數學中(zhong)的(de)轉折(zhe)點是(shi)笛卡爾的(de)變(bian)數，有(you)(you)了(le)變(bian)數，運動進入了(le)數學，有(you)(you)了(le)變(bian)數，辯證法(fa)進入了(le)數學，有(you)(you)了(le)變(bian)數，微分(fen)學和積分(fen)學也就立(li)刻(ke)成為(wei)必要(yao)的(de)了(le)，而它們也就立(li)刻(ke)產生，并且是(shi)由牛頓和萊(lai)布尼茲大(da)體上完成的(de)，但不是(shi)由他們發明的(de)。——恩(en)格斯(si)
從15世紀(ji)初歐洲文藝復興時(shi)期起(qi)，工(gong)業、農業、航海事業與商(shang)賈貿易的(de)(de)(de)(de)大規模發(fa)展，形成了一(yi)個新(xin)(xin)的(de)(de)(de)(de)經濟時(shi)代，宗教改革與對教會思想禁錮的(de)(de)(de)(de)懷疑，東方先進的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)技(ji)術通(tong)過阿(a)拉伯的(de)(de)(de)(de)傳(chuan)入，以(yi)及(ji)拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的(de)(de)(de)(de)流入歐洲，在當時(shi)的(de)(de)(de)(de)知識階層面(mian)前呈現出(chu)一(yi)個完全嶄新(xin)(xin)的(de)(de)(de)(de)面(mian)貌。而十六(liu)世紀(ji)的(de)(de)(de)(de)歐洲，正處在資本主義萌(meng)芽時(shi)期，生產(chan)力得到了很大的(de)(de)(de)(de)發(fa)展，生產(chan)實踐的(de)(de)(de)(de)發(fa)展向自然科(ke)學(xue)提出(chu)了新(xin)(xin)的(de)(de)(de)(de)課題，迫切要求(qiu)力學(xue)、天文學(xue)等基礎學(xue)科(ke)的(de)(de)(de)(de)發(fa)展，而這些學(xue)科(ke)都是深刻(ke)依賴于數學(xue)的(de)(de)(de)(de)，因而也(ye)推動的(de)(de)(de)(de)數學(xue)的(de)(de)(de)(de)發(fa)展。科(ke)學(xue)對數學(xue)提出(chu)的(de)(de)(de)(de)種(zhong)種(zhong)要求(qiu)，最后匯(hui)總成多個核心問題：
（1）運動中速度與距離(li)的互求問題
即(ji)，已知物(wu)(wu)體(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)(ju)離(li)(li)表為時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式，求(qiu)物(wu)(wu)體(ti)(ti)在(zai)(zai)任意(yi)(yi)時(shi)(shi)刻(ke)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)度(du)(du)(du)和加(jia)速(su)度(du)(du)(du)；反(fan)過來，已知物(wu)(wu)體(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)加(jia)速(su)度(du)(du)(du)表為時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式，求(qiu)速(su)度(du)(du)(du)和距(ju)(ju)(ju)離(li)(li)。這類問(wen)題是(shi)(shi)研究運(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)時(shi)(shi)直接(jie)出現(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，困(kun)難在(zai)(zai)于，所(suo)(suo)研究的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)度(du)(du)(du)和加(jia)速(su)度(du)(du)(du)是(shi)(shi)每(mei)時(shi)(shi)每(mei)刻(ke)都(dou)(dou)在(zai)(zai)變(bian)化(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。比(bi)如，計算(suan)物(wu)(wu)體(ti)(ti)在(zai)(zai)某時(shi)(shi)刻(ke)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)瞬時(shi)(shi)速(su)度(du)(du)(du)，就不能象計算(suan)平(ping)均速(su)度(du)(du)(du)那樣，用運(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)去除移(yi)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)(ju)離(li)(li)，因(yin)為在(zai)(zai)給定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)瞬間(jian)，物(wu)(wu)體(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)(ju)離(li)(li)和所(suo)(suo)用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)是(shi)(shi)，而是(shi)(shi)無意(yi)(yi)義(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。但是(shi)(shi)，根據(ju)物(wu)(wu)理，每(mei)個(ge)運(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)體(ti)(ti)在(zai)(zai)它運(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)每(mei)一時(shi)(shi)刻(ke)必(bi)有(you)速(su)度(du)(du)(du)，這也(ye)是(shi)(shi)無疑的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。已知速(su)度(du)(du)(du)公式求(qiu)移(yi)動(dong)(dong)(dong)(dong)距(ju)(ju)(ju)離(li)(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)題，也(ye)遇(yu)到(dao)同樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)困(kun)難。因(yin)為速(su)度(du)(du)(du)每(mei)時(shi)(shi)每(mei)刻(ke)都(dou)(dou)在(zai)(zai)變(bian)化(hua)，所(suo)(suo)以不能用運(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)乘任意(yi)(yi)時(shi)(shi)刻(ke)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)度(du)(du)(du)，來得到(dao)物(wu)(wu)體(ti)(ti)移(yi)動(dong)(dong)(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)(ju)(ju)離(li)(li)。
