直接受到《算(suan)數書(shu)》影響。
后世的(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家，大都是(shi)(shi)從《九章(zhang)算(suan)術(shu)》開(kai)始學(xue)(xue)(xue)習和研(yan)究數(shu)學(xue)(xue)(xue)，許多人(ren)曾(ceng)(ceng)為它作過(guo)注釋。其中最著名的(de)有劉徽（263）、李淳風（656）等(deng)人(ren)。劉、李等(deng)人(ren)的(de)注釋和《九章(zhang)算(suan)術(shu)》一起流傳(chuan)至今(jin)。唐宋(song)兩代，《九章(zhang)算(suan)術(shu)》都由國家明令(ling)規(gui)定為教科書(shu)(shu)(shu)。到了(le)(le)北(bei)宋(song)，《九章(zhang)算(suan)術(shu)》還(huan)曾(ceng)(ceng)由政府進行過(guo)刊刻（1084），這(zhe)是(shi)(shi)世界上最早的(de)印刷(shua)本(ben)(ben)數(shu)學(xue)(xue)(xue)書(shu)(shu)(shu)。在現傳(chuan)本(ben)(ben)《九章(zhang)算(suan)術(shu)》中，最早的(de)版本(ben)(ben)乃(nai)是(shi)(shi)上述(shu)北(bei)宋(song)本(ben)(ben)的(de)南宋(song)翻刻本(ben)(ben)（1213），現藏于上海圖書(shu)(shu)(shu)館(guan)（孤本(ben)(ben)，殘，只(zhi)余前五卷）。清代戴震由《永樂大典》中抄出《九章(zhang)算(suan)術(shu)》全(quan)書(shu)(shu)(shu)，并作了(le)(le)校勘。此后的(de)《四庫(ku)全(quan)書(shu)(shu)(shu)》本(ben)(ben)、武英(ying)殿聚珍本(ben)(ben)、孔繼(ji)涵刻的(de)《算(suan)經十書(shu)(shu)(shu)》本(ben)(ben)（1773）等(deng)，大多數(shu)都是(shi)(shi)以戴校本(ben)(ben)為底(di)本(ben)(ben)的(de)。
作為一部世(shi)界數學名著，《九章算(suan)術》早在隋唐時期(qi)即(ji)已傳入朝鮮、日(ri)本。它(ta)已被譯成日(ri)、俄、德、法等(deng)多種文字版本。
《九(jiu)章算術》中的數(shu)學成就是多方面的：
（1）、在算(suan)(suan)術(shu)方面的(de)(de)主(zhu)要成(cheng)就有(you)分(fen)(fen)數(shu)運(yun)算(suan)(suan)、比(bi)例問題(ti)和(he)“盈(ying)不足”算(suan)(suan)法(fa)。《九章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》是(shi)世(shi)界上(shang)最早系統敘(xu)述(shu)了分(fen)(fen)數(shu)運(yun)算(suan)(suan)的(de)(de)著作，在第二、三(san)、六章(zhang)中(zhong)(zhong)有(you)許多比(bi)例問題(ti)，在世(shi)界上(shang)也是(shi)比(bi)較早的(de)(de)。“盈(ying)不足”的(de)(de)算(suan)(suan)法(fa)需要給出兩次(ci)假設(she)，是(shi)一(yi)項創(chuang)造，中(zhong)(zhong)世(shi)紀(ji)歐洲稱它(ta)為(wei)“雙設(she)法(fa)”，有(you)人認為(wei)它(ta)是(shi)由(you)中(zhong)(zhong)國(guo)(guo)經中(zhong)(zhong)世(shi)紀(ji)阿拉伯(bo)國(guo)(guo)家傳去(qu)的(de)(de)。
《九章算(suan)術》中有(you)比較完(wan)整的分數計算(suan)方法(fa)，包括四(si)則運算(suan)，通分、約分、化帶分數為(wei)假分數（我(wo)國古代稱為(wei)通分內子，“內”讀為(wei)納）等等。其步驟(zou)與(yu)方法(fa)大體(ti)與(yu)現代的雷同。
