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歷史背景

數(shu)(shu)學中的轉折點是(shi)笛卡(ka)爾(er)的變(bian)數(shu)(shu)，有了(le)(le)(le)變(bian)數(shu)(shu)，運動進入了(le)(le)(le)數(shu)(shu)學，有了(le)(le)(le)變(bian)數(shu)(shu)，辯證(zheng)法進入了(le)(le)(le)數(shu)(shu)學，有了(le)(le)(le)變(bian)數(shu)(shu)，微分(fen)學和積(ji)分(fen)學也就立(li)刻成(cheng)為必要的了(le)(le)(le)，而它(ta)們(men)也就立(li)刻產(chan)生(sheng)，并且是(shi)由牛頓和萊布尼茲大體上完成(cheng)的，但不(bu)是(shi)由他們(men)發明的。——恩格斯

從(cong)15世(shi)紀初歐(ou)(ou)洲文藝復興時(shi)期(qi)起，工業(ye)、農業(ye)、航海(hai)事業(ye)與(yu)(yu)商(shang)賈貿易的(de)(de)(de)(de)(de)大(da)(da)規模發展，形成了一個新的(de)(de)(de)(de)(de)經(jing)濟時(shi)代，宗教(jiao)改革(ge)與(yu)(yu)對教(jiao)會思想禁錮(gu)的(de)(de)(de)(de)(de)懷(huai)疑(yi)，東(dong)方先(xian)進的(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)(xue)(xue)技術通過(guo)阿拉伯的(de)(de)(de)(de)(de)傳(chuan)入，以(yi)及拜占庭帝國覆滅后(hou)(hou)希臘(la)大(da)(da)量文獻的(de)(de)(de)(de)(de)流入歐(ou)(ou)洲，在(zai)當時(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)知識階(jie)層面(mian)前呈(cheng)現出(chu)一個完全嶄新的(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)貌。而十六世(shi)紀的(de)(de)(de)(de)(de)歐(ou)(ou)洲，正處在(zai)資本主義萌(meng)芽時(shi)期(qi)，生產力得到了很大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)(de)發展，生產實踐的(de)(de)(de)(de)(de)發展向自然科學(xue)(xue)(xue)提出(chu)了新的(de)(de)(de)(de)(de)課題，迫切要求力學(xue)(xue)(xue)、天文學(xue)(xue)(xue)等基礎學(xue)(xue)(xue)科的(de)(de)(de)(de)(de)發展，而這些學(xue)(xue)(xue)科都是深刻依賴(lai)于(yu)數學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)，因而也推動的(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)發展。科學(xue)(xue)(xue)對數學(xue)(xue)(xue)提出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)種種要求，最后(hou)(hou)匯總成多個核心問題：

（1）運動中(zhong)速度與距(ju)離(li)的互求問題

即，已(yi)知物體(ti)移動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)(ju)離(li)表為(wei)時(shi)(shi)(shi)間的(de)(de)函數的(de)(de)公式，求(qiu)物體(ti)在(zai)(zai)(zai)任意時(shi)(shi)(shi)刻的(de)(de)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)和(he)(he)加(jia)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)；反(fan)過來(lai)，已(yi)知物體(ti)的(de)(de)加(jia)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)表為(wei)時(shi)(shi)(shi)間的(de)(de)函數的(de)(de)公式，求(qiu)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)和(he)(he)距(ju)(ju)離(li)。這類問題是(shi)(shi)(shi)研究(jiu)運(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)時(shi)(shi)(shi)直接出現(xian)的(de)(de)，困難在(zai)(zai)(zai)于，所(suo)(suo)研究(jiu)的(de)(de)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)和(he)(he)加(jia)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)是(shi)(shi)(shi)每(mei)(mei)時(shi)(shi)(shi)每(mei)(mei)刻都(dou)在(zai)(zai)(zai)變(bian)化的(de)(de)。比如(ru)，計(ji)算(suan)物體(ti)在(zai)(zai)(zai)某(mou)時(shi)(shi)(shi)刻的(de)(de)瞬時(shi)(shi)(shi)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)，就不能(neng)(neng)象計(ji)算(suan)平均(jun)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)那樣，用(yong)運(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)時(shi)(shi)(shi)間去除移動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)(ju)離(li)，因(yin)為(wei)在(zai)(zai)(zai)給定的(de)(de)瞬間，物體(ti)移動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)(ju)離(li)和(he)(he)所(suo)(suo)用(yong)的(de)(de)時(shi)(shi)(shi)間是(shi)(shi)(shi)，而是(shi)(shi)(shi)無意義的(de)(de)。但(dan)是(shi)(shi)(shi)，根據(ju)物理，每(mei)(mei)個運(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)物體(ti)在(zai)(zai)(zai)它(ta)運(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)每(mei)(mei)一時(shi)(shi)(shi)刻必有速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)，這也是(shi)(shi)(shi)無疑的(de)(de)。已(yi)知速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)公式求(qiu)移動(dong)(dong)(dong)(dong)距(ju)(ju)離(li)的(de)(de)問題，也遇(yu)到同樣的(de)(de)困難。因(yin)為(wei)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)每(mei)(mei)時(shi)(shi)(shi)每(mei)(mei)刻都(dou)在(zai)(zai)(zai)變(bian)化，所(suo)(suo)以不能(neng)(neng)用(yong)運(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)時(shi)(shi)(shi)間乘(cheng)任意時(shi)(shi)(shi)刻的(de)(de)速(su)(su)度(du)(du)(du)(du)，來(lai)得(de)到物體(ti)移動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)距(ju)(ju)離(li)。

（2）求曲線的(de)切線問題

這個問(wen)題本身是(shi)純幾何的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而(er)且對于(yu)科學(xue)(xue)應(ying)用有巨大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)(zhong)要(yao)(yao)性。由于(yu)研究(jiu)天文的(de)(de)(de)(de)(de)(de)需要(yao)(yao)，光學(xue)(xue)是(shi)十七世(shi)紀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一門較重(zhong)(zhong)要(yao)(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)(xue)研究(jiu)，透鏡(jing)(jing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)設計者要(yao)(yao)研究(jiu)光線(xian)(xian)(xian)通(tong)過透鏡(jing)(jing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)通(tong)道，必須知(zhi)道光線(xian)(xian)(xian)入射(she)透鏡(jing)(jing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)角度以便應(ying)用反射(she)定律，這里重(zhong)(zhong)要(yao)(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)光線(xian)(xian)(xian)與(yu)曲線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)法線(xian)(xian)(xian)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)夾角，而(er)法線(xian)(xian)(xian)是(shi)垂(chui)直于(yu)切(qie)線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，所以總是(shi)就在于(yu)求(qiu)出(chu)(chu)法線(xian)(xian)(xian)或(huo)切(qie)線(xian)(xian)(xian)；另一個涉及到(dao)曲線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)切(qie)線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)科學(xue)(xue)問(wen)題出(chu)(chu)現于(yu)運動的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研究(jiu)中(zhong)，求(qiu)運動物體在它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)軌(gui)跡(ji)上任一點上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)運動方(fang)向，即軌(gui)跡(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)切(qie)線(xian)(xian)(xian)方(fang)向。