（2）求曲線的切線問題
這個問題本身是(shi)純(chun)幾何(he)的(de)(de)(de)(de)，而(er)且(qie)對于(yu)科(ke)學應(ying)用有(you)巨大的(de)(de)(de)(de)重(zhong)要性。由于(yu)研究天(tian)文的(de)(de)(de)(de)需(xu)要，光(guang)學是(shi)十七(qi)世(shi)紀(ji)的(de)(de)(de)(de)一門較重(zhong)要的(de)(de)(de)(de)科(ke)學研究，透(tou)鏡(jing)的(de)(de)(de)(de)設(she)計者要研究光(guang)線(xian)(xian)(xian)通(tong)過(guo)透(tou)鏡(jing)的(de)(de)(de)(de)通(tong)道(dao)，必須知(zhi)道(dao)光(guang)線(xian)(xian)(xian)入射透(tou)鏡(jing)的(de)(de)(de)(de)角度以(yi)便應(ying)用反射定(ding)律，這里重(zhong)要的(de)(de)(de)(de)是(shi)光(guang)線(xian)(xian)(xian)與(yu)曲線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)法線(xian)(xian)(xian)間的(de)(de)(de)(de)夾角，而(er)法線(xian)(xian)(xian)是(shi)垂直(zhi)于(yu)切線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)，所以(yi)總是(shi)就在于(yu)求出法線(xian)(xian)(xian)或切線(xian)(xian)(xian)；另一個涉及(ji)到曲線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)切線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)科(ke)學問題出現于(yu)運(yun)動的(de)(de)(de)(de)研究中，求運(yun)動物體(ti)在它的(de)(de)(de)(de)軌(gui)跡上任(ren)一點(dian)上的(de)(de)(de)(de)運(yun)動方(fang)向，即(ji)軌(gui)跡的(de)(de)(de)(de)切線(xian)(xian)(xian)方(fang)向。
（3）求(qiu)長度(du)、面積(ji)、體(ti)積(ji)、與重心(xin)問題等
這(zhe)些問題(ti)(ti)包括，求(qiu)(qiu)曲(qu)(qu)線的(de)長度（如(ru)(ru)行星(xing)在已知時(shi)(shi)期(qi)移動的(de)距離），曲(qu)(qu)線圍(wei)成的(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)，曲(qu)(qu)面(mian)(mian)(mian)圍(wei)成的(de)體(ti)(ti)積(ji)(ji)，物(wu)(wu)(wu)體(ti)(ti)的(de)重心，一(yi)個相當(dang)大的(de)物(wu)(wu)(wu)體(ti)(ti)（如(ru)(ru)行星(xing)）作(zuo)用于(yu)另一(yi)物(wu)(wu)(wu)體(ti)(ti)上(shang)的(de)引力。實際(ji)上(shang)，關于(yu)計算橢圓的(de)長度的(de)問題(ti)(ti)，就難住數(shu)學家(jia)們(men)，以致有一(yi)段時(shi)(shi)期(qi)數(shu)學家(jia)們(men)對這(zhe)個問題(ti)(ti)的(de)進一(yi)步工(gong)作(zuo)失(shi)敗(bai)了(le)(le)(le)，直到(dao)下一(yi)世紀才得(de)(de)到(dao)新的(de)結(jie)果(guo)。又如(ru)(ru)求(qiu)(qiu)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)問題(ti)(ti)，早在古希臘時(shi)(shi)期(qi)人們(men)就用窮竭法求(qiu)(qiu)出(chu)了(le)(le)(le)一(yi)些面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)和體(ti)(ti)積(ji)(ji)，如(ru)(ru)求(qiu)(qiu)拋(pao)物(wu)(wu)(wu)線在區間上(shang)與軸和直線所(suo)(suo)圍(wei)成的(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)，他們(men)就采用了(le)(le)(le)窮竭法。當(dang)越來(lai)越小時(shi)(shi)，右端的(de)結(jie)果(guo)就越來(lai)越接(jie)近(jin)所(suo)(suo)求(qiu)(qiu)的(de)面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)的(de)精(jing)確值。但是，應用窮竭法，必須添上(shang)許多(duo)技(ji)藝，并且(qie)缺乏一(yi)般(ban)性，常常得(de)(de)不到(dao)數(shu)字(zi)解。當(dang)阿(a)基米德的(de)工(gong)作(zuo)在歐洲聞名(ming)時(shi)(shi)，求(qiu)(qiu)長度、面(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)、體(ti)(ti)積(ji)(ji)和重心的(de)興趣復活了(le)(le)(le)。窮竭法先是逐(zhu)漸地被修(xiu)改，后(hou)來(lai)由于(yu)微積(ji)(ji)分的(de)創立(li)而根本地修(xiu)改了(le)(le)(le)。
（4）求(qiu)最大值和(he)最小值問題
炮(pao)彈在炮(pao)筒(tong)里射出(chu)，它運(yun)行(xing)的(de)(de)水平距離(li)，即(ji)射程(cheng)，依賴于炮(pao)筒(tong)對地面(mian)的(de)(de)傾(qing)斜角，即(ji)發(fa)(fa)(fa)射角。一個(ge)“實際”的(de)(de)問題是求能獲(huo)得最大(da)射程(cheng)的(de)(de)發(fa)(fa)(fa)射角。十七世紀初期，Galileo斷定（在真空中）最大(da)射程(cheng)在發(fa)(fa)(fa)射角是時達到(dao)；他還得出(chu)炮(pao)彈從各(ge)個(ge)不(bu)同(tong)角度(du)發(fa)(fa)(fa)射后所達到(dao)的(de)(de)不(bu)同(tong)的(de)(de)最大(da)高度(du)。研究(jiu)行(xing)星(xing)的(de)(de)運(yun)動也涉(she)及到(dao)最大(da)值(zhi)和(he)最小值(zhi)的(de)(de)問題，如求行(xing)星(xing)離(li)開太陽的(de)(de)距離(li)。
