朱世杰“以數學(xue)(xue)名家周游湖海二(er)十余年”，“踵門而學(xue)(xue)者云集”(莫若、祖(zu)頤：《四元玉鑒(jian)》后序）。
宋(song)元(yuan)時期，中國數(shu)學(xue)(xue)鼎盛時期中杰(jie)(jie)出的(de)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)有“秦九(jiu)韶、李冶(ye)、楊(yang)輝、朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)四(si)大家(jia)”，朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)就是其中之(zhi)一。朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)是一位(wei)平民(min)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)和數(shu)學(xue)(xue)教育家(jia)。朱世(shi)(shi)杰(jie)(jie)平生勤力研習《九(jiu)章算術》，旁通(tong)其它各種(zhong)算法，成為元(yuan)代(dai)著名數(shu)學(xue)(xue)家(jia)。
元(yuan)(yuan)統一中國后(hou)，朱世杰曾以數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)的(de)身份周(zhou)游(you)各地20余年，向他求學(xue)(xue)的(de)人很(hen)多，他到廣陵(ling)(今揚州)時“踵(zhong)門而學(xue)(xue)者云集”。他全面繼承(cheng)了(le)前人數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成果，既吸收了(le)北方的(de)天元(yuan)(yuan)術，又(you)吸收了(le)南方的(de)正負(fu)開方術、各種日用(yong)算法及(ji)通(tong)俗(su)歌訣(jue)，在(zai)此基礎(chu)上進行了(le)創造性的(de)研究，寫(xie)成以總結和普及(ji)當時各種數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)知識為宗旨的(de)《算學(xue)(xue)啟蒙(meng)》(3卷)，又(you)寫(xie)成四元(yuan)(yuan)術的(de)代表作--《四元(yuan)(yuan)玉鑒》(3卷)，先后(hou)于：1299年和1303年刊印．《算學(xue)(xue)啟蒙(meng)》由(you)淺入深，從(cong)一位數(shu)(shu)(shu)乘法開始(shi)，一直(zhi)講到當時的(de)最(zui)新數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成果――天元(yuan)(yuan)術，形(xing)成一個完整體系。
書中(zhong)明確提出正負數(shu)(shu)乘法法則，給出倒數(shu)(shu)的(de)(de)概(gai)念和基(ji)本(ben)性質，概(gai)括(kuo)出若干(gan)新的(de)(de)乘法公式和根(gen)式運算法則，總結(jie)了(le)若干(gan)乘除捷算口訣，并把設(she)輔助未(wei)知(zhi)數(shu)(shu)的(de)(de)方(fang)法用于解(jie)線性方(fang)程組(zu)．《四(si)元(yuan)玉(yu)鑒》的(de)(de)主要內(nei)(nei)容(rong)是(shi)四(si)元(yuan)術(shu)，即多(duo)元(yuan)高(gao)次方(fang)程組(zu)的(de)(de)建(jian)立和求解(jie)方(fang)法．秦九韶的(de)(de)高(gao)次方(fang)程數(shu)(shu)值解(jie)法和李(li)冶(ye)的(de)(de)天元(yuan)術(shu)都被包含在內(nei)(nei)．
在(zai)宋元(yuan)(yuan)(yuan)時期的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)群英中，朱(zhu)世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)(gong)作具有特(te)殊重要的(de)(de)(de)(de)(de)意義(yi)．如果(guo)把諸多(duo)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家比作群山(shan)(shan)，則朱(zhu)世(shi)(shi)杰是(shi)最高(gao)大、最雄偉(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)山(shan)(shan)峰．站在(zai)朱(zhu)世(shi)(shi)杰數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)思想的(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)度(du)俯嫩傳統數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)，會有"一(yi)(yi)覽眾(zhong)山(shan)(shan)小"之感．