朱世杰(jie)“以數學名家(jia)周(zhou)游湖(hu)海二十余年”,“踵門而學者云集”(莫若、祖頤(yi):《四元玉鑒》后序(xu))。
宋元時(shi)(shi)期(qi),中(zhong)國數(shu)學鼎盛時(shi)(shi)期(qi)中(zhong)杰(jie)出的數(shu)學家有“秦(qin)九(jiu)韶、李冶、楊輝、朱(zhu)(zhu)世杰(jie)四大家”,朱(zhu)(zhu)世杰(jie)就是其中(zhong)之一。朱(zhu)(zhu)世杰(jie)是一位平(ping)民(min)數(shu)學家和數(shu)學教(jiao)育家。朱(zhu)(zhu)世杰(jie)平(ping)生(sheng)勤力研習(xi)《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》,旁通其它各種算(suan)法,成為(wei)元代(dai)著名數(shu)學家。
元(yuan)統一(yi)中(zhong)國(guo)后(hou)(hou),朱世杰曾以數學(xue)(xue)家的(de)(de)身份周游(you)各地20余年,向他求學(xue)(xue)的(de)(de)人(ren)(ren)很多,他到廣陵(今揚州)時(shi)“踵門(men)而學(xue)(xue)者云集(ji)”。他全面繼(ji)承了(le)前人(ren)(ren)數學(xue)(xue)成果,既吸收了(le)北方(fang)的(de)(de)天(tian)元(yuan)術(shu),又吸收了(le)南(nan)方(fang)的(de)(de)正負開方(fang)術(shu)、各種日(ri)用算(suan)法(fa)及(ji)通(tong)俗歌訣,在此基礎上(shang)進行了(le)創造(zao)性的(de)(de)研(yan)究,寫(xie)(xie)成以總結和普及(ji)當時(shi)各種數學(xue)(xue)知識為宗旨的(de)(de)《算(suan)學(xue)(xue)啟(qi)蒙》(3卷),又寫(xie)(xie)成四元(yuan)術(shu)的(de)(de)代表(biao)作--《四元(yuan)玉鑒》(3卷),先(xian)后(hou)(hou)于:1299年和1303年刊(kan)印(yin).《算(suan)學(xue)(xue)啟(qi)蒙》由淺(qian)入深,從一(yi)位數乘法(fa)開始,一(yi)直講到當時(shi)的(de)(de)最(zui)新數學(xue)(xue)成果――天(tian)元(yuan)術(shu),形成一(yi)個完整體系。
書中明確提出(chu)正負(fu)數(shu)乘法(fa)(fa)法(fa)(fa)則,給出(chu)倒數(shu)的(de)(de)概(gai)念和(he)基本(ben)性質,概(gai)括出(chu)若干(gan)新的(de)(de)乘法(fa)(fa)公式和(he)根式運算法(fa)(fa)則,總結了若干(gan)乘除捷算口(kou)訣,并把設輔助未知數(shu)的(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)用于解線(xian)性方(fang)程組.《四元(yuan)玉鑒》的(de)(de)主(zhu)要內容是(shi)四元(yuan)術(shu),即多元(yuan)高次方(fang)程組的(de)(de)建立(li)和(he)求解方(fang)法(fa)(fa).秦九韶的(de)(de)高次方(fang)程數(shu)值解法(fa)(fa)和(he)李冶的(de)(de)天元(yuan)術(shu)都被(bei)包含(han)在內.