分(fen)(fen)(fen)數加(jia)減(jian)運(yun)算(suan)，《九章算(suan)術(shu)》已(yi)明確(que)提出先通(tong)分(fen)(fen)(fen)，使兩分(fen)(fen)(fen)數的(de)分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)相同，然后進(jin)行(xing)加(jia)減(jian)。加(jia)法(fa)(fa)的(de)步驟是(shi)(shi)“母(mu)(mu)互乘(cheng)子(zi)，并以為實(shi)，母(mu)(mu)相乘(cheng)為法(fa)(fa)，實(shi)如法(fa)(fa)而(er)一(yi)”這(zhe)里“實(shi)”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子(zi)。“法(fa)(fa)”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)，“實(shi)如法(fa)(fa)而(er)一(yi)”也就(jiu)是(shi)(shi)用法(fa)(fa)去除實(shi)，進(jin)行(xing)除法(fa)(fa)運(yun)算(suan)，《九章算(suan)術(shu)》還(huan)注意到兩點：其(qi)一(yi)是(shi)(shi)運(yun)算(suan)結果如出現“不滿法(fa)(fa)者，以法(fa)(fa)命之”。就(jiu)是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子(zi)小(xiao)于分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)時便以分(fen)(fen)(fen)數形式保留(liu)。其(qi)二是(shi)(shi)“其(qi)母(mu)(mu)同者，直相從之”，就(jiu)是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)相同的(de)分(fen)(fen)(fen)數進(jin)行(xing)加(jia)減(jian)，運(yun)算(suan)時不必通(tong)分(fen)(fen)(fen)，使分(fen)(fen)(fen)子(zi)直接(jie)加(jia)減(jian)即可(ke)。
《九章算術》中還有求最(zui)大公(gong)(gong)約(yue)(yue)數(shu)和約(yue)(yue)分(fen)的方(fang)法(fa)(fa)。求最(zui)大公(gong)(gong)約(yue)(yue)數(shu)的方(fang)法(fa)(fa)稱(cheng)為“更相減(jian)損(sun)”法(fa)(fa)，其(qi)具(ju)體(ti)步(bu)驟是(shi)“可半(ban)(ban)者(zhe)半(ban)(ban)之(zhi)，不可半(ban)(ban)者(zhe)，副置分(fen)母(mu)(mu)子(zi)之(zhi)數(shu)，以(yi)少減(jian)多，更相減(jian)損(sun)，求其(qi)等(deng)(deng)也。以(yi)等(deng)(deng)數(shu)約(yue)(yue)之(zhi)。”這里所說的“等(deng)(deng)數(shu)”就是(shi)我們(men)現在的最(zui)大公(gong)(gong)約(yue)(yue)數(shu)。可半(ban)(ban)者(zhe)是(shi)指分(fen)子(zi)分(fen)母(mu)(mu)都是(shi)偶數(shu)，可以(yi)折(zhe)半(ban)(ban)的先(xian)把它們(men)折(zhe)半(ban)(ban)，即可先(xian)約(yue)(yue)去(qu)2。不都是(shi)偶數(shu)了，則(ze)另外(wai)擺（即副置）分(fen)子(zi)分(fen)母(mu)(mu)算籌(chou)進行(xing)計算，從大數(shu)中減(jian)去(qu)小數(shu)，輾轉(zhuan)相減(jian)，減(jian)到余數(shu)和減(jian)數(shu)相等(deng)(deng)，即得(de)等(deng)(deng)數(shu)。
在《九(jiu)章算(suan)術》的第(di)二(er)、三(san)、六等(deng)章內，廣泛地使用了(le)各種比例解應用問題。粟米(mi)(mi)(mi)章的開始就(jiu)列舉(ju)了(le)各種糧食(shi)間互換的比率(lv)(lv)如(ru)(ru)下：“粟米(mi)(mi)(mi)之法：粟率(lv)(lv)五(wu)十，糲米(mi)(mi)(mi)三(san)十，粺米(mi)(mi)(mi)二(er)十七，糳米(mi)(mi)(mi)二(er)十四，……”這(zhe)是(shi)說：谷子五(wu)斗(dou)(dou)去皮可(ke)得糙米(mi)(mi)(mi)三(san)斗(dou)(dou)，又可(ke)舂得九(jiu)折米(mi)(mi)(mi)二(er)斗(dou)(dou)七升(sheng)，或八拆米(mi)(mi)(mi)二(er)斗(dou)(dou)四升(sheng)，……。例如(ru)(ru)，粟米(mi)(mi)(mi)章第(di)一題：“今有(you)粟米(mi)(mi)(mi)一斗(dou)(dou)，欲(yu)為糲米(mi)(mi)(mi)，問得幾何(he)”。它的解法是(shi)：“以所有(you)數(shu)乘所求率(lv)(lv)為實(shi)，以所有(you)率(lv)(lv)為法，實(shi)如(ru)(ru)法而一”。