來世(shi)(shi)杰工(gong)(gong)作的(de)(de)(de)(de)(de)意義(yi)就(jiu)在(zai)于總結(jie)了(le)(le)宋元(yuan)(yuan)(yuan)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)，使之在(zai)理(li)論(lun)上(shang)達到(dao)新的(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)度(du)．這(zhe)主要表現(xian)在(zai)以(yi)(yi)下三個領(ling)域．首先是(shi)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)理(li)論(lun)．在(zai)列(lie)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)面(mian)，蔣周的(de)(de)(de)(de)(de)演段法(fa)為天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)作了(le)(le)準備工(gong)(gong)作，他(ta)(ta)已(yi)具有尋找等(deng)值多(duo)項式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)思想，洞淵馬(ma)與信道是(shi)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)先驅，但他(ta)(ta)們推導方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)仍受(shou)幾何思維的(de)(de)(de)(de)(de)束縛(fu)(fu)，李(li)冶基(ji)(ji)本上(shang)擺脫了(le)(le)這(zhe)種束縛(fu)(fu)，總結(jie)出(chu)(chu)一(yi)(yi)套(tao)固定的(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)程(cheng)序，使天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)進(jin)入成熟階段．在(zai)解方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)面(mian)，賈憲給(gei)出(chu)(chu)增乘(cheng)開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)，劉益則用正負開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)術(shu)求出(chu)(chu)四(si)次(ci)(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)正根，秦九韶在(zai)此基(ji)(ji)礎上(shang)解決了(le)(le)高(gao)次(ci)(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)值解法(fa)問題．至此，一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)建立和求解都已(yi)實現(xian)．而線性方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組古已(yi)有之，所以(yi)(yi)具備了(le)(le)多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)(ci)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組產生的(de)(de)(de)(de)(de)條件．李(li)德載的(de)(de)(de)(de)(de)二元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)和劉大鑒(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)相繼出(chu)(chu)現(xian)，朱(zhu)世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)正是(shi)對二元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)、三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)總結(jie)與提(ti)高(gao)．由于四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)已(yi)把常數(shu)(shu)(shu)(shu)項的(de)(de)(de)(de)(de)上(shang)下左右占滿，方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)理(li)論(lun)發(fa)展到(dao)這(zhe)里，顯然就(jiu)告(gao)一(yi)(yi)段落了(le)(le)．從方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)種類看，天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)產生之前的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)都是(shi)整式(shi)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)。