早在公元前(qian)7世紀(ji)，古(gu)希臘科學(xue)(xue)(xue)(xue)家、哲(zhe)學(xue)(xue)(xue)(xue)家泰勒斯就(jiu)對球(qiu)(qiu)的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)、與長度等問(wen)(wen)(wen)題的(de)(de)研(yan)究就(jiu)含有微積(ji)(ji)(ji)分思(si)想(xiang)。古(gu)希臘數學(xue)(xue)(xue)(xue)家、力學(xue)(xue)(xue)(xue)家阿基米德（公元前(qian)287~前(qian)212）的(de)(de)著作《圓的(de)(de)測(ce)量》和(he)《論球(qiu)(qiu)與圓柱》中(zhong)(zhong)就(jiu)已(yi)含有積(ji)(ji)(ji)分學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)萌(meng)芽(ya)，他(ta)在研(yan)究解決拋物線下的(de)(de)弓形面(mian)積(ji)(ji)(ji)、球(qiu)(qiu)和(he)球(qiu)(qiu)冠面(mian)積(ji)(ji)(ji)、螺線下的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)和(he)旋轉雙曲線所得的(de)(de)體(ti)積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)問(wen)(wen)(wen)題中(zhong)(zhong)就(jiu)隱含著近代積(ji)(ji)(ji)分的(de)(de)思(si)想(xiang)。中(zhong)(zhong)國古(gu)代數學(xue)(xue)(xue)(xue)家也產生過積(ji)(ji)(ji)分學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)萌(meng)芽(ya)思(si)想(xiang)，例如(ru)三國時期(qi)的(de)(de)劉(liu)徽，他(ta)對積(ji)(ji)(ji)分學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)思(si)想(xiang)主要有兩點：割圓術(shu)及求體(ti)積(ji)(ji)(ji)問(wen)(wen)(wen)題的(de)(de)設想(xiang)。
在3世紀，中國(guo)數(shu)學家劉(liu)(liu)徽創立(li)的(de)(de)割(ge)圓(yuan)術用(yong)圓(yuan)內接正(zheng)九十六(liu)邊(bian)形的(de)(de)面積近(jin)(jin)似代替(ti)圓(yuan)面積，求出圓(yuan)周率(lv)的(de)(de)近(jin)(jin)似值，并(bing)指出：“割(ge)之彌(mi)細，所(suo)失彌(mi)少，割(ge)之又割(ge)，以至不可割(ge)，則與圓(yuan)合體(ti)而無(wu)(wu)所(suo)失矣”。劉(liu)(liu)徽對面積的(de)(de)深刻認識和(he)他的(de)(de)割(ge)圓(yuan)術方法，正(zheng)是(shi)極(ji)(ji)限思想的(de)(de)具(ju)體(ti)體(ti)現。數(shu)列極(ji)(ji)限是(shi)函數(shu)極(ji)(ji)限的(de)(de)基礎(chu)，一個數(shu)列如果當無(wu)(wu)限增大時(shi)，與某一實數(shu)無(wu)(wu)限接近(jin)(jin)，就稱之為(wei)收斂數(shu)列，為(wei)數(shu)列的(de)(de)極(ji)(ji)限。
客觀(guan)世界(jie)的一切事物，小(xiao)至粒子，大至宇宙(zhou)，始終都在運動和變化(hua)著。因此(ci)在數(shu)學(xue)中引入了變量的概念后，就有可(ke)能(neng)把(ba)運動現象用數(shu)學(xue)來加(jia)以描述了。
由(you)于函數概(gai)念的(de)(de)產生(sheng)和(he)運用的(de)(de)加深，也由(you)于科學(xue)技術發展的(de)(de)需(xu)要，一(yi)門新的(de)(de)數學(xue)分支就繼解(jie)析(xi)幾何(he)之(zhi)后(hou)產生(sheng)了，這(zhe)就是(shi)微積分學(xue)。微積分學(xue)這(zhe)門學(xue)科在(zai)數學(xue)發展中的(de)(de)地位是(shi)十(shi)分重要的(de)(de)，可以說它是(shi)繼歐氏幾何(he)后(hou)，全部數學(xue)中的(de)(de)最(zui)大的(de)(de)一(yi)個創造。
微積(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)產生一般分(fen)(fen)為三個(ge)階(jie)段：極限概念；求積(ji)的(de)(de)無限小方(fang)法；積(ji)分(fen)(fen)與(yu)微分(fen)(fen)的(de)(de)互逆關系。最(zui)后一步(bu)是由牛頓、萊布尼茲(zi)完成的(de)(de)。前兩階(jie)段的(de)(de)工(gong)作(zuo)，歐洲的(de)(de)大批數學家一直追溯到(dao)古希(xi)臘的(de)(de)阿基米德都作(zuo)出(chu)了各自(zi)的(de)(de)貢獻。對于這(zhe)方(fang)面的(de)(de)工(gong)作(zuo)，古代(dai)中國(guo)毫不遜(xun)色于西(xi)方(fang)，微積(ji)分(fen)(fen)思想在古代(dai)中國(guo)也有萌(meng)芽，甚至不次于古希(xi)臘。
早在公(gong)元前(qian)7世(shi)紀，古(gu)希(xi)臘科學(xue)(xue)(xue)家(jia)、哲學(xue)(xue)(xue)家(jia)泰勒斯就(jiu)對球的(de)(de)面積(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)、與長度等問題的(de)(de)研究就(jiu)含(han)有微積(ji)(ji)(ji)分(fen)思(si)想(xiang)。古(gu)希(xi)臘數學(xue)(xue)(xue)家(jia)、力學(xue)(xue)(xue)家(jia)阿(a)基米(mi)德（公(gong)元前(qian)287~前(qian)212）的(de)(de)著作《圓(yuan)的(de)(de)測量》和(he)《論球與圓(yuan)柱》中就(jiu)已含(han)有積(ji)(ji)(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)萌芽，他(ta)在研究解決拋物線(xian)下的(de)(de)弓形面積(ji)(ji)(ji)、球和(he)球冠面積(ji)(ji)(ji)、螺線(xian)下的(de)(de)面積(ji)(ji)(ji)和(he)旋轉雙曲線(xian)所得(de)的(de)(de)體積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)問題中就(jiu)隱含(han)著近代積(ji)(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)思(si)想(xiang)。