《九章算(suan)術(shu)》第(di)七章“盈(ying)不(bu)足”專講盈(ying)虧(kui)問(wen)(wen)題及其(qi)(qi)解法(fa)(fa)其(qi)(qi)中(zhong)第(di)一(yi)題：“今有(you)(you)（人(ren)）共買物(wu)，（每(mei)）人(ren)出(chu)八（錢(qian)），盈(ying)（余(yu)）三(san)錢(qian)；人(ren)出(chu)七（錢(qian)），不(bu)足四（錢(qian)），問(wen)(wen)人(ren)數(shu)(shu)、物(wu)價(jia)各幾(ji)何(he)”，“答曰：七人(ren)，物(wu)價(jia)53（錢(qian)）。”“盈(ying)不(bu)足術(shu)曰：置所出(chu)率，盈(ying)、不(bu)足各居其(qi)(qi)下(xia)。令維乘（即交(jiao)錯相(xiang)乘）所出(chu)率，并以(yi)(yi)為(wei)(wei)實(shi)，并盈(ying)，不(bu)足為(wei)(wei)法(fa)(fa)，實(shi)如法(fa)(fa)而一(yi)……置所出(chu)率，以(yi)(yi)少減多(duo)，余(yu)，以(yi)(yi)約法(fa)(fa)、實(shi)。實(shi)為(wei)(wei)物(wu)價(jia)，法(fa)(fa)為(wei)(wei)人(ren)數(shu)(shu)”。盈(ying)不(bu)足術(shu)是中(zhong)國(guo)(guo)數(shu)(shu)學(xue)史上(shang)解應用問(wen)(wen)題的一(yi)種別(bie)開生面的創(chuang)造，它在我國(guo)(guo)古代算(suan)法(fa)(fa)中(zhong)占有(you)(you)相(xiang)當重(zhong)要的地位。盈(ying)不(bu)足術(shu)還經過絲綢之(zhi)路(lu)西傳中(zhong)亞阿拉(la)伯國(guo)(guo)家(jia)，受到特別(bie)重(zhong)視，被稱(cheng)為(wei)(wei)“契丹算(suan)法(fa)(fa)”，后(hou)來(lai)又傳入歐洲，中(zhong)世紀時期“雙設法(fa)(fa)”曾長(chang)期統治了他們的數(shu)(shu)學(xue)王(wang)國(guo)(guo)。
（2）、《九章(zhang)算術》總(zong)結(jie)了生(sheng)產、生(sheng)活實踐中大量的(de)幾何知(zhi)識，在方田(tian)、商(shang)功和勾股(gu)章(zhang)中提出了很多面積(ji)(ji)、體積(ji)(ji)的(de)計算公式和勾股(gu)定理的(de)應用(yong)。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》方(fang)田章(zhang)主要論述(shu)平面(mian)圖形(xing)直線形(xing)和(he)圓的面(mian)積計算(suan)方(fang)法(fa)。《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》方(fang)田章(zhang)第一(yi)(yi)題(ti)“今有田廣(guang)十五步(bu)，從(cong)(cong)（音縱zong）十六步(bu)。問為(wei)(wei)田幾何。”“答曰：一(yi)(yi)畝(mu)”。這(zhe)(zhe)里“廣(guang)”就是寬(kuan)，“從(cong)(cong)”即(ji)(ji)縱，指其(qi)長(chang)(chang)度(du)，“方(fang)田術(shu)曰：廣(guang)從(cong)(cong)步(bu)數(shu)相乘(cheng)(cheng)得(de)積步(bu)，（得(de)積步(bu)就是得(de)到(dao)乘(cheng)(cheng)積的平方(fang)步(bu)數(shu)）以畝(mu)法(fa)二百四十步(bu)（實質應為(wei)(wei)積步(bu)）除之，即(ji)(ji)畝(mu)數(shu)。百畝(mu)為(wei)(wei)一(yi)(yi)頃。”當時稱長(chang)(chang)方(fang)形(xing)為(wei)(wei)方(fang)田或直田。稱三角(jiao)形(xing)為(wei)(wei)圭田，面(mian)積公式為(wei)(wei)“術(shu)曰：半廣(guang)以乘(cheng)(cheng)正從(cong)(cong)”。這(zhe)(zhe)里廣(guang)是指三角(jiao)形(xing)的底邊(bian)，正從(cong)(cong)是指底邊(bian)上(shang)的