從洞淵到(dao)(dao)李(li)冶(ye)，分式(shi)方程(cheng)逐(zhu)漸得(de)到(dao)(dao)發(fa)(fa)展．而朱(zhu)世(shi)杰(jie)，則突破了(le)(le)(le)有理(li)(li)(li)(li)式(shi)的(de)(de)(de)限制(zhi)，開(kai)始處理(li)(li)(li)(li)無理(li)(li)(li)(li)方程(cheng)．其次(ci)是(shi)高階(jie)等差(cha)級(ji)數(shu)的(de)(de)(de)研(yan)(yan)究．沈(shen)括的(de)(de)(de)隙積(ji)(ji)術(shu)(shu)開(kai)研(yan)(yan)究高階(jie)等差(cha)級(ji)數(shu)之先(xian)河，楊輝給出包括隙積(ji)(ji)術(shu)(shu)在內(nei)(nei)的(de)(de)(de)一系(xi)(xi)列二階(jie)等差(cha)級(ji)數(shu)求和(he)公(gong)式(shi)．朱(zhu)世(shi)杰(jie)則在此基礎(chu)上依(yi)次(ci)研(yan)(yan)究了(le)(le)(le)二階(jie)、三階(jie)、四(si)階(jie)乃至(zhi)五階(jie)等差(cha)級(ji)數(shu)的(de)(de)(de)求和(he)問(wen)題(ti)，從而發(fa)(fa)現(xian)(xian)其規律，掌握了(le)(le)(le)三角(jiao)垛統一公(gong)式(shi)．他還發(fa)(fa)現(xian)(xian)了(le)(le)(le)垛積(ji)(ji)術(shu)(shu)與內(nei)(nei)插(cha)(cha)法的(de)(de)(de)內(nei)(nei)在聯系(xi)(xi)，利用(yong)垛積(ji)(ji)公(gong)式(shi)給出規范(fan)的(de)(de)(de)四(si)次(ci)內(nei)(nei)插(cha)(cha)公(gong)式(shi)．第三是(shi)幾(ji)(ji)何學(xue)的(de)(de)(de)研(yan)(yan)究．宋代以前，幾(ji)(ji)何研(yan)(yan)究離不(bu)開(kai)勾股和(he)面積(ji)(ji)、體(ti)(ti)積(ji)(ji)．蔣(jiang)周的(de)(de)(de)《益古(gu)集》也是(shi)以面積(ji)(ji)問(wen)題(ti)為研(yan)(yan)究對(dui)象(xiang)的(de)(de)(de)．李(li)冶(ye)開(kai)始注意到(dao)(dao)圓城因式(shi)中(zhong)各(ge)(ge)元(yuan)(yuan)素的(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，得(de)到(dao)(dao)一些定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)，但(dan)未(wei)能推(tui)廣到(dao)(dao)更(geng)一般的(de)(de)(de)情形(xing)．朱(zhu)世(shi)杰(jie)不(bu)僅總結(jie)了(le)(le)(le)前人的(de)(de)(de)勾股及(ji)求積(ji)(ji)理(li)(li)(li)(li)論，而且(qie)在李(li)冶(ye)思想(xiang)的(de)(de)(de)基礎(chu)上更(geng)進一步，深入研(yan)(yan)究了(le)(le)(le)勾股形(xing)內(nei)(nei)及(ji)圓內(nei)(nei)各(ge)(ge)幾(ji)(ji)何元(yuan)(yuan)素的(de)(de)(de)數(shu)量關系(xi)(xi)，發(fa)(fa)現(xian)(xian)了(le)(le)(le)兩個重要定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)--射影(ying)定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)和(he)弦冪(mi)定(ding)(ding)理(li)(li)(li)(li)．他在立體(ti)(ti)幾(ji)(ji)何中(zhong)也開(kai)始注意到(dao)(dao)圖(tu)(tu)形(xing)內(nei)(nei)各(ge)(ge)元(yuan)(yuan)素的(de)(de)(de)關系(xi)(xi)．朱(zhu)世(shi)杰(jie)的(de)(de)(de)工作，使(shi)得(de)幾(ji)(ji)何研(yan)(yan)究的(de)(de)(de)對(dui)象(xiang)由(you)圖(tu)(tu)形(xing)整體(ti)(ti)深入到(dao)(dao)圖(tu)(tu)形(xing)內(nei)(nei)部，體(ti)(ti)現(xian)(xian)了(le)(le)(le)數(shu)學(xue)思想(xiang)的(de)(de)(de)進步。