早在公元(yuan)前7世紀(ji)(ji)，古希臘科學(xue)家(jia)、哲學(xue)家(jia)泰(tai)勒(le)斯就對球的(de)面積(ji)、體(ti)積(ji)、與長度等問題(ti)的(de)研究就含有(you)(you)微積(ji)分(fen)思想(xiang)(xiang)。公元(yuan)前4世紀(ji)(ji)《墨經》中有(you)(you)了(le)有(you)(you)窮(qiong)(qiong)、無(wu)窮(qiong)(qiong)、無(wu)限小（最小無(wu)內）、無(wu)窮(qiong)(qiong)大（最大無(wu)外）的(de)定義和極限、瞬(shun)時等概念。劉徽公元(yuan)263年首創的(de)割圓(yuan)術求圓(yuan)面積(ji)和方(fang)(fang)錐(zhui)體(ti)積(ji)，求得(de)圓(yuan)周率約等于3.1416，他(ta)的(de)極限思想(xiang)(xiang)和無(wu)窮(qiong)(qiong)小方(fang)(fang)法，是(shi)世界古代極限思想(xiang)(xiang)的(de)深刻體(ti)現(xian)。
公元前三世紀，古(gu)希臘的(de)阿基(ji)米德在研究(jiu)解決拋物弓(gong)形的(de)面積、球(qiu)和(he)球(qiu)冠面積、螺線下面積和(he)旋(xuan)轉雙曲體的(de)體積的(de)問題中，就隱含(han)著近代積分學的(de)思想。作(zuo)為微分學基(ji)礎(chu)的(de)極限(xian)(xian)理論來說(shuo)，在古(gu)代以有比較(jiao)清楚(chu)的(de)論述。比如我國(guo)的(de)莊周所(suo)著的(de)《莊子》一(yi)(yi)書的(de)“天下篇”中，記有“一(yi)(yi)尺之(zhi)棰，日取其(qi)半，萬世不(bu)竭”。三國(guo)時期(qi)的(de)劉徽在他(ta)的(de)割(ge)圓(yuan)術中提到“割(ge)之(zhi)彌細，所(suo)失(shi)彌小(xiao)，割(ge)之(zhi)又割(ge)，以至于不(bu)可割(ge)，則(ze)與圓(yuan)周和(he)體而無(wu)所(suo)失(shi)矣。”這(zhe)些都是(shi)樸素的(de)、也是(shi)很典型的(de)極限(xian)(xian)概念。
微積分思(si)(si)想(xiang)雖(sui)然(ran)可(ke)追溯(su)到(dao)古希臘，但它的概念和(he)法則卻是16世紀下(xia)半(ban)葉，開普勒(le)、卡瓦列利等求積的不可(ke)分量思(si)(si)想(xiang)和(he)方法基礎上產生和(he)發展起來的。而這些思(si)(si)想(xiang)和(he)方法從(cong)劉徽對圓(yuan)錐、圓(yuan)臺、圓(yuan)柱的體積公(gong)式的證(zheng)明(ming)到(dao)公(gong)元5世紀祖恒求球體積的方法中(zhong)都可(ke)找到(dao)。北宋大科(ke)學(xue)家沈(shen)括(kuo)的《夢溪筆談(tan)》獨創(chuang)了“隙積術(shu)”、“會圓(yuan)術(shu)”和(he)“棋(qi)局都數(shu)術(shu)”開創(chuang)了對高階等差(cha)級數(shu)求和(he)的研究(jiu)。
特(te)別是13世紀(ji)40年代(dai)到14世紀(ji)初，在主要領域都達到了(le)中國(guo)(guo)古(gu)代(dai)數(shu)(shu)學的(de)(de)(de)高(gao)峰(feng)，出(chu)現了(le)現通稱(cheng)賈憲(xian)三角形的(de)(de)(de)“開方(fang)(fang)作(zuo)法(fa)(fa)本源圖”和增乘開方(fang)(fang)法(fa)(fa)、“正負開方(fang)(fang)術(shu)(shu)”、“大(da)衍求一(yi)術(shu)(shu)”、“大(da)衍總(zong)數(shu)(shu)術(shu)(shu)”（一(yi)次同余式組(zu)(zu)解(jie)法(fa)(fa)）、“垛積(ji)(ji)術(shu)(shu)”（高(gao)階等差級(ji)數(shu)(shu)求和）、“招差術(shu)(shu)”（高(gao)次差內差法(fa)(fa)）、“天(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)”（數(shu)(shu)字高(gao)次方(fang)(fang)程一(yi)般解(jie)法(fa)(fa)）、“四(si)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)”（四(si)元(yuan)(yuan)高(gao)次方(fang)(fang)程組(zu)(zu)解(jie)法(fa)(fa)）、勾股數(shu)(shu)學、弧矢割圓術(shu)(shu)、組(zu)(zu)合數(shu)(shu)學、計算(suan)技術(shu)(shu)改(gai)革和珠算(suan)等都是在世界數(shu)(shu)學史上有重要地位的(de)(de)(de)杰出(chu)成果，中國(guo)(guo)古(gu)代(dai)數(shu)(shu)學有了(le)微(wei)積(ji)(ji)分前(qian)(qian)兩階段的(de)(de)(de)出(chu)色工作(zuo)，其中許多都是微(wei)積(ji)(ji)分得以創立(li)的(de)(de)(de)關(guan)鍵。中國(guo)(guo)已具備了(le)17世紀(ji)發明(ming)微(wei)積(ji)(ji)分前(qian)(qian)夕的(de)(de)(de)全部(bu)內在條(tiao)件，已經接近了(le)微(wei)積(ji)(ji)分的(de)(de)(de)大(da)門。可惜中國(guo)(guo)元(yuan)(yuan)朝(chao)以后(hou)，八股取士(shi)制(zhi)造成了(le)學術(shu)(shu)上的(de)(de)(de)大(da)倒退，封建統治(zhi)的(de)(de)(de)文化(hua)專(zhuan)制(zhi)和盲目排外(wai)致使包括數(shu)(shu)學在內的(de)(de)(de)科學日漸衰落，在微(wei)積(ji)(ji)分創立(li)的(de)(de)(de)最關(guan)鍵一(yi)步落伍(wu)了(le)。
到了(le)十七世紀(ji)，有許多科學問(wen)題(ti)需要(yao)解決(jue)，這些問(wen)題(ti)也就(jiu)成(cheng)(cheng)了(le)促使微積分產生(sheng)的(de)(de)(de)(de)因素。歸結(jie)起來，大約有四(si)(si)種(zhong)主要(yao)類型的(de)(de)(de)(de)問(wen)題(ti)：第一(yi)類是研究運動的(de)(de)(de)(de)時候直接出現(xian)的(de)(de)(de)(de)，也就(jiu)是求(qiu)即時速度的(de)(de)(de)(de)問(wen)題(ti)。第二類問(wen)題(ti)是求(qiu)曲(qu)線的(de)(de)(de)(de)切(qie)線的(de)(de)(de)(de)問(wen)題(ti)。第三(san)類問(wen)題(ti)是求(qiu)函數(shu)的(de)(de)(de)(de)最大值和最小值問(wen)題(ti)。第四(si)(si)類問(wen)題(ti)是求(qiu)曲(qu)線長、曲(qu)線圍成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)面積、曲(qu)面圍成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)體積、物體的(de)(de)(de)(de)重心、一(yi)個(ge)體積相當大的(de)(de)(de)(de)物體作用(yong)于另(ling)一(yi)物體上的(de)(de)(de)(de)引力(li)。