（3）求長度、面(mian)積、體積、與重心問(wen)題等(deng)

這些問(wen)(wen)題(ti)包(bao)括(kuo)，求(qiu)(qiu)曲(qu)線(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)長度(du)（如(ru)行(xing)(xing)星(xing)(xing)在(zai)(zai)已知時期移動(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)距離），曲(qu)線(xian)圍(wei)(wei)成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)積，曲(qu)面(mian)圍(wei)(wei)成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)體(ti)(ti)(ti)(ti)積，物體(ti)(ti)(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)心，一(yi)(yi)個相(xiang)當(dang)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)物體(ti)(ti)(ti)(ti)（如(ru)行(xing)(xing)星(xing)(xing)）作(zuo)用(yong)于(yu)另一(yi)(yi)物體(ti)(ti)(ti)(ti)上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)引力。實際上，關于(yu)計算橢圓的(de)(de)(de)(de)(de)(de)長度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)，就難住數(shu)學家(jia)們(men)，以致有一(yi)(yi)段時期數(shu)學家(jia)們(men)對(dui)這個問(wen)(wen)題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)進一(yi)(yi)步工作(zuo)失敗了(le)，直到(dao)下一(yi)(yi)世(shi)紀才(cai)得(de)到(dao)新的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)。又如(ru)求(qiu)(qiu)面(mian)積問(wen)(wen)題(ti)，早在(zai)(zai)古希臘時期人們(men)就用(yong)窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)求(qiu)(qiu)出(chu)了(le)一(yi)(yi)些面(mian)積和(he)體(ti)(ti)(ti)(ti)積，如(ru)求(qiu)(qiu)拋(pao)物線(xian)在(zai)(zai)區間上與軸(zhou)和(he)直線(xian)所(suo)圍(wei)(wei)成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)積，他(ta)們(men)就采用(yong)了(le)窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)。當(dang)越來越小時，右端的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)就越來越接近(jin)所(suo)求(qiu)(qiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)積的(de)(de)(de)(de)(de)(de)精確值。但是，應用(yong)窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)，必須添(tian)上許多技藝，并且缺乏一(yi)(yi)般性，常常得(de)不到(dao)數(shu)字解。當(dang)阿基(ji)米德的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)在(zai)(zai)歐(ou)洲聞(wen)名(ming)時，求(qiu)(qiu)長度(du)、面(mian)積、體(ti)(ti)(ti)(ti)積和(he)重(zhong)心的(de)(de)(de)(de)(de)(de)興趣復活(huo)了(le)。窮(qiong)(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)先是逐漸地被修改，后來由于(yu)微積分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)創立而根本地修改了(le)。

（4）求最大(da)值和最小值問(wen)題

炮(pao)(pao)彈在(zai)炮(pao)(pao)筒里(li)射(she)(she)出，它運行(xing)(xing)的(de)(de)水(shui)平距離，即射(she)(she)程，依賴于(yu)炮(pao)(pao)筒對(dui)地(di)面的(de)(de)傾斜角(jiao)，即發(fa)射(she)(she)角(jiao)。一個(ge)“實(shi)際”的(de)(de)問題是(shi)求能獲(huo)得最(zui)(zui)(zui)大(da)(da)(da)射(she)(she)程的(de)(de)發(fa)射(she)(she)角(jiao)。十(shi)七世紀初期，Galileo斷定（在(zai)真空中(zhong)）最(zui)(zui)(zui)大(da)(da)(da)射(she)(she)程在(zai)發(fa)射(she)(she)角(jiao)是(shi)時(shi)達到；他還得出炮(pao)(pao)彈從各個(ge)不同(tong)角(jiao)度(du)發(fa)射(she)(she)后所(suo)達到的(de)(de)不同(tong)的(de)(de)最(zui)(zui)(zui)大(da)(da)(da)高度(du)。研究(jiu)行(xing)(xing)星的(de)(de)運動也涉(she)及到最(zui)(zui)(zui)大(da)(da)(da)值和最(zui)(zui)(zui)小值的(de)(de)問題，如求行(xing)(xing)星離開太陽的(de)(de)距離。

創立過程

早期思想

早在公元前7世紀，古希臘科(ke)學(xue)家(jia)、哲學(xue)家(jia)泰勒(le)斯就(jiu)對球(qiu)(qiu)的(de)(de)面積(ji)(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)(ji)、與長(chang)度等(deng)問(wen)題的(de)(de)研究就(jiu)含有(you)微積(ji)(ji)(ji)(ji)分思(si)想(xiang)。古希臘數(shu)學(xue)家(jia)、力學(xue)家(jia)阿基米(mi)德（公元前287~前212）的(de)(de)著作(zuo)《圓(yuan)的(de)(de)測量》和《論球(qiu)(qiu)與圓(yuan)柱》中就(jiu)已含有(you)積(ji)(ji)(ji)(ji)分學(xue)的(de)(de)萌芽，他(ta)在研究解決拋物線(xian)下的(de)(de)弓形(xing)面積(ji)(ji)(ji)(ji)、球(qiu)(qiu)和球(qiu)(qiu)冠(guan)面積(ji)(ji)(ji)(ji)、螺線(xian)下的(de)(de)面積(ji)(ji)(ji)(ji)和旋(xuan)轉雙曲線(xian)所得的(de)(de)體(ti)積(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)問(wen)題中就(jiu)隱含著近代(dai)積(ji)(ji)(ji)(ji)分的(de)(de)思(si)想(xiang)。中國古代(dai)數(shu)學(xue)家(jia)也產生過積(ji)(ji)(ji)(ji)分學(xue)的(de)(de)萌芽思(si)想(xiang)，例如(ru)三(san)國時期(qi)的(de)(de)劉徽，他(ta)對積(ji)(ji)(ji)(ji)分學(xue)的(de)(de)思(si)想(xiang)主要有(you)兩點：割(ge)圓(yuan)術及求體(ti)積(ji)(ji)(ji)(ji)問(wen)題的(de)(de)設想(xiang)。