朱世(shi)杰長期從事(shi)數(shu)(shu)學(xue)研究和教育事(shi)業，以數(shu)(shu)學(xue)名(ming)家(jia)周(zhou)游各地(di)20多年，四方登(deng)門來(lai)學(xue)習的(de)(de)(de)(de)人(ren)很多。朱世(shi)杰數(shu)(shu)學(xue)代表作有《算(suan)學(xue)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒(jian)》（1303）。《算(suan)學(xue)啟蒙》是(shi)(shi)一(yi)部通俗數(shu)(shu)學(xue)名(ming)著，曾流傳海外，影響(xiang)了朝鮮、日本數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)發展(zhan)。《四元玉鑒(jian)》則是(shi)(shi)中國宋元數(shu)(shu)學(xue)高(gao)(gao)峰的(de)(de)(de)(de)又一(yi)個標志(zhi)，其(qi)中最杰出的(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)創作有“四元術”（多元高(gao)(gao)次方程列式與消(xiao)元解法）、“垛積法”（高(gao)(gao)階等差數(shu)(shu)列求和）與“招差術”（高(gao)(gao)次內插法）。
朱世杰在(zai)數(shu)學(xue)科學(xue)上，全面(mian)地繼(ji)承了秦九(jiu)韶、李冶、楊輝的(de)(de)數(shu)學(xue)成(cheng)(cheng)(cheng)就，并給予(yu)創(chuang)造性的(de)(de)發展(zhan)，寫(xie)出了《算(suan)學(xue)啟(qi)蒙(meng)》、《四元(yuan)玉鑒》等著(zhu)名作品，把我(wo)國(guo)古代數(shu)學(xue)推(tui)向更高的(de)(de)境界，形成(cheng)(cheng)(cheng)宋元(yuan)時期中國(guo)數(shu)學(xue)的(de)(de)最高峰(feng)。《算(suan)學(xue)啟(qi)蒙(meng)》是朱世杰在(zai)元(yuan)成(cheng)(cheng)(cheng)宗大德三(san)年（1299）刊印的(de)(de)，全書(shu)共三(san)卷，20門，總(zong)計259個(ge)問題和相應的(de)(de)解答(da)。這(zhe)部書(shu)從乘(cheng)除(chu)運算(suan)起(qi)，一直講到(dao)當(dang)時數(shu)學(xue)發展(zhan)的(de)(de)最高成(cheng)(cheng)(cheng)就“天元(yuan)術”，全面(mian)介紹了當(dang)時數(shu)學(xue)所包含的(de)(de)各(ge)方面(mian)內容。
它(ta)的(de)(de)體系完整，內容深入淺出(chu)，通(tong)俗易懂，是一(yi)(yi)(yi)部很著(zhu)(zhu)名的(de)(de)啟(qi)蒙讀物(wu)。這部著(zhu)(zhu)作后來流傳到朝鮮、日本等國(guo)，出(chu)版過(guo)翻刻本和注釋本，產生過(guo)一(yi)(yi)(yi)定(ding)的(de)(de)影(ying)響。而《四(si)元玉(yu)鑒》更是一(yi)(yi)(yi)部成(cheng)就輝煌的(de)(de)數學(xue)名著(zhu)(zhu)。它(ta)受到近代數學(xue)史研究(jiu)者的(de)(de)高度評(ping)價，認(ren)為是中國(guo)古代數學(xue)科學(xue)著(zhu)(zhu)作中最(zui)重要的(de)(de)、最(zui)有貢獻的(de)(de)一(yi)(yi)(yi)部數學(xue)名著(zhu)(zhu)。《四(si)元玉(yu)鑒》成(cheng)書于大德七年（1303），共(gong)三卷(juan)，24門，288問，介紹了朱世杰在多元高次方程組的(de)(de)解法——四(si)元術(shu)，以及高階等差(cha)(cha)級數的(de)(de)計算——垛積術(shu)、招(zhao)差(cha)(cha)術(shu)等方面的(de)(de)研究(jiu)和成(cheng)果。