數(shu)(shu)學首先從對運(yun)動（如天文、航(hang)海問(wen)題(ti)等(deng)）的(de)(de)(de)研究中引出了一(yi)個(ge)(ge)基本概念，在那以后的(de)(de)(de)二(er)百年(nian)里，這個(ge)(ge)概念在幾(ji)(ji)(ji)乎所(suo)有的(de)(de)(de)工(gong)作中占(zhan)中心(xin)位置(zhi)，這就(jiu)是(shi)函(han)數(shu)(shu)——或變量間(jian)關系(xi)——的(de)(de)(de)概念。緊(jin)接著函(han)數(shu)(shu)概念的(de)(de)(de)采用，產(chan)生(sheng)了微積分(fen)(fen)，它是(shi)繼Euclid幾(ji)(ji)(ji)何之(zhi)后，全(quan)部(bu)數(shu)(shu)學中的(de)(de)(de)一(yi)個(ge)(ge)最大(da)的(de)(de)(de)創造。圍繞著解(jie)決上述四個(ge)(ge)核心(xin)的(de)(de)(de)科(ke)學問(wen)題(ti)，微積分(fen)(fen)問(wen)題(ti)至(zhi)少(shao)被(bei)十七世紀十幾(ji)(ji)(ji)個(ge)(ge)最大(da)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學家(jia)(jia)和(he)幾(ji)(ji)(ji)十個(ge)(ge)小一(yi)些(xie)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學家(jia)(jia)探(tan)索過。位于他們全(quan)部(bu)貢獻頂峰的(de)(de)(de)是(shi)牛頓和(he)萊布尼(ni)茨的(de)(de)(de)成就(jiu)。在此，我們主要來介紹這兩位大(da)師(shi)的(de)(de)(de)工(gong)作。
實際上，在牛頓和萊布(bu)尼茨作出他(ta)們的(de)(de)(de)沖(chong)刺之前，微積分(fen)的(de)(de)(de)大(da)量(liang)知識已(yi)經積累起(qi)來了(le)。十七世紀的(de)(de)(de)許(xu)多著名的(de)(de)(de)數學(xue)家、天文學(xue)家、物理(li)學(xue)家都為(wei)解決上述幾類問題(ti)作了(le)大(da)量(liang)的(de)(de)(de)研究工作，如法國的(de)(de)(de)費(fei)馬、笛卡(ka)爾(er)、羅伯瓦、笛沙格(ge)；英國的(de)(de)(de)巴羅、沃(wo)利斯；德國的(de)(de)(de)開普勒(le)；意大(da)利的(de)(de)(de)卡(ka)瓦列里等人都提(ti)出許(xu)多很有建樹的(de)(de)(de)理(li)論(lun)。為(wei)微積分(fen)的(de)(de)(de)創立做出了(le)貢獻。
例如費(fei)馬、巴羅、笛卡爾都(dou)對求曲線(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)切線(xian)以及曲線(xian)圍成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)面積問(wen)題有(you)過深入的(de)(de)(de)(de)(de)研究，并且得到(dao)了一些結果，但是他(ta)們都(dou)沒有(you)意(yi)識(shi)到(dao)它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)重要性。在十七(qi)世(shi)紀的(de)(de)(de)(de)(de)前三分(fen)(fen)之(zhi)二，微積分(fen)(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)工作沉沒在細節(jie)(jie)里，作用不大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)細微末節(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)推理使他(ta)們筋疲力盡了。只有(you)少數幾(ji)個大(da)學家(jia)意(yi)識(shi)到(dao)了這(zhe)個問(wen)題，如James Gregory說過：“數學的(de)(de)(de)(de)(de)真正劃分(fen)(fen)不是分(fen)(fen)成(cheng)幾(ji)何和算術，而是分(fen)(fen)成(cheng)普(pu)遍(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)和特殊的(de)(de)(de)(de)(de)”。而這(zhe)普(pu)遍(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)東西是由(you)兩個包羅萬象的(de)(de)(de)(de)(de)思想家(jia)牛(niu)頓和萊布尼(ni)茨(ci)提供的(de)(de)(de)(de)(de)。
十(shi)(shi)七世紀下半葉，在前人工作(zuo)的(de)(de)(de)基礎(chu)上(shang)，英國(guo)大科學家(jia)牛頓和(he)德國(guo)數學家(jia)萊(lai)布尼茨分別(bie)在自己(ji)的(de)(de)(de)國(guo)度里(li)獨自研究和(he)完成了微積(ji)(ji)分的(de)(de)(de)創(chuang)立工作(zuo)，雖然這只是(shi)十(shi)(shi)分初步的(de)(de)(de)工作(zuo)。他們的(de)(de)(de)最大功績是(shi)把兩個貌似毫不相關的(de)(de)(de)問題聯(lian)系在一(yi)(yi)起，一(yi)(yi)個是(shi)切線問題（微分學的(de)(de)(de)中(zhong)心問題），一(yi)(yi)個是(shi)求積(ji)(ji)問題（積(ji)(ji)分學的(de)(de)(de)中(zhong)心問題）。
牛頓(dun)和萊(lai)布尼(ni)茨建立微(wei)積(ji)分(fen)的(de)出發點是直觀(guan)的(de)無窮(qiong)小量，因此這(zhe)門學科早期也(ye)稱(cheng)為無窮(qiong)小分(fen)析(xi)，這(zhe)正是數學中分(fen)析(xi)學這(zhe)一(yi)大分(fen)支名(ming)稱(cheng)的(de)來(lai)源。牛頓(dun)研究微(wei)積(ji)分(fen)著重于從運動(dong)學來(lai)考慮(lv)，萊(lai)布尼(ni)茨卻是側(ce)重于幾何學來(lai)考慮(lv)的(de)。