高，劉徽在(zai)注文(wen)中對這一(yi)計(ji)算(suan)公式(shi)實質上(shang)作了(le)(le)證明：“半廣者(zhe)，以(yi)盈補虛，為(wei)直(zhi)田也(ye)。”“亦可(ke)以(yi)半正從以(yi)乘廣”（圖1－30）。盈是多(duo)(duo)余，虛乃不足。“以(yi)盈補虛”就是以(yi)多(duo)(duo)余部分填補不足的(de)(de)部分，這就是我國古代(dai)數學推導平面(mian)(mian)圖形(xing)面(mian)(mian)積公式(shi)所用的(de)(de)傳統的(de)(de)“出(chu)入相補”的(de)(de)方法，由上(shang)圖“以(yi)盈補虛”變圭田為(wei)與(yu)之(zhi)等積的(de)(de)直(zhi)田，于是得到了(le)(le)圭田的(de)(de)面(mian)(mian)積計(ji)算(suan)公式(shi)。
方田(tian)(tian)章(zhang)第二(er)十(shi)七、二(er)十(shi)八題把直角梯形(xing)(xing)稱為“邪(xie)(xie)田(tian)(tian)”（即斜(xie)田(tian)(tian)）它的面(mian)積公式是(shi)：“術(shu)曰(yue)：并(bing)(bing)兩邪(xie)(xie)（即兩斜(xie)，應(ying)理解(jie)為梯形(xing)(xing)兩底）而(er)半之，以(yi)(yi)乘正從……，又(you)可半正從……以(yi)(yi)乘并(bing)(bing)。”劉徽在(zai)注中說(shuo)明他的證法仍是(shi)“出(chu)入相補(bu)”法。在(zai)方田(tian)(tian)章(zhang)第二(er)十(shi)九、三十(shi)題把一(yi)般梯形(xing)(xing)稱為“箕田(tian)(tian)”，上、下底分別稱為“舌(she)”、“踵”，面(mian)積公式是(shi)：“術(shu)曰(yue)：并(bing)(bing)踵舌(she)而(er)半之，以(yi)(yi)乘正從”。
至(zhi)于圓面(mian)積(ji)，在(zai)《九章算(suan)術》方田章第三十(shi)一、三十(shi)二題中(zhong)，它的面(mian)積(ji)計算(suan)公式(shi)為：“半周(zhou)半徑相乘(cheng)得積(ji)步”。這(zhe)里(li)“周(zhou)”是圓周(zhou)長(chang)，“徑”是指直徑。這(zhe)個圓面(mian)積(ji)計算(suan)公式(shi)是正(zheng)確的。只是當時取徑一周(zhou)三（即π≈3）。于是由此計算(suan)所得的圓面(mian)積(ji)就(jiu)不夠精密。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》商(shang)功(gong)章(zhang)(zhang)收(shou)集(ji)的(de)都是一些(xie)有(you)關體積(ji)計(ji)算的(de)問題。但是商(shang)功(gong)章(zhang)(zhang)并(bing)沒有(you)論述長方(fang)體或(huo)正方(fang)體的(de)體積(ji)算法。看來(lai)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》是在長方(fang)體或(huo)正方(fang)體體積(ji)計(ji)算公式：V=abc的(de)基礎(chu)上來(lai)計(ji)算其(qi)他(ta)立體圖形體積(ji)的(de)。
《九章(zhang)算(suan)術(shu)》商(shang)功章(zhang)提到城、垣(yuan)、堤、溝、塹、渠，因(yin)其(qi)功用不同(tong)因(yin)而名稱各異(yi)，其(qi)實質(zhi)都是(shi)正截面為等(deng)腰梯形的(de)直棱(leng)柱，他(ta)們的(de)體積計(ji)算(suan)方法：“術(shu)曰：并上、下廣而半之(zhi)，以(yi)高若深乘之(zhi)，又(you)以(yi)袤(mao)乘之(zhi)，即積尺”。這里上、下廣指(zhi)橫(heng)截面的(de)上、下底(di)（a，b）高或深（h），袤(mao)是(shi)指(zhi)城垣(yuan)……的(de)長（l）。因(yin)此城、垣(yuan)…的(de)體積計(ji)算(suan)術(shu)公(gong)式V=1/2（a+b）h.