在(zai)宋元(yuan)(yuan)(yuan)時期的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)群(qun)英中,朱世(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)具有(you)(you)特殊重要(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)意(yi)義.如(ru)果把諸(zhu)多數(shu)(shu)學(xue)家比作(zuo)群(qun)山(shan),則朱世(shi)杰(jie)(jie)是最(zui)高(gao)大、最(zui)雄偉的(de)(de)(de)(de)(de)山(shan)峰(feng).站在(zai)朱世(shi)杰(jie)(jie)數(shu)(shu)學(xue)思(si)想的(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)度(du)俯嫩傳統數(shu)(shu)學(xue),會有(you)(you)"一覽眾山(shan)小"之感.來世(shi)杰(jie)(jie)工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)(de)意(yi)義就(jiu)(jiu)在(zai)于(yu)總(zong)結了(le)宋元(yuan)(yuan)(yuan)數(shu)(shu)學(xue),使(shi)之在(zai)理論上(shang)達(da)到新(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)高(gao)度(du).這主要(yao)表現(xian)在(zai)以下(xia)三個(ge)領域.首先是方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)理論.在(zai)列方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)面(mian)(mian),蔣周的(de)(de)(de)(de)(de)演段(duan)法(fa)為(wei)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)作(zuo)了(le)準備工作(zuo),他(ta)已具有(you)(you)尋(xun)找等值多項式的(de)(de)(de)(de)(de)思(si)想,洞(dong)淵(yuan)馬與信道是天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)先驅,但(dan)他(ta)們推導方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)仍受幾(ji)何思(si)維(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)束縛(fu),李(li)冶基(ji)(ji)本上(shang)擺脫(tuo)了(le)這種束縛(fu),總(zong)結出(chu)(chu)一套固定的(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)程(cheng)(cheng)(cheng)序,使(shi)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)進入(ru)成熟階段(duan).在(zai)解(jie)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)面(mian)(mian),賈(jia)憲給出(chu)(chu)增乘開(kai)方(fang)(fang)法(fa),劉益則用正負開(kai)方(fang)(fang)術(shu)求(qiu)出(chu)(chu)四(si)(si)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)正根,秦九韶在(zai)此(ci)基(ji)(ji)礎上(shang)解(jie)決了(le)高(gao)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)值解(jie)法(fa)問題.至此(ci),一元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)建(jian)立和(he)求(qiu)解(jie)都已實現(xian).而線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組(zu)古已有(you)(you)之,所以具備了(le)多元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組(zu)產(chan)生的(de)(de)(de)(de)(de)條件.李(li)德載的(de)(de)(de)(de)(de)二元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)和(he)劉大鑒的(de)(de)(de)(de)(de)三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)相繼出(chu)(chu)現(xian),朱世(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)正是對二元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)、三元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)總(zong)結與提高(gao).由(you)于(yu)四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)已把常數(shu)(shu)項的(de)(de)(de)(de)(de)上(shang)下(xia)左右占(zhan)滿(man),方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)理論發展到這里,顯然就(jiu)(jiu)告一段(duan)落了(le).從方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)種類看,天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)產(chan)生之前的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)都是整式方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)。