牛頓(dun)在(zai)(zai)1671年寫了《流數(shu)法和無(wu)窮(qiong)級數(shu)》，這(zhe)本書(shu)直到1736年才出(chu)版，它在(zai)(zai)這(zhe)本書(shu)里指(zhi)出(chu)，變量是(shi)由點、線(xian)、面的(de)(de)(de)連(lian)續(xu)運(yun)(yun)動(dong)產(chan)生(sheng)的(de)(de)(de)，否定了以前自己認為(wei)的(de)(de)(de)變量是(shi)無(wu)窮(qiong)小元素的(de)(de)(de)靜止集合。他(ta)把(ba)連(lian)續(xu)變量叫做(zuo)流動(dong)量，把(ba)這(zhe)些流動(dong)量的(de)(de)(de)導數(shu)叫做(zuo)流數(shu)。牛頓(dun)在(zai)(zai)流數(shu)術中所提出(chu)的(de)(de)(de)中心問題(ti)是(shi)：已(yi)知連(lian)續(xu)運(yun)(yun)動(dong)的(de)(de)(de)路徑，求給定時(shi)刻(ke)的(de)(de)(de)速(su)度（微(wei)分法）；已(yi)知運(yun)(yun)動(dong)的(de)(de)(de)速(su)度求給定時(shi)間內經過的(de)(de)(de)路程(積分法)。
德國的(de)萊(lai)(lai)布尼(ni)(ni)茨(ci)(ci)(ci)是(shi)(shi)一個博才多學的(de)學者，1684年，他發表了現在(zai)世界上認為是(shi)(shi)最(zui)早的(de)微(wei)(wei)積分(fen)(fen)文(wen)獻(xian)，這篇(pian)文(wen)章有(you)一個很長而(er)且很古怪(guai)的(de)名字《一種(zhong)求極(ji)大(da)(da)極(ji)小和切線的(de)新方法，它也(ye)(ye)適用(yong)于分(fen)(fen)式(shi)和無理量，以及這種(zhong)新方法的(de)奇妙類型的(de)計(ji)算》。就(jiu)是(shi)(shi)這樣一片(pian)說理也(ye)(ye)頗含(han)(han)糊的(de)文(wen)章，卻(que)有(you)劃時代的(de)意義。他以含(han)(han)有(you)現代的(de)微(wei)(wei)分(fen)(fen)符(fu)(fu)(fu)(fu)號(hao)和基本微(wei)(wei)分(fen)(fen)法則。1686年，萊(lai)(lai)布尼(ni)(ni)茨(ci)(ci)(ci)發表了第一篇(pian)積分(fen)(fen)學的(de)文(wen)獻(xian)。他是(shi)(shi)歷史上最(zui)偉大(da)(da)的(de)符(fu)(fu)(fu)(fu)號(hao)學者之一，他所創(chuang)設(she)的(de)微(wei)(wei)積分(fen)(fen)符(fu)(fu)(fu)(fu)號(hao)，遠遠優于牛(niu)頓的(de)符(fu)(fu)(fu)(fu)號(hao)，這對微(wei)(wei)積分(fen)(fen)的(de)發展(zhan)有(you)極(ji)大(da)(da)的(de)影(ying)響。我們使用(yong)的(de)微(wei)(wei)積分(fen)(fen)通(tong)用(yong)符(fu)(fu)(fu)(fu)號(hao)就(jiu)是(shi)(shi)當時萊(lai)(lai)布尼(ni)(ni)茨(ci)(ci)(ci)精心選(xuan)用(yong)的(de)。
從(cong)幼年(nian)時(shi)代起，萊布尼茨就(jiu)明顯展露出(chu)一(yi)顆燦爛的思想明星的跡象(xiang)。他13歲時(shi)就(jiu)像其他孩子讀小(xiao)(xiao)說一(yi)樣輕(qing)松地(di)閱(yue)讀經院學者的艱深的論文了。他提出(chu)無窮小(xiao)(xiao)的微積分算法(fa)，并且他發表(biao)自己的成果比艾薩克(ke)·牛頓爵(jue)士(shi)將它的手稿付梓早三(san)年(nian)，而后(hou)者宣稱自己第一(yi)個做出(chu)了這項(xiang)發現。
萊布尼(ni)茨是(shi)一個世故的(de)人，取悅于宮廷(ting)并得到知名人士的(de)庇護(hu)。他與斯賓(bin)(bin)諾莎有私交(jiao)，后(hou)者(zhe)的(de)哲學給他以深(shen)刻的(de)印象，雖然他斷然與斯賓(bin)(bin)諾莎的(de)觀念分(fen)道(dao)揚(yang)鑣了。
萊(lai)布(bu)尼茨與哲學(xue)(xue)家、神學(xue)(xue)家和文人(ren)們進行著廣泛的(de)通信交往。在(zai)他的(de)宏大計劃中(zhong)曾嘗試達(da)成新教和天主教之間的(de)一個和解(jie)以及基督(du)教國家之間的(de)聯(lian)合(he)，這種聯(lian)合(he)在(zai)他那個時代意味著歐洲聯(lian)盟(meng)。他還(huan)做過(guo)后來成為普魯士(shi)科(ke)學(xue)(xue)院的(de)柏林科(ke)學(xue)(xue)協(xie)會的(de)第一會長。
他曾(ceng)服務于漢諾威(wei)宮廷，但當喬治一世成為英格蘭國王(wang)時(shi)，萊布尼(ni)茨沒有被(bei)邀請同去(qu)，也許是由于他與牛頓的(de)(de)爭端。他的(de)(de)公眾(zhong)影響力下(xia)降了，而在1716年，他再(zai)無人注意(yi)，甚至被(bei)他所創(chuang)立的(de)(de)學會忽(hu)視的(de)(de)情況下(xia)去(qu)世，終年70歲(sui)。
微(wei)積(ji)分學(xue)的(de)創立，極大地推動了數學(xue)的(de)發展，過(guo)去(qu)很多初等(deng)數學(xue)束手無策(ce)的(de)問題，運用微(wei)積(ji)分，往(wang)往(wang)迎刃而解，顯示出微(wei)積(ji)分學(xue)的(de)非凡威力。
前(qian)面已(yi)經(jing)提到，一(yi)(yi)門科學的創立(li)決不是(shi)(shi)某一(yi)(yi)個人(ren)的業績，他(ta)必定(ding)是(shi)(shi)經(jing)過(guo)多少人(ren)的努(nu)力后(hou)，在積累了(le)大量成(cheng)(cheng)果的基礎上，最后(hou)由某個人(ren)或幾個人(ren)總結完(wan)成(cheng)(cheng)的。微積分也是(shi)(shi)這(zhe)樣。
不幸(xing)的(de)是(shi)，由于人們在欣賞微積分的(de)宏偉(wei)功效之余(yu)，在提出誰是(shi)這門學(xue)科的(de)創立(li)者(zhe)的(de)時候，竟然引起了一(yi)場悍然大波，造成了歐(ou)洲大陸的(de)數學(xue)家和英國數學(xue)家的(de)長(chang)期對(dui)立(li)。英國數學(xue)在一(yi)個時期里(li)閉關(guan)鎖國，囿于民族偏見，過(guo)于拘泥在牛(niu)頓的(de)“流數術”中停步不前，因而數學(xue)發展(zhan)整整落(luo)后了一(yi)百年。
其實，牛頓和萊布(bu)尼茨分別是(shi)自己獨立(li)(li)研究，在大(da)體上相近的時(shi)間里先(xian)(xian)后完成的。比(bi)(bi)較特殊的是(shi)牛頓創(chuang)立(li)(li)微(wei)積分要比(bi)(bi)萊布(bu)尼茨早10年左右，但是(shi)正式公開發表(biao)微(wei)積分這一理論，萊布(bu)尼茨卻要比(bi)(bi)牛頓發表(biao)早三(san)年。他們的研究各有(you)長處，也都各有(you)短處。那時(shi)候，由于(yu)民族(zu)偏見，關(guan)于(yu)發明(ming)優先(xian)(xian)權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。