劉(liu)徽在注釋中把對于平面圖形(xing)的出(chu)入(ru)相補原理(li)推廣應(ying)用到(dao)空間圖形(xing)，成(cheng)為“損廣補狹”以證明幾何體(ti)體(ti)積公式。
劉徽還用棋(qi)(qi)驗(yan)(yan)法(fa)(fa)來推(tui)導比較復雜的幾(ji)何(he)體(ti)(ti)體(ti)(ti)積計算公式。所謂棋(qi)(qi)驗(yan)(yan)法(fa)(fa)，“棋(qi)(qi)”是指某些幾(ji)何(he)體(ti)(ti)模(mo)型(xing)即(ji)用幾(ji)何(he)體(ti)(ti)模(mo)型(xing)驗(yan)(yan)證的方法(fa)(fa)，例如(ru)長方體(ti)(ti)本身就(jiu)是“棋(qi)(qi)”[圖(tu)1－32（1）]斜解(jie)一個長方體(ti)(ti)，得兩(liang)個兩(liang)底面為直角三角形的直三棱柱，我國古代稱(cheng)為“塹堵”（如(ru)圖(tu)），所以塹堵的體(ti)(ti)積是長方體(ti)(ti)體(ti)(ti)積的二分之一。
《九章(zhang)算術》商功(gong)章(zhang)還有(you)圓(yuan)錐、圓(yuan)臺（古代稱“圓(yuan)亭(ting)”）的體積計算公式。甚(shen)至對三個側面(mian)是(shi)等腰(yao)梯形，其他兩面(mian)為(wei)勾股形的五(wu)面(mian)體[圖1－33（1）]，上、下(xia)底為(wei)矩形的擬
柱體（古代稱(cheng)“芻童(tong)”）以(yi)及(ji)上底為一(yi)線段，下底為一(yi)矩形的擬柱體（古代稱(cheng)“芻甍”）（“甍”音“夢(meng)”）等都可以(yi)計(ji)算其體積。
（3）、《九章算術(shu)》中的代數內容同樣很豐富，具有(you)當時世(shi)界的先進水(shui)平。
1．開平(ping)方和開立方
《九章算(suan)(suan)術》中講了開平(ping)方(fang)、開立(li)方(fang)的(de)(de)方(fang)法，而且(qie)計算(suan)(suan)步驟基(ji)本(ben)一樣。所不同的(de)(de)是古代(dai)用籌算(suan)(suan)進行演算(suan)(suan)，現以少廣章第12題為(wei)例，說明古代(dai)開平(ping)方(fang)演算(suan)(suan)的(de)(de)步驟，“今有積五(wu)萬五(wu)千二(er)百二(er)十五(wu)步。問為(wei)方(fang)幾何(he)”。“答曰：二(er)百三十五(wu)步”。這(zhe)里所說的(de)(de)步是我國古代(dai)的(de)(de)長度單位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上述(shu)由圖1－25（1）—（10）是(shi)按算(suan)籌進(jin)行演算(suan)的(de)，看(kan)起來(lai)似乎(hu)很繁(fan)瑣，實際(ji)上步驟十分清楚，易于操(cao)作。它的(de)開平方(fang)原(yuan)理(li)與現代(dai)(dai)開平方(fang)原(yuan)理(li)相同。其中“借算(suan)”的(de)右移、左(zuo)移在(zai)現代(dai)(dai)的(de)觀點下可以(yi)理(li)解為一次變(bian)換(huan)和代(dai)(dai)換(huan)。《九章算(suan)術》時代(dai)(dai)并沒有理(li)解到變(bian)換(huan)和代(dai)(dai)換(huan)，但是(shi)這對以(yi)后(hou)宋、元時期高次方(fang)程(cheng)的(de)解法(fa)是(shi)有深遠影響的(de)。
《九(jiu)章算術》方(fang)程章中的(de)“方(fang)程”是專(zhuan)指多(duo)(duo)元一(yi)次方(fang)程組而言，與(yu)“方(fang)程”的(de)含義并不(bu)相同(tong)。《九(jiu)章算術》中多(duo)(duo)元一(yi)次方(fang)程組的(de)解法，是將它們的(de)系數(shu)(shu)(shu)和常數(shu)(shu)(shu)項用(yong)算籌擺成(cheng)“方(fang)陣”（所以稱之謂(wei)“方(fang)程”）。消元的(de)過(guo)程相當(dang)于(yu)現(xian)代大(da)學課程高(gao)等(deng)代數(shu)(shu)(shu)中的(de)線性變(bian)換。