“天(tian)元(yuan)(yuan)術”是(shi)(shi)設(she)(she)“天(tian)元(yuan)(yuan)為某(mou)(mou)某(mou)(mou)”，即某(mou)(mou)某(mou)(mou)為x。但(dan)當未知(zhi)(zhi)數(shu)(shu)不止一(yi)(yi)(yi)個的(de)時候(hou)，除設(she)(she)未知(zhi)(zhi)數(shu)(shu)天(tian)元(yuan)(yuan)（x）外，還需設(she)(she)地元(yuan)(yuan)（y）、人元(yuan)(yuan)（z）及物元(yuan)(yuan)（u），再列出(chu)二元(yuan)(yuan)、三(san)元(yuan)(yuan)甚至四元(yuan)(yuan)的(de)高(gao)次(ci)(ci)聯方(fang)(fang)程組(zu)，然后求解(jie)。這(zhe)在歐洲(zhou)，解(jie)聯立一(yi)(yi)(yi)次(ci)(ci)方(fang)(fang)程開始(shi)于(yu)16世(shi)紀(ji)，關于(yu)多元(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)(ci)聯立方(fang)(fang)程的(de)研(yan)(yan)究(jiu)還是(shi)(shi)18至19世(shi)紀(ji)的(de)事了(le)。朱(zhu)世(shi)杰的(de)另一(yi)(yi)(yi)重大貢獻是(shi)(shi)對(dui)于(yu)“垛(duo)積術”的(de)研(yan)(yan)究(jiu)。他對(dui)于(yu)一(yi)(yi)(yi)系(xi)列新的(de)垛(duo)形的(de)級數(shu)(shu)求和(he)問題(ti)作(zuo)了(le)研(yan)(yan)究(jiu)，從中歸(gui)納為“三(san)角垛(duo)”的(de)公式(shi)，實際(ji)上得到(dao)了(le)這(zhe)一(yi)(yi)(yi)類(lei)任意高(gao)階(jie)等差級數(shu)(shu)求和(he)問題(ti)的(de)系(xi)統(tong)、普(pu)遍的(de)解(jie)法。朱(zhu)世(shi)杰還把三(san)角垛(duo)公式(shi)引用(yong)到(dao)“招差術”中，指出(chu)招差公式(shi)中的(de)系(xi)數(shu)(shu)恰(qia)好依次(ci)(ci)是(shi)(shi)各(ge)三(san)角垛(duo)的(de)積，這(zhe)樣就得到(dao)了(le)包含有四次(ci)(ci)差的(de)招差公式(shi)。
他(ta)(ta)還把這(zhe)個(ge)招差(cha)公式推廣(guang)為包(bao)含任意高(gao)次差(cha)的(de)(de)(de)(de)(de)招差(cha)公式，這(zhe)在(zai)世(shi)界數(shu)(shu)學史(shi)(shi)上(shang)是第(di)一次，比歐洲牛頓的(de)(de)(de)(de)(de)同樣成就要早近4個(ge)世(shi)紀(ji)。正因為如此(ci)，朱(zhu)世(shi)杰和(he)他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)著作(zuo)《四元(yuan)玉鑒(jian)(jian)》才享有巨大的(de)(de)(de)(de)(de)國際聲譽。近代(dai)日本、法國、美(mei)國、比利時(shi)(shi)以及(ji)亞(ya)、歐、美(mei)許多國家(jia)都有人向本國介紹(shao)《四元(yuan)玉鑒(jian)(jian)》。美(mei)國已(yi)故的(de)(de)(de)(de)(de)著名的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)學史(shi)(shi)家(jia)薩(sa)頓是這(zhe)樣評說朱(zhu)世(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)：“（朱(zhu)世(shi)杰）是中華民(min)族的(de)(de)(de)(de)(de)、他(ta)(ta)所(suo)生活的(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)代(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)、同時(shi)(shi)也是貫穿古今的(de)(de)(de)(de)(de)一位(wei)最杰出的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學科(ke)學家(jia)。”“《四元(yuan)玉鑒(jian)(jian)》是中國數(shu)(shu)學著作(zuo)中最重(zhong)要的(de)(de)(de)(de)(de)，同時(shi)(shi)也是中世(shi)紀(ji)最杰出的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學著作(zuo)之(zhi)一。它是世(shi)界數(shu)(shu)學寶庫中不可多得的(de)(de)(de)(de)(de)瑰寶。”從此(ci)中可以看出，宋元(yuan)時(shi)(shi)期的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)學家(jia)及(ji)其著作(zuo)，在(zai)世(shi)界數(shu)(shu)學史(shi)(shi)上(shang)起(qi)到了不可估量的(de)(de)(de)(de)(de)作(zuo)用。