在3世紀，中國數(shu)(shu)學家劉(liu)徽創立的(de)(de)割圓(yuan)(yuan)術用(yong)圓(yuan)(yuan)內(nei)接(jie)(jie)正(zheng)九(jiu)十六邊形的(de)(de)面(mian)積近(jin)似(si)代(dai)替圓(yuan)(yuan)面(mian)積，求(qiu)出圓(yuan)(yuan)周(zhou)率的(de)(de)近(jin)似(si)值(zhi)，并指出：“割之(zhi)彌細，所失彌少，割之(zhi)又割，以至(zhi)不可(ke)割，則與圓(yuan)(yuan)合(he)體(ti)而無(wu)所失矣”。劉(liu)徽對面(mian)積的(de)(de)深刻認識(shi)和他的(de)(de)割圓(yuan)(yuan)術方法，正(zheng)是極(ji)(ji)限(xian)思想的(de)(de)具體(ti)體(ti)現。數(shu)(shu)列極(ji)(ji)限(xian)是函數(shu)(shu)極(ji)(ji)限(xian)的(de)(de)基(ji)礎，一個數(shu)(shu)列如果當無(wu)限(xian)增大(da)時(shi)，與某一實(shi)數(shu)(shu)無(wu)限(xian)接(jie)(jie)近(jin)，就稱之(zhi)為(wei)(wei)收斂數(shu)(shu)列，為(wei)(wei)數(shu)(shu)列的(de)(de)極(ji)(ji)限(xian)。

客觀價值

客觀世界的一切(qie)事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yun)動(dong)和變化(hua)著。因此在數學中引入了變量的概念(nian)后(hou)，就(jiu)有(you)可能把運(yun)動(dong)現象用數學來(lai)加(jia)以描(miao)述了。

由于函數(shu)(shu)概念的(de)產生(sheng)(sheng)和運用的(de)加深，也由于科(ke)學(xue)(xue)技術發展的(de)需要，一門新的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)分(fen)支(zhi)就繼解析幾何之后產生(sheng)(sheng)了，這(zhe)就是(shi)微積(ji)分(fen)學(xue)(xue)。微積(ji)分(fen)學(xue)(xue)這(zhe)門學(xue)(xue)科(ke)在數(shu)(shu)學(xue)(xue)發展中的(de)地位是(shi)十(shi)分(fen)重要的(de)，可(ke)以說它(ta)是(shi)繼歐氏(shi)幾何后，全部數(shu)(shu)學(xue)(xue)中的(de)最(zui)大的(de)一個創(chuang)造。

歷史

微積(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)產生(sheng)一般分(fen)為三個(ge)階段：極(ji)限(xian)(xian)概念；求積(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)無(wu)限(xian)(xian)小方法；積(ji)(ji)分(fen)與微分(fen)的(de)(de)(de)(de)互逆關系。最后一步(bu)是由牛頓、萊布尼茲完(wan)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)。前兩階段的(de)(de)(de)(de)工作，歐洲的(de)(de)(de)(de)大批數學家一直追溯到古希臘(la)的(de)(de)(de)(de)阿基(ji)米德都(dou)作出了各自的(de)(de)(de)(de)貢獻。對于這方面的(de)(de)(de)(de)工作，古代(dai)中國毫(hao)不(bu)遜色于西(xi)方，微積(ji)(ji)分(fen)思(si)想(xiang)在古代(dai)中國也有(you)萌芽，甚至不(bu)次于古希臘(la)。

微分早期

早在公(gong)(gong)元前7世(shi)紀，古希(xi)臘科學(xue)家(jia)、哲學(xue)家(jia)泰勒斯(si)就(jiu)(jiu)對球(qiu)的面積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)、與長度等問(wen)題(ti)的研(yan)究(jiu)就(jiu)(jiu)含(han)(han)有(you)(you)微積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)思想(xiang)。古希(xi)臘數學(xue)家(jia)、力學(xue)家(jia)阿基米(mi)德（公(gong)(gong)元前287~前212）的著作《圓的測量》和《論球(qiu)與圓柱》中就(jiu)(jiu)已含(han)(han)有(you)(you)積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)學(xue)的萌(meng)芽(ya)，他在研(yan)究(jiu)解決拋(pao)物(wu)線下(xia)的弓(gong)形(xing)面積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)、球(qiu)和球(qiu)冠面積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)、螺(luo)線下(xia)的面積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)和旋轉(zhuan)雙曲線所得的體積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)的問(wen)題(ti)中就(jiu)(jiu)隱含(han)(han)著近代積(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)的思想(xiang)。

極限思想

早在(zai)公元(yuan)前7世(shi)紀，古(gu)希(xi)臘科學家(jia)、哲學家(jia)泰(tai)勒斯(si)就對球的(de)面積(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)、與長度等(deng)問題(ti)的(de)研究(jiu)就含有(you)微積(ji)(ji)(ji)分(fen)思(si)想。公元(yuan)前4世(shi)紀《墨經(jing)》中有(you)了有(you)窮(qiong)、無窮(qiong)、無限小(xiao)（最(zui)小(xiao)無內）、無窮(qiong)大（最(zui)大無外(wai)）的(de)定義和(he)極限、瞬(shun)時(shi)等(deng)概念。劉徽公元(yuan)263年首創(chuang)的(de)割(ge)圓術(shu)求圓面積(ji)(ji)(ji)和(he)方(fang)錐體(ti)積(ji)(ji)(ji)，求得(de)圓周率約等(deng)于3.1416，他(ta)的(de)極限思(si)想和(he)無窮(qiong)小(xiao)方(fang)法(fa)，是世(shi)界(jie)古(gu)代(dai)極限思(si)想的(de)深刻(ke)體(ti)現。

公元前三世(shi)紀，古(gu)希臘的(de)(de)阿基米德在(zai)研究解(jie)決拋(pao)物弓形的(de)(de)面積(ji)、球和(he)(he)球冠面積(ji)、螺(luo)線(xian)下(xia)面積(ji)和(he)(he)旋(xuan)轉雙曲(qu)體的(de)(de)體積(ji)的(de)(de)問題中，就隱含著近(jin)代積(ji)分學(xue)的(de)(de)思想(xiang)。作為微分學(xue)基礎的(de)(de)極限(xian)理(li)論來(lai)說(shuo)，在(zai)古(gu)代以有(you)比較清楚的(de)(de)論述。比如我國的(de)(de)莊(zhuang)周所著的(de)(de)《莊(zhuang)子》一書的(de)(de)“天下(xia)篇”中，記有(you)“一尺之(zhi)棰，日取其半，萬世(shi)不竭”。三國時期(qi)的(de)(de)劉徽在(zai)他(ta)的(de)(de)割圓(yuan)術中提到(dao)“割之(zhi)彌(mi)(mi)細，所失(shi)彌(mi)(mi)小，割之(zhi)又割，以至于(yu)不可(ke)割，則與圓(yuan)周和(he)(he)體而無(wu)所失(shi)矣。”這(zhe)些都是樸素的(de)(de)、也是很典型的(de)(de)極限(xian)概念。