由于《九章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)(suan)術》在(zai)(zai)(zai)用直(zhi)除法(fa)解一(yi)次方(fang)程組過(guo)程中，不可避(bi)免(mian)地(di)要出現正負(fu)(fu)(fu)(fu)數的(de)(de)問題，于是在(zai)(zai)(zai)方(fang)程章(zhang)(zhang)第(di)三題中明確提出了正負(fu)(fu)(fu)(fu)術。劉(liu)徽在(zai)(zai)(zai)該術的(de)(de)注文里實質上給(gei)出了正、負(fu)(fu)(fu)(fu)數的(de)(de)定(ding)義：“兩(liang)算(suan)(suan)(suan)得(de)失相(xiang)反，要令‘正’、‘負(fu)(fu)(fu)(fu)’以(yi)名之(zhi)”。并(bing)在(zai)(zai)(zai)計算(suan)(suan)(suan)工具即算(suan)(suan)(suan)籌上加以(yi)區別(bie)“正算(suan)(suan)(suan)赤，負(fu)(fu)(fu)(fu)算(suan)(suan)(suan)黑(hei)，否(fou)則以(yi)邪正為(wei)異”。這就是規定(ding)正數用紅色(se)(se)算(suan)(suan)(suan)籌，負(fu)(fu)(fu)(fu)數用黑(hei)色(se)(se)算(suan)(suan)(suan)籌。如(ru)果只有同色(se)(se)算(suan)(suan)(suan)籌的(de)(de)話(hua)，則遇到(dao)(dao)正數將籌正放，負(fu)(fu)(fu)(fu)數時邪（同斜）放。宋代以(yi)后出現筆算(suan)(suan)(suan)也(ye)相(xiang)應地(di)用紅、黑(hei)色(se)(se)數碼字以(yi)區別(bie)正、負(fu)(fu)(fu)(fu)數，或在(zai)(zai)(zai)個位數上記斜劃以(yi)表示負(fu)(fu)(fu)(fu)數，如(ru)（即—1824），后來(lai)這種(zhong)包括負(fu)(fu)(fu)(fu)數寫(xie)法(fa)在(zai)(zai)(zai)內的(de)(de)中國數碼字還(huan)傳到(dao)(dao)日本。
關于(yu)正、負(fu)(fu)數(shu)的(de)加(jia)減運算法則(ze)，“正負(fu)(fu)術(shu)(shu)曰：同名相(xiang)益(yi)，異(yi)名相(xiang)除，正無入負(fu)(fu)之(zhi)，負(fu)(fu)無入正之(zhi)。其異(yi)名相(xiang)除，同名相(xiang)益(yi)，正無入正之(zhi)，負(fu)(fu)無入負(fu)(fu)之(zhi)”。這里所說的(de)“同名”、“異(yi)名”分(fen)別相(xiang)當于(yu)所說的(de)同號、異(yi)號。“相(xiang)益(yi)”、“相(xiang)除”是(shi)指(zhi)二(er)數(shu)相(xiang)加(jia)、相(xiang)減。術(shu)(shu)文(wen)前四句(ju)是(shi)減法運算法則(ze)：
（1）如果被減(jian)數絕對值大于減(jian)數絕對值，即a>b≥0，
則同名相(xiang)益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異(yi)名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被減數(shu)絕(jue)對值(zhi)(zhi)小于減數(shu)絕(jue)對值(zhi)(zhi)，即(ji)b>a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中間一式的a和a對消，而(er)（b-a）無可(ke)對消，則改“正”為“負(fu)”，即“正無入負(fu)之”。“無入”就(jiu)是無對，也就(jiu)是無可(ke)對消（或不夠(gou)減或對方為零）。
②如果兩數皆負
則（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中間的式子里（-a）和（-a）對(dui)消，而-（b-a）無(wu)可對(dui)消，則改“負(fu)”為(wei)“正”所以(yi)說“負(fu)無(wu)入正之”。
③如果(guo)兩數(shu)一(yi)正一(yi)負。則仍(reng)同（1）的異名相益。
術文的后四句是指正負數加法運算法則。
（1）同號兩(liang)數相(xiang)加，即同名相(xiang)益，其和的絕對(dui)值等于兩(liang)數絕對(dui)值和。
如果a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號兩(liang)數相(xiang)加，實為(wei)相(xiang)減，即異名(ming)相(xiang)除。如(ru)果(guo)正(zheng)數的絕對值較大，其和為(wei)正(zheng)，即“正(zheng)無(wu)入正(zheng)之(zhi)”。如(ru)果(guo)負數的絕對值較大，其和為(wei)負，即“負無(wu)入負之(zhi)”。用符號表(biao)示為(wei)
①如果a>b≥0，