應該指出(chu)，這(zhe)是和歷史上任何一項重大理論的(de)(de)完(wan)成(cheng)都要經歷一段時(shi)間一樣，牛頓和萊(lai)(lai)布尼茨的(de)(de)工(gong)作(zuo)也都是很(hen)不完(wan)善(shan)的(de)(de)。他們(men)在無窮和無窮小量這(zhe)個問題上，其說(shuo)不一，十(shi)分(fen)含糊。牛頓的(de)(de)無窮小量，有時(shi)候(hou)是零，有時(shi)候(hou)不是零而是有限(xian)的(de)(de)小量；萊(lai)(lai)布尼茨的(de)(de)也不能自圓其說(shuo)。這(zhe)些(xie)基礎方(fang)面的(de)(de)缺陷，最終導致了第二(er)次數學危機的(de)(de)產生(sheng)。
直到19世(shi)紀初(chu)，法(fa)國(guo)科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)學(xue)院的(de)(de)(de)科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)家以柯西為(wei)首，對(dui)微(wei)(wei)積(ji)分的(de)(de)(de)理論進(jin)行了認真研究，建立了極(ji)限理論，後來又(you)經過德國(guo)數(shu)學(xue)家維爾(er)斯特拉(la)斯進(jin)一步的(de)(de)(de)嚴(yan)格化，使極(ji)限理論成為(wei)了微(wei)(wei)積(ji)分的(de)(de)(de)堅定基礎(chu)。才使微(wei)(wei)積(ji)分進(jin)一步的(de)(de)(de)發展開來。任(ren)何新(xin)興的(de)(de)(de)、具(ju)有無量前(qian)途(tu)的(de)(de)(de)科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)成就都吸引著廣大的(de)(de)(de)科(ke)(ke)(ke)(ke)學(xue)工作者。在(zai)微(wei)(wei)積(ji)分的(de)(de)(de)歷史(shi)上也閃爍著這樣的(de)(de)(de)一些明星(xing)：瑞(rui)士的(de)(de)(de)雅(ya)科(ke)(ke)(ke)(ke)布·貝(bei)努(nu)利(li)和他的(de)(de)(de)兄弟約翰·貝(bei)努(nu)利(li)、歐拉(la)、法(fa)國(guo)的(de)(de)(de)拉(la)格朗日(ri)、柯西……
歐氏幾(ji)何也(ye)好(hao)，上古和中(zhong)世紀的代(dai)(dai)數(shu)(shu)(shu)(shu)學也(ye)好(hao)，都是一種常量(liang)數(shu)(shu)(shu)(shu)學，微(wei)積分(fen)(fen)才是真(zhen)正的變(bian)量(liang)數(shu)(shu)(shu)(shu)學，是數(shu)(shu)(shu)(shu)學中(zhong)的大革命(ming)。微(wei)積分(fen)(fen)是高等數(shu)(shu)(shu)(shu)學的主要分(fen)(fen)支，不(bu)只是局限在(zai)解決力學中(zhong)的變(bian)速問題，它(ta)馳騁(cheng)在(zai)近代(dai)(dai)和現代(dai)(dai)科(ke)學技術園地(di)里，建立了數(shu)(shu)(shu)(shu)不(bu)清的豐功(gong)偉績。
微(wei)(wei)積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)（Calculus）是(shi)高等數(shu)學(xue)(xue)(xue)中研究函數(shu)的(de)微(wei)(wei)分(fen)(fen)（Differentiation）、積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)(Integration)以及有關概(gai)念和應用的(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)分(fen)(fen)支(zhi)。它(ta)是(shi)數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)一個(ge)基礎學(xue)(xue)(xue)科。內容主要包(bao)括極限、微(wei)(wei)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)、積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)及其應用。微(wei)(wei)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)包(bao)括求導(dao)數(shu)的(de)運算(suan)，是(shi)一套關于(yu)變化率的(de)理(li)論(lun)。它(ta)使(shi)得函數(shu)、速(su)度(du)、加(jia)速(su)度(du)和曲線的(de)斜(xie)率等均可(ke)用一套通用的(de)符號(hao)進行(xing)討論(lun)。積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)，包(bao)括求積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)運算(suan)，為定義和計算(suan)面積(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)等提供一套通用的(de)方法。
微(wei)(wei)積(ji)(ji)分(fen)(fen)是(shi)與(yu)應用(yong)(yong)聯系著發(fa)展(zhan)(zhan)起來的(de)(de)(de)，最初牛頓應用(yong)(yong)微(wei)(wei)積(ji)(ji)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)及微(wei)(wei)分(fen)(fen)方程(cheng)為(wei)了(le)(le)從(cong)萬有(you)引(yin)力定(ding)律導出了(le)(le)開普勒行星運動三(san)定(ding)律。此(ci)后(hou)，微(wei)(wei)積(ji)(ji)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)極(ji)大(da)的(de)(de)(de)推(tui)動了(le)(le)數學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)(zhan)，同時也(ye)極(ji)大(da)的(de)(de)(de)推(tui)動了(le)(le)天(tian)文(wen)學(xue)(xue)(xue)(xue)、力學(xue)(xue)(xue)(xue)、物理(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)、化(hua)學(xue)(xue)(xue)(xue)、生物學(xue)(xue)(xue)(xue)、工程(cheng)學(xue)(xue)(xue)(xue)、經(jing)濟(ji)學(xue)(xue)(xue)(xue)等自(zi)然科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)、社會科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)及應用(yong)(yong)科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)各個分(fen)(fen)支中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)(zhan)。