微積分思想

微積(ji)分思(si)想雖然(ran)可追溯到(dao)古(gu)希(xi)臘，但它的(de)(de)(de)(de)概念和(he)法則卻(que)是16世紀下(xia)半(ban)葉，開普勒、卡(ka)瓦列利等求(qiu)積(ji)的(de)(de)(de)(de)不可分量思(si)想和(he)方(fang)法基礎上產生和(he)發展起來的(de)(de)(de)(de)。而這(zhe)些思(si)想和(he)方(fang)法從(cong)劉徽對圓(yuan)錐、圓(yuan)臺、圓(yuan)柱的(de)(de)(de)(de)體積(ji)公式的(de)(de)(de)(de)證明到(dao)公元(yuan)5世紀祖恒(heng)求(qiu)球體積(ji)的(de)(de)(de)(de)方(fang)法中都(dou)可找到(dao)。北宋大科學家沈括的(de)(de)(de)(de)《夢溪筆談》獨創(chuang)了(le)“隙積(ji)術(shu)(shu)(shu)”、“會圓(yuan)術(shu)(shu)(shu)”和(he)“棋局都(dou)數(shu)術(shu)(shu)(shu)”開創(chuang)了(le)對高階等差級數(shu)求(qiu)和(he)的(de)(de)(de)(de)研究。

特(te)別(bie)是(shi)(shi)13世(shi)(shi)(shi)紀(ji)(ji)40年代到(dao)14世(shi)(shi)(shi)紀(ji)(ji)初，在(zai)主(zhu)要(yao)領(ling)域都(dou)(dou)達到(dao)了中(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)(guo)古代數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)高峰，出(chu)(chu)現了現通稱賈憲三角(jiao)形的(de)(de)(de)(de)“開方(fang)(fang)作法(fa)(fa)本源圖”和(he)增乘(cheng)開方(fang)(fang)法(fa)(fa)、“正負開方(fang)(fang)術(shu)(shu)(shu)”、“大衍求一術(shu)(shu)(shu)”、“大衍總數(shu)(shu)(shu)(shu)術(shu)(shu)(shu)”（一次(ci)(ci)同(tong)余式組(zu)解(jie)(jie)法(fa)(fa)）、“垛積術(shu)(shu)(shu)”（高階等差級(ji)數(shu)(shu)(shu)(shu)求和(he)）、“招差術(shu)(shu)(shu)”（高次(ci)(ci)差內(nei)(nei)差法(fa)(fa)）、“天元(yuan)術(shu)(shu)(shu)”（數(shu)(shu)(shu)(shu)字高次(ci)(ci)方(fang)(fang)程一般解(jie)(jie)法(fa)(fa)）、“四(si)元(yuan)術(shu)(shu)(shu)”（四(si)元(yuan)高次(ci)(ci)方(fang)(fang)程組(zu)解(jie)(jie)法(fa)(fa)）、勾股數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)、弧(hu)矢割(ge)圓(yuan)術(shu)(shu)(shu)、組(zu)合數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)、計算(suan)技術(shu)(shu)(shu)改(gai)革(ge)和(he)珠算(suan)等都(dou)(dou)是(shi)(shi)在(zai)世(shi)(shi)(shi)界數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)史上(shang)有重要(yao)地位的(de)(de)(de)(de)杰出(chu)(chu)成(cheng)(cheng)果，中(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)(guo)古代數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)有了微積分(fen)(fen)前兩階段的(de)(de)(de)(de)出(chu)(chu)色工作，其中(zhong)(zhong)(zhong)許多都(dou)(dou)是(shi)(shi)微積分(fen)(fen)得以創立的(de)(de)(de)(de)關(guan)鍵。中(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)(guo)已具(ju)備(bei)了17世(shi)(shi)(shi)紀(ji)(ji)發明(ming)微積分(fen)(fen)前夕的(de)(de)(de)(de)全部內(nei)(nei)在(zai)條件(jian)，已經接近了微積分(fen)(fen)的(de)(de)(de)(de)大門(men)。可惜(xi)中(zhong)(zhong)(zhong)國(guo)(guo)元(yuan)朝以后，八股取士(shi)制(zhi)造成(cheng)(cheng)了學(xue)(xue)術(shu)(shu)(shu)上(shang)的(de)(de)(de)(de)大倒退(tui)，封建統治的(de)(de)(de)(de)文化專(zhuan)制(zhi)和(he)盲目(mu)排外致使包括數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)在(zai)內(nei)(nei)的(de)(de)(de)(de)科學(xue)(xue)日(ri)漸衰(shuai)落，在(zai)微積分(fen)(fen)創立的(de)(de)(de)(de)最關(guan)鍵一步落伍了。

十七世紀

到了十七世紀，有(you)許多科學問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)需要解(jie)決(jue)，這些問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)也就成了促使微積(ji)分產生(sheng)的(de)因素(su)。歸(gui)結(jie)起來，大(da)約有(you)四種主(zhu)要類(lei)型的(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)：第(di)一(yi)類(lei)是(shi)研究運動的(de)時候直(zhi)接出現的(de)，也就是(shi)求即時速度(du)的(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)。第(di)二類(lei)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)是(shi)求曲(qu)線(xian)的(de)切線(xian)的(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)。第(di)三類(lei)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)是(shi)求函數的(de)最大(da)值和最小值問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)。第(di)四類(lei)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)是(shi)求曲(qu)線(xian)長、曲(qu)線(xian)圍成的(de)面積(ji)、曲(qu)面圍成的(de)體(ti)(ti)(ti)積(ji)、物體(ti)(ti)(ti)的(de)重心、一(yi)個(ge)體(ti)(ti)(ti)積(ji)相當(dang)大(da)的(de)物體(ti)(ti)(ti)作用于(yu)另一(yi)物體(ti)(ti)(ti)上的(de)引力。