從洞淵到李冶,分(fen)式(shi)方程(cheng)逐漸得(de)到發(fa)展.而朱(zhu)(zhu)(zhu)(zhu)世(shi)杰,則(ze)突破了(le)有理(li)式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)限制,開(kai)始(shi)處理(li)無理(li)方程(cheng).其(qi)次是(shi)高(gao)(gao)階等(deng)差(cha)級(ji)(ji)(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究.沈(shen)括的(de)(de)(de)(de)(de)隙積(ji)(ji)術(shu)開(kai)研(yan)究高(gao)(gao)階等(deng)差(cha)級(ji)(ji)(ji)數(shu)(shu)之(zhi)先河,楊輝給出(chu)包括隙積(ji)(ji)術(shu)在(zai)(zai)內(nei)(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)系列二(er)階等(deng)差(cha)級(ji)(ji)(ji)數(shu)(shu)求和公(gong)式(shi).朱(zhu)(zhu)(zhu)(zhu)世(shi)杰則(ze)在(zai)(zai)此基(ji)(ji)礎上(shang)依次研(yan)究了(le)二(er)階、三階、四階乃至(zhi)五(wu)階等(deng)差(cha)級(ji)(ji)(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)求和問題(ti),從而發(fa)現(xian)其(qi)規律,掌握(wo)了(le)三角垛統一(yi)公(gong)式(shi).他(ta)還發(fa)現(xian)了(le)垛積(ji)(ji)術(shu)與內(nei)(nei)插(cha)法的(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)(nei)在(zai)(zai)聯(lian)系,利用垛積(ji)(ji)公(gong)式(shi)給出(chu)規范的(de)(de)(de)(de)(de)四次內(nei)(nei)插(cha)公(gong)式(shi).第三是(shi)幾(ji)(ji)何(he)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究.宋代以(yi)前(qian),幾(ji)(ji)何(he)研(yan)究離不(bu)(bu)開(kai)勾(gou)股(gu)和面積(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji).蔣周的(de)(de)(de)(de)(de)《益古集(ji)》也是(shi)以(yi)面積(ji)(ji)問題(ti)為(wei)研(yan)究對象的(de)(de)(de)(de)(de).李冶開(kai)始(shi)注意到圓城(cheng)因式(shi)中(zhong)各元素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系,得(de)到一(yi)些(xie)定理(li),但未能(neng)推(tui)廣到更(geng)(geng)一(yi)般的(de)(de)(de)(de)(de)情形(xing)(xing).朱(zhu)(zhu)(zhu)(zhu)世(shi)杰不(bu)(bu)僅總結了(le)前(qian)人的(de)(de)(de)(de)(de)勾(gou)股(gu)及(ji)求積(ji)(ji)理(li)論,而且在(zai)(zai)李冶思想的(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)(ji)礎上(shang)更(geng)(geng)進(jin)一(yi)步,深入研(yan)究了(le)勾(gou)股(gu)形(xing)(xing)內(nei)(nei)及(ji)圓內(nei)(nei)各幾(ji)(ji)何(he)元素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)量(liang)關(guan)系,發(fa)現(xian)了(le)兩個重要(yao)定理(li)--射影定理(li)和弦冪定理(li).他(ta)在(zai)(zai)立體(ti)幾(ji)(ji)何(he)中(zhong)也開(kai)始(shi)注意到圖形(xing)(xing)內(nei)(nei)各元素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系.朱(zhu)(zhu)(zhu)(zhu)世(shi)杰的(de)(de)(de)(de)(de)工作,使得(de)幾(ji)(ji)何(he)研(yan)究的(de)(de)(de)(de)(de)對象由圖形(xing)(xing)整體(ti)深入到圖形(xing)(xing)內(nei)(nei)部,體(ti)現(xian)了(le)數(shu)(shu)學(xue)思想的(de)(de)(de)(de)(de)進(jin)步。
朱世(shi)杰(jie)(jie)長期(qi)從事數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)研究和教育事業,以數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)名家周游各地(di)20多(duo)年,四(si)方(fang)登(deng)門(men)來學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)習(xi)的人(ren)很(hen)多(duo)。朱世(shi)杰(jie)(jie)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)代表作有《算(suan)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)啟蒙》(1299)和《四(si)元玉鑒》(1303)。《算(suan)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)啟蒙》是(shi)一(yi)部通俗數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)名著,曾流(liu)傳海外,影響了朝鮮、日本數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)的發展。《四(si)元玉鑒》則是(shi)中(zhong)國宋元數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)高峰的又(you)一(yi)個標志,其中(zhong)最(zui)杰(jie)(jie)出的數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)創(chuang)作有“四(si)元術”(多(duo)元高次方(fang)程(cheng)列(lie)式與消元解法)、“垛(duo)積法”(高階(jie)等差數(shu)列(lie)求和)與“招(zhao)差術”(高次內(nei)插法)。
朱世(shi)杰在數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)科學(xue)(xue)上,全面地繼承了秦九韶、李冶、楊輝(hui)的(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成(cheng)(cheng)就,并給予(yu)創(chuang)造性的(de)發展(zhan),寫出了《算(suan)(suan)(suan)學(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》、《四(si)元(yuan)玉鑒》等著名作(zuo)品,把我(wo)國(guo)(guo)古代(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)推(tui)向(xiang)更(geng)高(gao)(gao)的(de)境(jing)界,形成(cheng)(cheng)宋元(yuan)時(shi)期中國(guo)(guo)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)最高(gao)(gao)峰(feng)。《算(suan)(suan)(suan)學(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》是朱世(shi)杰在元(yuan)成(cheng)(cheng)宗大德(de)三年(1299)刊(kan)印的(de),全書共三卷,20門,總計(ji)259個問(wen)題和相應的(de)解(jie)答。這部書從乘除運算(suan)(suan)(suan)起,一直講到當時(shi)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)發展(zhan)的(de)最高(gao)(gao)成(cheng)(cheng)就“天元(yuan)術(shu)”,全面介紹了當時(shi)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)所(suo)包含的(de)各方面內容(rong)。