朱(zhu)世杰(jie)(jie)的(de)(de)主要貢獻(xian)是創(chuang)(chuang)造了(le)一(yi)(yi)套完整的(de)(de)消(xiao)未知數方法，稱(cheng)(cheng)為四(si)(si)元消(xiao)法．這種方法在世界上長期處于(yu)領先地位(wei)，直到18世紀(ji)，法國數學家貝祖(Bezout)提(ti)出一(yi)(yi)般的(de)(de)高(gao)次方程組解(jie)法，才超過朱(zhu)世杰(jie)(jie)。除了(le)四(si)(si)元術(shu)以(yi)外，《四(si)(si)元玉鑒》中(zhong)還有兩項重(zhong)要成(cheng)就，即創(chuang)(chuang)立了(le)一(yi)(yi)般的(de)(de)高(gao)階(jie)等(deng)差(cha)級(ji)數求和(he)公式及等(deng)間距四(si)(si)次內插法公式，后者通常稱(cheng)(cheng)為招差(cha)術(shu)．此書代(dai)表著宋元數學的(de)(de)最高(gao)水平，美國科學史家薩頓(dun)(G．Sarton)稱(cheng)(cheng)贊(zan)它“是中(zhong)國數學著作(zuo)(zuo)中(zhong)最重(zhong)要的(de)(de)一(yi)(yi)部，同時也是中(zhong)世紀(ji)的(de)(de)杰(jie)(jie)出數學著作(zuo)(zuo)之一(yi)(yi)”。朱(zhu)世杰(jie)(jie)處于(yu)中(zhong)國傳(chuan)統數學發展的(de)(de)鼎盛時期，當時社會上“尊崇算學，科目(mu)漸(jian)興(xing)”，數學著作(zuo)(zuo)廣為傳(chuan)播。
對多(duo)(duo)元(yuan)高(gao)(gao)次方(fang)程(cheng)組(zu)解(jie)法、高(gao)(gao)階等差級(ji)數求和(he)，高(gao)(gao)次內(nei)插法都(dou)有(you)深(shen)入研究，他(ta)著有(you)《算學(xue)啟(qi)蒙》(1299年)、《四(si)元(yuan)玉鑒》(1303年)各3卷，在(zai)后者(zhe)中(zhong)討論了多(duo)(duo)達四(si)元(yuan)的高(gao)(gao)次聯立方(fang)程(cheng)組(zu)解(jie)法，聯系在(zai)一起(qi)的多(duo)(duo)項式(shi)的表達和(he)運算以及消去法，已接近(jin)近(jin)世代數學(xue)，處于世界領(ling)先(xian)地(di)位，他(ta)通曉高(gao)(gao)次招差法公(gong)式(shi)，比西(xi)方(fang)早四(si)百年，中(zhong)外數學(xue)史家(jia)都(dou)高(gao)(gao)度(du)評(ping)價朱(zhu)世杰和(he)他(ta)的名著《四(si)元(yuan)玉鑒》。
從(cong)天元(yuan)術推廣到(dao)二元(yuan)、三元(yuan)和四(si)元(yuan)的(de)高(gao)(gao)(gao)次聯立方程組(zu)(zu)，是(shi)宋元(yuan)數學家的(de)又一(yi)項杰(jie)(jie)出(chu)的(de)創造(zao)。留傳至(zhi)今(jin)，并對這一(yi)杰(jie)(jie)出(chu)創造(zao)進行(xing)系統論述的(de)是(shi)朱世杰(jie)(jie)的(de)《四(si)元(yuan)玉鑒》。《四(si)元(yuan)玉鑒》成書(shu)于1303年。全書(shu)共(gong)3卷(juan)，24門，288問，主(zhu)要論述高(gao)(gao)(gao)次方程組(zu)(zu)的(de)解法（這也(ye)是(shi)朱世杰(jie)(jie)的(de)最大(da)貢獻(xian)）、高(gao)(gao)(gao)階等(deng)差級數求和以及高(gao)(gao)(gao)次內插法等(deng)內容。是(shi)流傳至(zhi)今(jin)且對四(si)元(yuan)術進行(xing)系統論述的(de)重要代表(biao)作。
在天(tian)元(yuan)術的(de)基礎(chu)上(shang)，朱(zhu)世(shi)(shi)杰建立了“四元(yuan)高(gao)次(ci)(ci)方(fang)程理(li)論”，他把常數項放(fang)在中央（即“太”），然后“立天(tian)元(yuan)一于下(xia)，地(di)(di)元(yuan)一于左，人元(yuan)一于右，物元(yuan)一于上(shang)”，“天(tian)、地(di)(di)、人、物”這(zhe)四“元(yuan)”代表未知(zhi)數，(即相當于如今(jin)的(de)x、y、z、w，)四元(yuan)的(de)各次(ci)(ci)冪放(fang)在上(shang)、下(xia)、左、右四個方(fang)向上(shang)，其它(ta)各項放(fang)在四個象限中。如果用現代的(de)x、y、z、w表示(shi)天(tian)、地(di)(di)、人、物，那(nei)我們可以把朱(zhu)世(shi)(shi)杰列高(gao)次(ci)(ci)多元(yuan)方(fang)程的(de)方(fang)法表示(shi)：而上(shang)面的(de)兩個圖形“四元(yuan)一次(ci)(ci)籌式”與“四元(yuan)二次(ci)(ci)籌式”所表示(shi)的(de)方(fang)程分別為：x+y+z+w=0