數(shu)學(xue)首先從對運動（如天文、航海問題(ti)(ti)等）的(de)(de)研究(jiu)中引出了一個(ge)基本(ben)概(gai)念(nian)，在那以后的(de)(de)二百年里(li)，這個(ge)概(gai)念(nian)在幾乎所有的(de)(de)工(gong)作中占中心位置，這就是函數(shu)——或變量間(jian)關(guan)系——的(de)(de)概(gai)念(nian)。緊接(jie)著函數(shu)概(gai)念(nian)的(de)(de)采用，產生了微積分(fen)，它是繼Euclid幾何之后，全(quan)部數(shu)學(xue)中的(de)(de)一個(ge)最大(da)(da)的(de)(de)創造。圍繞(rao)著解決上述四個(ge)核心的(de)(de)科(ke)學(xue)問題(ti)(ti)，微積分(fen)問題(ti)(ti)至少被十七世紀(ji)十幾個(ge)最大(da)(da)的(de)(de)數(shu)學(xue)家和幾十個(ge)小一些(xie)的(de)(de)數(shu)學(xue)家探索過(guo)。位于他們全(quan)部貢獻(xian)頂峰的(de)(de)是牛頓和萊布尼茨的(de)(de)成就。在此，我們主要來介(jie)紹這兩位大(da)(da)師(shi)的(de)(de)工(gong)作。

實際上，在牛頓和萊布(bu)尼茨作出他們(men)的(de)(de)沖刺之前(qian)，微積分(fen)(fen)的(de)(de)大量知識(shi)已經積累起(qi)來(lai)了(le)。十七(qi)世紀的(de)(de)許(xu)多著名的(de)(de)數學家(jia)、天文學家(jia)、物(wu)理學家(jia)都為解決上述幾類問題(ti)作了(le)大量的(de)(de)研(yan)究工作，如法國(guo)的(de)(de)費(fei)馬、笛(di)卡爾(er)、羅伯瓦、笛(di)沙(sha)格；英國(guo)的(de)(de)巴羅、沃利(li)斯；德國(guo)的(de)(de)開普勒(le)；意大利(li)的(de)(de)卡瓦列里等(deng)人都提出許(xu)多很有建樹的(de)(de)理論。為微積分(fen)(fen)的(de)(de)創立做(zuo)出了(le)貢獻。

例如費(fei)馬、巴(ba)羅、笛卡爾(er)都(dou)對求(qiu)曲(qu)線的(de)(de)切線以及曲(qu)線圍成(cheng)的(de)(de)面(mian)積問題(ti)有(you)過深入的(de)(de)研究，并且得到了(le)一些結果(guo)，但(dan)是他(ta)們(men)都(dou)沒有(you)意識到它(ta)的(de)(de)重要性。在十七世紀(ji)的(de)(de)前三分(fen)之二(er)，微(wei)積分(fen)的(de)(de)工作(zuo)(zuo)沉沒在細節里，作(zuo)(zuo)用(yong)不大的(de)(de)細微(wei)末節的(de)(de)推理(li)使他(ta)們(men)筋(jin)疲力盡了(le)。只有(you)少數(shu)幾(ji)個(ge)(ge)大學(xue)家(jia)意識到了(le)這(zhe)個(ge)(ge)問題(ti)，如James Gregory說過：“數(shu)學(xue)的(de)(de)真正劃(hua)分(fen)不是分(fen)成(cheng)幾(ji)何和算術，而是分(fen)成(cheng)普遍(bian)的(de)(de)和特(te)殊(shu)的(de)(de)”。而這(zhe)普遍(bian)的(de)(de)東西是由兩(liang)個(ge)(ge)包羅萬象的(de)(de)思想家(jia)牛頓和萊布(bu)尼茨(ci)提(ti)供的(de)(de)。

十七世紀下(xia)半葉，在前人工(gong)作(zuo)(zuo)的(de)(de)(de)基(ji)礎上，英國大科學家(jia)(jia)牛頓(dun)和德國數學家(jia)(jia)萊布尼茨分(fen)(fen)(fen)別(bie)在自己的(de)(de)(de)國度里獨自研(yan)究(jiu)和完成(cheng)了微積分(fen)(fen)(fen)的(de)(de)(de)創(chuang)立工(gong)作(zuo)(zuo)，雖然這(zhe)只是十分(fen)(fen)(fen)初步的(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)(zuo)。他們的(de)(de)(de)最大功績是把兩個貌似毫不相關的(de)(de)(de)問(wen)題(ti)聯系在一(yi)起，一(yi)個是切(qie)線問(wen)題(ti)（微分(fen)(fen)(fen)學的(de)(de)(de)中(zhong)心問(wen)題(ti)），一(yi)個是求積問(wen)題(ti)（積分(fen)(fen)(fen)學的(de)(de)(de)中(zhong)心問(wen)題(ti)）。

牛(niu)(niu)頓和萊(lai)布尼(ni)茨建立(li)微(wei)(wei)積分(fen)的出發點是(shi)直觀的無(wu)(wu)窮(qiong)小量，因(yin)此這門學(xue)科(ke)早(zao)期也稱為無(wu)(wu)窮(qiong)小分(fen)析，這正是(shi)數學(xue)中分(fen)析學(xue)這一(yi)大分(fen)支名稱的來源(yuan)。牛(niu)(niu)頓研究微(wei)(wei)積分(fen)著重于(yu)從運動學(xue)來考慮，萊(lai)布尼(ni)茨卻是(shi)側重于(yu)幾何學(xue)來考慮的。

牛頓

牛頓(dun)在1671年寫(xie)了《流(liu)(liu)數法和無(wu)窮級數》，這(zhe)本(ben)書(shu)直到1736年才出版(ban)，它(ta)在這(zhe)本(ben)書(shu)里指出，變(bian)(bian)量(liang)是(shi)由點、線、面的(de)連(lian)續(xu)(xu)運動產(chan)生的(de)，否定了以前(qian)自己認為的(de)變(bian)(bian)量(liang)是(shi)無(wu)窮小(xiao)元素的(de)靜(jing)止集(ji)合(he)。他把(ba)連(lian)續(xu)(xu)變(bian)(bian)量(liang)叫做流(liu)(liu)動量(liang)，把(ba)這(zhe)些(xie)流(liu)(liu)動量(liang)的(de)導數叫做流(liu)(liu)數。牛頓(dun)在流(liu)(liu)數術中所提出的(de)中心問題是(shi)：已知連(lian)續(xu)(xu)運動的(de)路(lu)徑，求給定時刻的(de)速(su)度（微分(fen)(fen)法）；已知運動的(de)速(su)度求給定時間內經過的(de)路(lu)程(cheng)(積分(fen)(fen)法)。