并在(zai)這(zhe)(zhe)些學(xue)(xue)(xue)(xue)科(ke)中(zhong)(zhong)有(you)越(yue)來越(yue)廣泛(fan)的(de)(de)(de)應用(yong)(yong)，特別是(shi)計算(suan)機的(de)(de)(de)出現更有(you)助(zhu)于這(zhe)(zhe)些應用(yong)(yong)的(de)(de)(de)不(bu)斷發(fa)展(zhan)(zhan)。微(wei)(wei)積(ji)(ji)分(fen)(fen)作為(wei)一門交叉性(xing)很強的(de)(de)(de)科(ke)目，除了(le)(le)在(zai)物理(li)等自(zi)然科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)上(shang)有(you)強實用(yong)(yong)性(xing)外，在(zai)經(jing)濟(ji)學(xue)(xue)(xue)(xue)上(shang)也(ye)有(you)很強的(de)(de)(de)推(tui)動作用(yong)(yong)。
微(wei)積分學(xue)(xue)(xue)的發展與應用幾乎影響了(le)現代生活的所(suo)(suo)有領域。它與大部(bu)分科學(xue)(xue)(xue)分支關系密切，包(bao)括醫藥、護(hu)理、工(gong)(gong)(gong)業(ye)工(gong)(gong)(gong)程、商業(ye)管理、精算(suan)(suan)、計(ji)算(suan)(suan)機、統計(ji)、人口統計(ji)，特別(bie)是物理學(xue)(xue)(xue)；經濟學(xue)(xue)(xue)亦經常會用到(dao)微(wei)積分學(xue)(xue)(xue)。幾乎所(suo)(suo)有現代科學(xue)(xue)(xue)技(ji)術(shu)，如：機械、土木、建筑(zhu)、航(hang)空及(ji)航(hang)海等工(gong)(gong)(gong)業(ye)工(gong)(gong)(gong)程都以(yi)微(wei)積分學(xue)(xue)(xue)作(zuo)為基(ji)本數學(xue)(xue)(xue)工(gong)(gong)(gong)具。微(wei)積分使得數學(xue)(xue)(xue)可以(yi)在變量和常量之間(jian)互(hu)相轉化，讓我們可以(yi)已知一種方式時推導(dao)出來另一種方式。
物理學(xue)大量應(ying)用(yong)微積(ji)分；經(jing)典力(li)學(xue)、熱(re)傳和電磁學(xue)都與微積(ji)分有(you)密切聯系。已知(zhi)密度(du)(du)的(de)(de)物體(ti)(ti)質量，動摩擦力(li)，保守力(li)場(chang)的(de)(de)總能量都可用(yong)微積(ji)分來計(ji)算。例如：將微積(ji)分應(ying)用(yong)到牛頓(dun)第二定(ding)律中(zhong)，史料(liao)一(yi)般將導數稱為(wei)“變(bian)(bian)化率(lv)”。物體(ti)(ti)動量的(de)(de)變(bian)(bian)化率(lv)等于(yu)向物體(ti)(ti)以(yi)同一(yi)方向所(suo)施的(de)(de)力(li)。今 天常用(yong)的(de)(de)表達方式是 extbf{emph{F}}=m extbf{emph{a}}，它包(bao)括了(le)微分，因為(wei)加速度(du)(du)是速度(du)(du)的(de)(de)導數，或是位置(zhi)矢量的(de)(de)二階導數。已知(zhi)物體(ti)(ti)的(de)(de)加速度(du)(du)，我們(men)就(jiu)可以(yi)得出(chu)它的(de)(de)路徑(jing)。
生物學(xue)用微(wei)積分來計算種群動態(tai)，輸入繁(fan)殖(zhi)和死(si)亡(wang)率(lv)來模擬種群改變。
化學使用微(wei)積分(fen)來(lai)計算反應速率(lv)，放射性衰退。
麥克斯(si)韋(wei)爾的電(dian)磁學和愛因斯(si)坦的廣(guang)義相對(dui)論都(dou)應用了微分。
微積(ji)分可(ke)以(yi)與其他數(shu)學分支交叉混合。例如，混合線性(xing)代(dai)數(shu)來求(qiu)得值域中(zhong)一組數(shu)列的“最(zui)佳”線性(xing)近似。它也可(ke)以(yi)用在概率論中(zhong)來確定由(you)假設密度方(fang)程產(chan)生的連(lian)續隨機變量的概率。在解(jie)析幾何對方(fang)程圖像(xiang)的研究中(zhong)，微積(ji)分可(ke)以(yi)求(qiu)得最(zui)大值、最(zui)小值、斜率、凹度、拐點等。
格(ge)林公式連接了一個(ge)封閉(bi)曲線上的(de)線積(ji)分與一個(ge)邊(bian)界為C且平面(mian)區域為D的(de)雙重積(ji)分。它(ta)被設計為求積(ji)儀(yi)工具，用以量度(du)不規則的(de)平面(mian)面(mian)積(ji)。例如(ru)：它(ta)可以在設計時計算(suan)不規則的(de)花瓣床、游泳(yong)池的(de)面(mian)積(ji)。
在醫療(liao)領域，微積分(fen)可(ke)以計算血管(guan)最優(you)支角，將血流最大化。通過藥物在體內的衰退數據，微積分(fen)可(ke)以推導出(chu)服用量。在核醫學中，它可(ke)以為治(zhi)療(liao)腫瘤建立放(fang)射(she)輸送模型。
在經濟學中，微積分(fen)可以通(tong)過計算邊(bian)際(ji)成本和邊(bian)際(ji)利潤來確定最大收益。
微(wei)積(ji)分也被用(yong)(yong)于尋找(zhao)方(fang)程(cheng)的近(jin)似值(zhi)；實踐中，它(ta)用(yong)(yong)于解微(wei)分方(fang)程(cheng)，計(ji)算相關的應(ying)用(yong)(yong)題，如：牛(niu)頓法、定(ding)點(dian)循環、線性近(jin)似等。比如：宇宙飛船(chuan)利(li)用(yong)(yong)歐拉方(fang)法來求得(de)零重(zhong)力環境下的近(jin)似曲線。
在(zai)大學(xue)的數(shu)理、工程、商管教學(xue)中，微(wei)積(ji)分(fen)是“高等(deng)數(shu)學(xue)”的主要內容之一(yi)。其(qi)教學(xue)法由學(xue)科(ke)創立一(yi)開始就(jiu)受到人們重視。在(zai)美國大學(xue)先修(xiu)課程中，AP微(wei)積(ji)分(fen)AB、BC分(fen)別為對(dui)應大學(xue)一(yi)元微(wei)積(ji)分(fen)半(ban)年、全(quan)年課程。
在(zai)香港，微積(ji)分(fen)是新高中(zhong)課程數(shu)學（延(yan)展部(bu)分(fen)）的一部(bu)分(fen)，這部(bu)分(fen)是選修的。
歲月(yue)靜好
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