用上述方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)列出四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)高次方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)后(hou)(hou)，再(zai)聯立方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組進(jin)行解(jie)(jie)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組，方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)是用消(xiao)(xiao)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)解(jie)(jie)答,先擇一(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)為未知數，其它元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)組成(cheng)的多項(xiang)式(shi)作為這未知數的系數，然后(hou)(hou)把四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)四(si)式(shi)消(xiao)(xiao)去(qu)一(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，變(bian)成(cheng)三(san)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)三(san)式(shi)，再(zai)消(xiao)(xiao)去(qu)一(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)變(bian)二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)二(er)式(shi)，再(zai)消(xiao)(xiao)去(qu)一(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，就得(de)(de)到只含(han)一(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)的天元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)式(shi)，然后(hou)(hou)用增乘(cheng)開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)求得(de)(de)正(zheng)根。這是線性方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)組解(jie)(jie)法(fa)(fa)的重大(da)發展，在西方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)，較有系統地(di)研(yan)究(jiu)多元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)組要(yao)等(deng)到16世(shi)紀。高階等(deng)差級數求和與(yu)高次內(nei)插法(fa)(fa)也是《四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》的重要(yao)內(nei)容。由(you)許多求和問題(ti)中的一(yi)系列三(san)角垛公式(shi)可(ke)歸納得(de)(de)公式(shi)。朱世(shi)杰(jie)給(gei)出了上式(shi)中當(dang)p=1，2，……6時的公式(shi)。此外，還有其它高階等(deng)差級數求和公式(shi)。在招(zhao)差法(fa)(fa)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)面，朱世(shi)杰(jie)相當(dang)于給(gei)出了招(zhao)差公式(shi)，這比西方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)要(yao)早400多年。
美國著(zhu)名(ming)的(de)科學史家(jia)薩頓評(ping)論說：“朱世杰(jie)(jie)是(shi)(shi)他(ta)所生存時代的(de)，同時也(ye)(ye)是(shi)(shi)貫穿古今的(de)一位最(zui)杰(jie)(jie)出(chu)的(de)數(shu)(shu)學家(jia)”，《四元(yuan)玉鑒》是(shi)(shi)“中國數(shu)(shu)學著(zhu)作中最(zui)重要的(de)一部，同時也(ye)(ye)是(shi)(shi)整(zheng)個中世紀(ji)最(zui)杰(jie)(jie)出(chu)的(de)數(shu)(shu)學著(zhu)作之一。”朱世杰(jie)(jie)不(bu)(bu)僅是(shi)(shi)一名(ming)杰(jie)(jie)出(chu)的(de)數(shu)(shu)學家(jia)，他(ta)還是(shi)(shi)一位數(shu)(shu)學教(jiao)育家(jia)，曾周游四方各(ge)地，教(jiao)授生徒20余年。并親(qin)自編著(zhu)數(shu)(shu)學入門書，稱為《算(suan)學啟(qi)蒙》。在《算(suan)學啟(qi)蒙》卷下中，朱世杰(jie)(jie)提出(chu)已知勾弦和(he)、股(gu)弦和(he)求解勾股(gu)形(xing)的(de)方法，補(bu)充了《九章算(suan)術》的(de)不(bu)(bu)足。