萊布尼茨

德國的(de)(de)萊(lai)(lai)(lai)布尼(ni)茨是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)博才多學的(de)(de)學者(zhe)，1684年(nian)，他(ta)(ta)發(fa)(fa)表了(le)現在世界(jie)上(shang)認為是(shi)(shi)最早的(de)(de)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)文(wen)(wen)(wen)獻，這(zhe)篇(pian)文(wen)(wen)(wen)章有(you)一(yi)(yi)個(ge)很長(chang)而(er)且很古怪的(de)(de)名(ming)字《一(yi)(yi)種求極大極小和(he)(he)切線的(de)(de)新方(fang)法(fa)，它(ta)也適用(yong)于(yu)分(fen)(fen)式和(he)(he)無理量，以及(ji)這(zhe)種新方(fang)法(fa)的(de)(de)奇妙類型的(de)(de)計算》。就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)這(zhe)樣(yang)一(yi)(yi)片(pian)說理也頗含糊(hu)的(de)(de)文(wen)(wen)(wen)章，卻有(you)劃時代(dai)的(de)(de)意義。他(ta)(ta)以含有(you)現代(dai)的(de)(de)微(wei)(wei)分(fen)(fen)符(fu)號和(he)(he)基本微(wei)(wei)分(fen)(fen)法(fa)則(ze)。1686年(nian)，萊(lai)(lai)(lai)布尼(ni)茨發(fa)(fa)表了(le)第(di)一(yi)(yi)篇(pian)積(ji)分(fen)(fen)學的(de)(de)文(wen)(wen)(wen)獻。他(ta)(ta)是(shi)(shi)歷史上(shang)最偉大的(de)(de)符(fu)號學者(zhe)之(zhi)一(yi)(yi)，他(ta)(ta)所創設(she)的(de)(de)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)符(fu)號，遠(yuan)遠(yuan)優于(yu)牛頓的(de)(de)符(fu)號，這(zhe)對(dui)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)發(fa)(fa)展有(you)極大的(de)(de)影響。我們使用(yong)的(de)(de)微(wei)(wei)積(ji)分(fen)(fen)通用(yong)符(fu)號就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)當時萊(lai)(lai)(lai)布尼(ni)茨精心選用(yong)的(de)(de)。

從幼(you)年時(shi)代起，萊布尼茨就明顯展露出一(yi)顆(ke)燦(can)爛的(de)思想明星的(de)跡(ji)象(xiang)。他(ta)13歲(sui)時(shi)就像其他(ta)孩子(zi)讀小說一(yi)樣輕松地閱讀經院學(xue)者的(de)艱深的(de)論文了(le)。他(ta)提出無(wu)窮小的(de)微積(ji)分算法，并且他(ta)發表(biao)自己(ji)的(de)成果比(bi)艾薩克·牛頓(dun)爵士將它的(de)手(shou)稿付梓早三年，而后者宣稱自己(ji)第一(yi)個(ge)做(zuo)出了(le)這項(xiang)發現。

萊(lai)布尼茨是(shi)一個世故的(de)人，取悅(yue)于(yu)宮廷并得(de)到(dao)知名人士的(de)庇(bi)護(hu)。他與斯賓諾(nuo)莎(sha)(sha)有私交(jiao)，后者的(de)哲學給他以深刻的(de)印象，雖然他斷然與斯賓諾(nuo)莎(sha)(sha)的(de)觀(guan)念分(fen)道(dao)揚鑣了。

萊(lai)布尼茨與(yu)哲學(xue)(xue)家(jia)、神學(xue)(xue)家(jia)和文人們(men)進行著(zhu)廣泛的(de)(de)通信交往。在他的(de)(de)宏大計劃中(zhong)曾嘗試達(da)成新教(jiao)和天(tian)主教(jiao)之間的(de)(de)一個和解(jie)以(yi)及基督教(jiao)國家(jia)之間的(de)(de)聯合，這(zhe)種聯合在他那個時(shi)代意味著(zhu)歐洲(zhou)聯盟。他還做(zuo)過后來(lai)成為普(pu)魯士(shi)科學(xue)(xue)院的(de)(de)柏林科學(xue)(xue)協會(hui)的(de)(de)第(di)一會(hui)長。

他曾(ceng)服務于漢諾威宮廷(ting)，但當喬治一(yi)世(shi)成為(wei)英格蘭國王時，萊布尼(ni)茨沒有被(bei)邀請同去，也許是由于他與牛頓的爭(zheng)端。他的公眾影(ying)響(xiang)力下(xia)降了，而在(zai)1716年(nian)，他再無人注意，甚至(zhi)被(bei)他所創(chuang)立的學會忽視的情(qing)況(kuang)下(xia)去世(shi)，終年(nian)70歲。

創立期爭議

微積分學(xue)的創立，極大(da)地(di)推動了(le)數(shu)學(xue)的發展，過去很多初等數(shu)學(xue)束(shu)手無策的問題，運(yun)用微積分，往往迎刃而解，顯(xian)示出微積分學(xue)的非(fei)凡威(wei)力。

前(qian)面已經提到(dao)，一門科學的(de)創立決不是某(mou)一個人(ren)的(de)業績(ji)，他必定是經過多少人(ren)的(de)努力后(hou)(hou)，在積(ji)累了大(da)量(liang)成果(guo)的(de)基礎上，最后(hou)(hou)由某(mou)個人(ren)或幾個人(ren)總(zong)結完成的(de)。微積(ji)分(fen)也(ye)是這樣。

不幸的(de)(de)(de)(de)是，由于人們在(zai)(zai)欣賞微積分的(de)(de)(de)(de)宏偉功效之余，在(zai)(zai)提(ti)出誰是這(zhe)門(men)學(xue)科的(de)(de)(de)(de)創立者(zhe)的(de)(de)(de)(de)時(shi)候，竟然(ran)引起了一(yi)場悍然(ran)大波，造成(cheng)了歐洲大陸的(de)(de)(de)(de)數學(xue)家和英國數學(xue)家的(de)(de)(de)(de)長期對立。英國數學(xue)在(zai)(zai)一(yi)個(ge)時(shi)期里閉(bi)關鎖國，囿于民(min)族(zu)偏見，過于拘泥在(zai)(zai)牛(niu)頓的(de)(de)(de)(de)“流數術”中(zhong)停步(bu)不前(qian)，因(yin)而數學(xue)發(fa)展整整落后(hou)了一(yi)百(bai)年。