則a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如(ru)果b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于(yu)正(zheng)(zheng)負數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)乘除(chu)法則，在《九章算(suan)(suan)術》時代(dai)或許會遇到(dao)有關正(zheng)(zheng)負數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)乘除(chu)運算(suan)(suan)。可惜書中并未論及，直(zhi)到(dao)元(yuan)代(dai)朱世杰于(yu)《算(suan)(suan)學啟蒙(meng)》（1299年）中才(cai)有明確的(de)(de)記(ji)載：“同名相(xiang)(xiang)乘為(wei)正(zheng)(zheng)，異(yi)名相(xiang)(xiang)乘為(wei)負”，“同名相(xiang)(xiang)除(chu)所(suo)得(de)為(wei)正(zheng)(zheng)，異(yi)名相(xiang)(xiang)除(chu)所(suo)得(de)為(wei)負”，因此至遲(chi)于(yu)13世紀(ji)(ji)末我國(guo)對有理數(shu)(shu)(shu)四(si)則運算(suan)(suan)法則已經全面作了(le)總結(jie)。至于(yu)正(zheng)(zheng)負數(shu)(shu)(shu)概念的(de)(de)引入，正(zheng)(zheng)負數(shu)(shu)(shu)加減運算(suan)(suan)法則的(de)(de)形成的(de)(de)歷史記(ji)錄，我國(guo)更是遙遙領先(xian)。國(guo)外首先(xian)承(cheng)認負數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)是七世紀(ji)(ji)印度(du)數(shu)(shu)(shu)學家婆羅門岌多(duo)（約(yue)598-？）歐洲到(dao)16世紀(ji)(ji)才(cai)承(cheng)認負數(shu)(shu)(shu)。
現傳(chuan)本《九章(zhang)(zhang)算(suan)術》成(cheng)書于何時，眾(zhong)說紛(fen)紜，多數認為在(zai)西漢末到東漢初之間，約公元(yuan)一世(shi)紀前后(hou)，《九章(zhang)(zhang)算(suan)術》的(de)作(zuo)者不(bu)詳。很(hen)可能(neng)是在(zai)成(cheng)書前一段歷(li)(li)史時期內(nei)通過多人之手逐次(ci)(ci)整(zheng)理、修改、補充而成(cheng)的(de)集體(ti)創(chuang)作(zuo)結晶(jing)。由于二(er)千(qian)年來經過輾轉手抄(chao)、刻印，難免會(hui)出現差(cha)錯(cuo)和遺漏(lou)，加(jia)上《九章(zhang)(zhang)算(suan)術》文字(zi)簡略有(you)些(xie)內(nei)容(rong)不(bu)易理解(jie)，因此(ci)歷(li)(li)史上有(you)過多次(ci)(ci)校正(zheng)和注釋。
關于(yu)對(dui)《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術》所(suo)做的校注(zhu)(zhu)(zhu)主要有：西漢張蒼增訂(ding)、刪補(bu)(bu)，三國時曹魏劉徽注(zhu)(zhu)(zhu)，唐(tang)李淳風注(zhu)(zhu)(zhu)，南(nan)宋楊輝著《詳(xiang)解九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)法》選用《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術》中80道典型的題作過詳(xiang)解并分類(lei)，清(qing)李潢(huang)（？—1811年）所(suo)著《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術細草圖說》對(dui)《九(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術》進行了校訂(ding)、列(lie)算(suan)草、補(bu)(bu)插圖、加說明，尤其是圖文并茂之作。