“燕(yan)山朱(zhu)松庭先生(sheng)”，是(shi)(shi)元朝(chao)時(shi)代的(de)(de)一位杰出的(de)(de)數學(xue)(xue)家。所(suo)寫的(de)(de)《四元玉鑒》和《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙》，是(shi)(shi)中(zhong)國古代數學(xue)(xue)發展進(jin)程(cheng)中(zhong)的(de)(de)一個重要的(de)(de)里程(cheng)碑(bei)，是(shi)(shi)中(zhong)國古代數學(xue)(xue)的(de)(de)一份寶貴的(de)(de)遺產。13世(shi)紀中(zhong)葉，朱(zhu)世(shi)杰除了接(jie)受北(bei)方的(de)(de)數學(xue)(xue)成(cheng)就(jiu)之外，他也(ye)吸收了南(nan)方的(de)(de)數學(xue)(xue)成(cheng)就(jiu)，尤(you)其是(shi)(shi)各種(zhong)日(ri)用算(suan)法、商(shang)用算(suan)術和通(tong)俗化(hua)的(de)(de)歌訣等等。
朱世杰(jie)曾(ceng)“周(zhou)游(you)四(si)(si)方”，莫(mo)若（古代數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家）序(xu)中有“燕山松庭(ting)朱先(xian)生以(yi)(yi)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)名家周(zhou)游(you)湖海二十余年(nian)(nian)矣。四(si)(si)方之(zhi)來學(xue)(xue)(xue)者日眾，先(xian)生遂發明《九章》之(zhi)妙(miao)，以(yi)(yi)淑后圖(tu)學(xue)(xue)(xue)，為(wei)書(shu)三卷……名曰《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》”，祖頤后序(xu)中亦有“漢卿名世杰(jie)，松庭(ting)其(qi)自號也。周(zhou)流四(si)(si)方，復游(you)廣陵，踵門而學(xue)(xue)(xue)者云集”。經過長期的游(you)學(xue)(xue)(xue)、講學(xue)(xue)(xue)等活動，終于在(zai)1299年(nian)(nian)和1303年(nian)(nian)，在(zai)揚(yang)州，刊刻了他的兩部數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)杰(jie)作——《算學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》和《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》。楊輝書(shu)中的歸除歌(ge)訣(jue)在(zai)朱世杰(jie)所著(zhu)《算學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》中有了進一步的發展。
清羅(luo)士(shi)琳(lin)認為：“漢卿(qing)(qing)在宋元(yuan)間(jian)，與秦(qin)(qin)道(dao)古(gu)（即秦(qin)(qin)九韶）、李(li)(li)仁卿(qing)(qing)可稱鼎足而(er)三。道(dao)古(gu)正負(fu)開(kai)(kai)方，漢卿(qing)(qing)天元(yuan)如積(ji)皆足上(shang)(shang)下千古(gu)，漢卿(qing)(qing)又兼(jian)包(bao)眾有(you)，充類盡量，神而(er)明之(zhi)(zhi)，尤超越乎(hu)秦(qin)(qin)、李(li)(li)之(zhi)(zhi)上(shang)(shang)”。清代數學(xue)家王鑒也說：“朱(zhu)松庭(ting)先生兼(jian)秦(qin)(qin)、李(li)(li)之(zhi)(zhi)所長，成一家之(zhi)(zhi)著作”。朱(zhu)世杰全面繼承了并(bing)創造(zao)性地發(fa)揚(yang)了天元(yuan)術、正負(fu)開(kai)(kai)方法(fa)等秦(qin)(qin)、李(li)(li)書中所載的(de)數學(xue)成就之(zhi)(zhi)外，還(huan)囊括了楊輝書中的(de)日用(yong)(yong)、商用(yong)(yong)、歸除歌訣之(zhi)(zhi)類與當時(shi)社(she)會(hui)生活(huo)密切相關的(de)各種算法(fa)，并(bing)作了新的(de)發(fa)展。