其實，牛頓和(he)萊(lai)布(bu)尼茨分(fen)(fen)別是(shi)(shi)自己(ji)獨(du)立研(yan)究(jiu)，在大體上相近的(de)時(shi)間里先后(hou)完(wan)成的(de)。比(bi)較特殊(shu)的(de)是(shi)(shi)牛頓創立微積(ji)分(fen)(fen)要比(bi)萊(lai)布(bu)尼茨早10年(nian)(nian)(nian)左右，但是(shi)(shi)正式公開發表微積(ji)分(fen)(fen)這一理論，萊(lai)布(bu)尼茨卻(que)要比(bi)牛頓發表早三年(nian)(nian)(nian)。他(ta)們的(de)研(yan)究(jiu)各有(you)長處(chu)，也(ye)都各有(you)短處(chu)。那時(shi)候，由于(yu)民族偏見(jian)，關于(yu)發明優先權的(de)爭(zheng)論竟從(cong)1699年(nian)(nian)(nian)始(shi)延續了一百多年(nian)(nian)(nian)。

應該指(zhi)出，這(zhe)是(shi)(shi)和(he)歷史上任何一(yi)項重大理論的(de)(de)完(wan)成都要經歷一(yi)段時間一(yi)樣，牛(niu)頓和(he)萊(lai)布尼(ni)茨的(de)(de)工(gong)作也(ye)都是(shi)(shi)很不(bu)完(wan)善的(de)(de)。他們在(zai)無窮(qiong)和(he)無窮(qiong)小量這(zhe)個問題上，其(qi)說不(bu)一(yi)，十分(fen)含糊。牛(niu)頓的(de)(de)無窮(qiong)小量，有(you)時候是(shi)(shi)零(ling)，有(you)時候不(bu)是(shi)(shi)零(ling)而(er)是(shi)(shi)有(you)限的(de)(de)小量；萊(lai)布尼(ni)茨的(de)(de)也(ye)不(bu)能(neng)自圓其(qi)說。這(zhe)些基礎方面的(de)(de)缺陷，最終(zhong)導致了第二(er)次數學危(wei)機的(de)(de)產(chan)生。

完善邏輯基礎

直到19世紀初(chu)，法國(guo)科學學院的(de)(de)科學家(jia)以柯(ke)西(xi)為(wei)首，對(dui)微積分(fen)的(de)(de)理論(lun)進(jin)行了認(ren)真研(yan)究，建立(li)了極限理論(lun)，後來(lai)(lai)又(you)經過德國(guo)數學家(jia)維爾斯特(te)拉斯進(jin)一(yi)步的(de)(de)嚴格化，使(shi)極限理論(lun)成為(wei)了微積分(fen)的(de)(de)堅定(ding)基礎。才使(shi)微積分(fen)進(jin)一(yi)步的(de)(de)發展開來(lai)(lai)。任何新(xin)興的(de)(de)、具(ju)有無(wu)量(liang)前途的(de)(de)科學成就都吸引著廣(guang)大的(de)(de)科學工作者。在微積分(fen)的(de)(de)歷史上(shang)也閃爍著這樣的(de)(de)一(yi)些明(ming)星：瑞士的(de)(de)雅科布·貝努(nu)利(li)(li)和(he)他(ta)的(de)(de)兄弟約(yue)翰·貝努(nu)利(li)(li)、歐拉、法國(guo)的(de)(de)拉格朗日、柯(ke)西(xi)……

歐氏(shi)幾何也好(hao)，上古和中世紀的(de)代(dai)(dai)數(shu)學(xue)也好(hao)，都是一種常量(liang)數(shu)學(xue)，微積(ji)(ji)分(fen)才是真(zhen)正的(de)變量(liang)數(shu)學(xue)，是數(shu)學(xue)中的(de)大革命。微積(ji)(ji)分(fen)是高等(deng)數(shu)學(xue)的(de)主要分(fen)支，不只是局(ju)限(xian)在解決力學(xue)中的(de)變速問題，它馳騁在近代(dai)(dai)和現代(dai)(dai)科學(xue)技術園地里，建立了數(shu)不清的(de)豐功偉(wei)績(ji)。

微積分介紹

微積分(fen)(fen)(fen)（Calculus）是高等數學(xue)中(zhong)研究函數的(de)(de)(de)微分(fen)(fen)(fen)（Differentiation）、積分(fen)(fen)(fen)(Integration)以(yi)及有關(guan)概(gai)念和(he)(he)應(ying)用(yong)的(de)(de)(de)數學(xue)分(fen)(fen)(fen)支(zhi)。它是數學(xue)的(de)(de)(de)一個基(ji)礎學(xue)科。內容(rong)主要包(bao)括極限、微分(fen)(fen)(fen)學(xue)、積分(fen)(fen)(fen)學(xue)及其應(ying)用(yong)。微分(fen)(fen)(fen)學(xue)包(bao)括求導數的(de)(de)(de)運算(suan)(suan)，是一套(tao)關(guan)于變化率(lv)的(de)(de)(de)理論。它使(shi)得函數、速(su)度、加(jia)速(su)度和(he)(he)曲線的(de)(de)(de)斜率(lv)等均可用(yong)一套(tao)通用(yong)的(de)(de)(de)符號進行討論。積分(fen)(fen)(fen)學(xue)，包(bao)括求積分(fen)(fen)(fen)的(de)(de)(de)運算(suan)(suan)，為定義和(he)(he)計(ji)算(suan)(suan)面(mian)積、體積等提供一套(tao)通用(yong)的(de)(de)(de)方法(fa)。

微(wei)積分(fen)是與(yu)應(ying)(ying)用聯(lian)系著發展(zhan)起來(lai)的(de)(de)(de)，最初牛頓應(ying)(ying)用微(wei)積分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)及微(wei)分(fen)方程為了(le)從萬(wan)有(you)(you)引(yin)力定律(lv)導出了(le)開普勒行星運動(dong)(dong)三定律(lv)。此(ci)后(hou)，微(wei)積分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)極(ji)大(da)的(de)(de)(de)推(tui)動(dong)(dong)了(le)數學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)發展(zhan)，同時也(ye)極(ji)大(da)的(de)(de)(de)推(tui)動(dong)(dong)了(le)天文學(xue)(xue)(xue)(xue)、力學(xue)(xue)(xue)(xue)、物理學(xue)(xue)(xue)(xue)、化學(xue)(xue)(xue)(xue)、生物學(xue)(xue)(xue)(xue)、工程學(xue)(xue)(xue)(xue)、經(jing)濟學(xue)(xue)(xue)(xue)等自然科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)、社會科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)及應(ying)(ying)用科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)各(ge)個分(fen)支中(zhong)的(de)(de)(de)發展(zhan)。并在(zai)這些學(xue)(xue)(xue)(xue)科(ke)中(zhong)有(you)(you)越來(lai)越廣泛的(de)(de)(de)應(ying)(ying)用，特別(bie)是計算機的(de)(de)(de)出現更(geng)有(you)(you)助于這些應(ying)(ying)用的(de)(de)(de)不斷(duan)發展(zhan)。微(wei)積分(fen)作為一門交叉性(xing)很強(qiang)的(de)(de)(de)科(ke)目，除了(le)在(zai)物理等自然科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)上有(you)(you)強(qiang)實用性(xing)外，在(zai)經(jing)濟學(xue)(xue)(xue)(xue)上也(ye)有(you)(you)很強(qiang)的(de)(de)(de)推(tui)動(dong)(dong)作用。