現代錢寶琮（1892—1974年(nian)）曾對包括《九章算術(shu)》在內的《算經十(shi)書》進(jin)行了校(xiao)點，用(yong)通(tong)俗語(yu)言、近(jin)代數學術(shu)語(yu)對《九章算術(shu)》及劉、李(li)(li)注(zhu)文(wen)詳加注(zhu)釋。80年(nian)代以來(lai)，今人白尚恕、郭書春、李(li)(li)繼(ji)閔(min)等都(dou)有校(xiao)注(zhu)本出版。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》是世(shi)界上最(zui)(zui)早系統敘述(shu)了分數(shu)(shu)運算的(de)著(zhu)作；其中盈不足的(de)算法(fa)更是一(yi)(yi)項令(ling)人驚(jing)奇的(de)創造；“方程”章(zhang)(zhang)還在(zai)世(shi)界數(shu)(shu)學史(shi)上首次闡述(shu)了負數(shu)(shu)及其加減運算法(fa)則。在(zai)代數(shu)(shu)方面，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》在(zai)世(shi)界數(shu)(shu)學史(shi)上最(zui)(zui)早提出負數(shu)(shu)概(gai)念及正負數(shu)(shu)加減法(fa)法(fa)則；中學講授的(de)線性方程組(zu)的(de)解法(fa)和(he)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》介紹的(de)方法(fa)大體相(xiang)同。注重實際應用是《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》的(de)一(yi)(yi)個顯著(zhu)特點。該書的(de)一(yi)(yi)些知(zhi)識還傳播至(zhi)(zhi)印度(du)和(he)阿拉伯，甚至(zhi)(zhi)經過這些地(di)區遠至(zhi)(zhi)歐洲。
《九(jiu)章算術》是(shi)幾(ji)代人共(gong)同勞動的結晶，它(ta)的出(chu)現標志著(zhu)中(zhong)國古代數(shu)學(xue)(xue)體(ti)系的形成．后世的數(shu)學(xue)(xue)家(jia)，大(da)都(dou)(dou)是(shi)從《九(jiu)章算術》開始學(xue)(xue)習和研究數(shu)學(xue)(xue)知識(shi)的。唐宋(song)兩代都(dou)(dou)由國家(jia)明(ming)令規定為教科書(shu)。1084年由當(dang)時的北宋(song)朝廷(ting)進行刊刻，這是(shi)世界上最(zui)早的印刷本數(shu)學(xue)(xue)書(shu)。可以說，《九(jiu)章算術》是(shi)中(zhong)國為數(shu)學(xue)(xue)發展做出(chu)的又一杰出(chu)貢獻。
在九章算(suan)術中有許多數(shu)(shu)學問題都是(shi)(shi)世界(jie)上(shang)記(ji)載最早的(de)(de)(de)。例如，關(guan)于比例算(suan)法(fa)的(de)(de)(de)問題，它和后(hou)來在16世紀西歐出現的(de)(de)(de)三分律的(de)(de)(de)算(suan)法(fa)一(yi)樣(yang)。關(guan)于雙設法(fa)的(de)(de)(de)問題，在阿拉伯曾稱為契丹算(suan)法(fa)，13世紀以后(hou)的(de)(de)(de)歐洲數(shu)(shu)學著作中也(ye)有如此稱呼的(de)(de)(de)，這也(ye)是(shi)(shi)中國古代(dai)數(shu)(shu)學知識向西方傳播的(de)(de)(de)一(yi)個證據。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》對(dui)中(zhong)國古(gu)代(dai)的(de)數學(xue)發展有(you)(you)很大影響，這(zhe)種影響一(yi)直持(chi)續(xu)到了清朝中(zhong)葉。《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)》的(de)敘述方式(shi)以(yi)(yi)歸納為主，先給出若干例題，再(zai)給出解法，不(bu)同于西方以(yi)(yi)演繹為主的(de)敘述方式(shi)，中(zhong)國后來的(de)數學(xue)著作也(ye)都是采(cai)用敘述方式(shi)為主。歷(li)代(dai)數學(xue)家有(you)(you)不(bu)少人曾經(jing)注(zhu)釋過這(zhe)本書，其中(zhong)以(yi)(yi)劉(liu)徽和李淳風的(de)注(zhu)釋最(zui)有(you)(you)名。
《九(jiu)章算術》還流傳到了(le)日本和朝鮮，對其古(gu)代的數學發(fa)展也產生了(le)很大的影(ying)響。
2020年(nian)4月，列(lie)入(ru)《教(jiao)育部基礎教(jiao)育課程(cheng)教(jiao)材發展中心中小學生閱(yue)讀指導(dao)目錄（2020年(nian)版）》初中段。
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