微積分學應用

微積分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的發展與應(ying)用(yong)幾乎(hu)影響了現代生(sheng)活的所(suo)(suo)有領(ling)域。它與大(da)部分(fen)(fen)科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)分(fen)(fen)支關系(xi)密切，包括醫藥、護(hu)理(li)(li)、工(gong)(gong)業工(gong)(gong)程(cheng)、商(shang)業管理(li)(li)、精算、計算機、統計、人口統計，特別是(shi)物理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)；經濟學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)亦經常(chang)(chang)會用(yong)到微積分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)。幾乎(hu)所(suo)(suo)有現代科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)技術(shu)，如：機械、土木、建筑、航(hang)空及航(hang)海等工(gong)(gong)業工(gong)(gong)程(cheng)都以微積分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)作為基(ji)本數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)工(gong)(gong)具。微積分(fen)(fen)使(shi)得數學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)可(ke)以在變量(liang)和常(chang)(chang)量(liang)之(zhi)間互相轉化(hua)，讓我們可(ke)以已知一種方式時推(tui)導出(chu)來另一種方式。

物(wu)理學(xue)大量(liang)應用(yong)微(wei)(wei)積分；經典(dian)力(li)學(xue)、熱傳和(he)電(dian)磁學(xue)都(dou)與微(wei)(wei)積分有(you)密(mi)切聯系。已知密(mi)度(du)的(de)(de)物(wu)體(ti)質量(liang)，動(dong)摩擦力(li)，保守(shou)力(li)場的(de)(de)總(zong)能量(liang)都(dou)可用(yong)微(wei)(wei)積分來計算。例如：將微(wei)(wei)積分應用(yong)到(dao)牛頓(dun)第二定律(lv)中，史料一般將導數稱為(wei)“變化率”。物(wu)體(ti)動(dong)量(liang)的(de)(de)變化率等于向(xiang)(xiang)物(wu)體(ti)以(yi)同一方向(xiang)(xiang)所施(shi)的(de)(de)力(li)。今(jin) 天常(chang)用(yong)的(de)(de)表達方式是 extbf{emph{F}}=m extbf{emph{a}}，它包括了微(wei)(wei)分，因為(wei)加速(su)(su)度(du)是速(su)(su)度(du)的(de)(de)導數，或是位置(zhi)矢量(liang)的(de)(de)二階導數。已知物(wu)體(ti)的(de)(de)加速(su)(su)度(du)，我們就可以(yi)得出(chu)它的(de)(de)路徑。

生物學用微積分來(lai)計算種群(qun)動態(tai)，輸入(ru)繁殖和死亡率來(lai)模擬種群(qun)改變(bian)。

化學使(shi)用微(wei)積分來(lai)計算反應速率，放射性衰(shuai)退。

麥克斯韋爾的電磁學和愛因斯坦的廣(guang)義相對論(lun)都應用(yong)了微(wei)分。

微積分(fen)可以(yi)與其他數學(xue)分(fen)支交叉混(hun)合。例(li)如，混(hun)合線(xian)性代數來求得(de)值域中(zhong)一組數列(lie)的“最(zui)(zui)佳”線(xian)性近似。它也(ye)可以(yi)用在概率論中(zhong)來確定由假設密度方程產生的連續隨(sui)機變量的概率。在解析幾何對方程圖像(xiang)的研究中(zhong)，微積分(fen)可以(yi)求得(de)最(zui)(zui)大值、最(zui)(zui)小值、斜率、凹度、拐點(dian)等。

格林公式連接了一個封閉曲線上的線積分(fen)與一個邊界為(wei)C且平面(mian)區域(yu)為(wei)D的雙重積分(fen)。它被設計(ji)(ji)為(wei)求積儀工(gong)具，用以量度不規(gui)則(ze)(ze)的平面(mian)面(mian)積。例如(ru)：它可以在設計(ji)(ji)時計(ji)(ji)算不規(gui)則(ze)(ze)的花瓣床(chuang)、游泳池的面(mian)積。

在醫療領域，微積分可(ke)以計算血管最優支(zhi)角，將血流(liu)最大化(hua)。通過藥物在體內(nei)的衰退數據，微積分可(ke)以推導(dao)出服用量。在核醫學中，它(ta)可(ke)以為治療腫瘤建立放射輸送模型。

在(zai)經(jing)濟學中，微積分可(ke)以通過(guo)計算邊際成本和邊際利(li)潤來確定最大收益。

微積分也被用于(yu)尋(xun)找方(fang)程(cheng)的(de)近(jin)似(si)值；實踐(jian)中，它(ta)用于(yu)解(jie)微分方(fang)程(cheng)，計算(suan)相關的(de)應用題，如：牛頓法、定點循環、線(xian)性近(jin)似(si)等。比如：宇宙飛船利(li)用歐拉方(fang)法來求得(de)零重力(li)環境(jing)下的(de)近(jin)似(si)曲(qu)線(xian)。

微積分學課程

在大(da)學(xue)的數(shu)理、工程(cheng)、商管教學(xue)中，微積分(fen)(fen)是(shi)“高(gao)等數(shu)學(xue)”的主要內(nei)容(rong)之(zhi)一(yi)。其教學(xue)法由學(xue)科創(chuang)立(li)一(yi)開始就受到人們重視。在美國(guo)大(da)學(xue)先修課程(cheng)中，AP微積分(fen)(fen)AB、BC分(fen)(fen)別為對應(ying)大(da)學(xue)一(yi)元微積分(fen)(fen)半年、全年課程(cheng)。

在香港(gang)，微積分是新高中課(ke)程(cheng)數學（延展(zhan)部分）的(de)(de)一部分，這部分是選修的(de)(de)。