它的(de)(de)(de)體系(xi)完整,內容深入淺出(chu),通(tong)俗易懂,是一部很著(zhu)名的(de)(de)(de)啟蒙讀物。這(zhe)部著(zhu)作后來(lai)流傳(chuan)到朝鮮、日本(ben)等(deng)國,出(chu)版過翻(fan)刻(ke)本(ben)和(he)注釋本(ben),產生過一定的(de)(de)(de)影響。而(er)《四元(yuan)玉鑒》更是一部成就輝煌的(de)(de)(de)數學名著(zhu)。它受到近代(dai)數學史(shi)研(yan)究(jiu)者(zhe)的(de)(de)(de)高度評價,認(ren)為是中國古代(dai)數學科學著(zhu)作中最重(zhong)要的(de)(de)(de)、最有貢獻的(de)(de)(de)一部數學名著(zhu)。《四元(yuan)玉鑒》成書(shu)于大德七年(1303),共(gong)三卷,24門,288問,介(jie)紹了朱世杰在多元(yuan)高次方程(cheng)組的(de)(de)(de)解(jie)法——四元(yuan)術(shu),以(yi)及高階等(deng)差級數的(de)(de)(de)計(ji)算——垛(duo)積術(shu)、招差術(shu)等(deng)方面的(de)(de)(de)研(yan)究(jiu)和(he)成果。
“天元(yuan)術”是設(she)“天元(yuan)為某(mou)某(mou)”,即某(mou)某(mou)為x。但當未知數不止(zhi)一個(ge)的(de)時候,除設(she)未知數天元(yuan)(x)外,還需設(she)地元(yuan)(y)、人元(yuan)(z)及物元(yuan)(u),再列出(chu)二(er)元(yuan)、三(san)(san)元(yuan)甚至四(si)元(yuan)的(de)高次聯方程組,然后(hou)求解。這(zhe)在歐(ou)洲,解聯立一次方程開(kai)始(shi)于16世(shi)紀,關于多元(yuan)高次聯立方程的(de)研究(jiu)還是18至19世(shi)紀的(de)事了(le)(le)。朱(zhu)世(shi)杰的(de)另一重大貢獻是對于“垛(duo)(duo)積術”的(de)研究(jiu)。他對于一系(xi)列新的(de)垛(duo)(duo)形的(de)級數求和(he)問題(ti)作了(le)(le)研究(jiu),從中歸納為“三(san)(san)角垛(duo)(duo)”的(de)公式,實際上得到(dao)了(le)(le)這(zhe)一類任意高階等差(cha)級數求和(he)問題(ti)的(de)系(xi)統、普(pu)遍的(de)解法。朱(zhu)世(shi)杰還把(ba)三(san)(san)角垛(duo)(duo)公式引(yin)用到(dao)“招差(cha)術”中,指(zhi)出(chu)招差(cha)公式中的(de)系(xi)數恰好依次是各三(san)(san)角垛(duo)(duo)的(de)積,這(zhe)樣就得到(dao)了(le)(le)包含有四(si)次差(cha)的(de)招差(cha)公式。
他(ta)還把(ba)這(zhe)個招差(cha)公(gong)式(shi)推廣為(wei)包含任意高次(ci)差(cha)的(de)(de)(de)(de)招差(cha)公(gong)式(shi),這(zhe)在(zai)世(shi)界(jie)數學(xue)史(shi)上(shang)(shang)是(shi)(shi)(shi)第一(yi)(yi)次(ci),比(bi)歐洲(zhou)牛頓(dun)的(de)(de)(de)(de)同(tong)樣成就要早近4個世(shi)紀(ji)。正(zheng)因為(wei)如此,朱世(shi)杰(jie)(jie)和他(ta)的(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作《四(si)元(yuan)(yuan)玉鑒》才(cai)享有(you)巨大的(de)(de)(de)(de)國(guo)(guo)際聲譽。近代(dai)日本、法(fa)國(guo)(guo)、美(mei)國(guo)(guo)、比(bi)利時以及亞、歐、美(mei)許多(duo)國(guo)(guo)家(jia)(jia)(jia)都有(you)人向本國(guo)(guo)介紹《四(si)元(yuan)(yuan)玉鑒》。美(mei)國(guo)(guo)已故的(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)名的(de)(de)(de)(de)科學(xue)史(shi)家(jia)(jia)(jia)薩頓(dun)是(shi)(shi)(shi)這(zhe)樣評說朱世(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de):“(朱世(shi)杰(jie)(jie))是(shi)(shi)(shi)中(zhong)(zhong)華(hua)民族的(de)(de)(de)(de)、他(ta)所生活(huo)的(de)(de)(de)(de)時代(dai)的(de)(de)(de)(de)、同(tong)時也是(shi)(shi)(shi)貫穿古今的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)位最(zui)杰(jie)(jie)出的(de)(de)(de)(de)數學(xue)科學(xue)家(jia)(jia)(jia)。”“《四(si)元(yuan)(yuan)玉鑒》是(shi)(shi)(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)(guo)數學(xue)著(zhu)(zhu)作中(zhong)(zhong)最(zui)重要的(de)(de)(de)(de),同(tong)時也是(shi)(shi)(shi)中(zhong)(zhong)世(shi)紀(ji)最(zui)杰(jie)(jie)出的(de)(de)(de)(de)數學(xue)著(zhu)(zhu)作之一(yi)(yi)。它是(shi)(shi)(shi)世(shi)界(jie)數學(xue)寶庫中(zhong)(zhong)不(bu)可多(duo)得的(de)(de)(de)(de)瑰寶。”從此中(zhong)(zhong)可以看(kan)出,宋元(yuan)(yuan)時期的(de)(de)(de)(de)科學(xue)家(jia)(jia)(jia)及其著(zhu)(zhu)作,在(zai)世(shi)界(jie)數學(xue)史(shi)上(shang)(shang)起(qi)到了不(bu)可估量的(de)(de)(de)(de)作用。
朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)的(de)(de)(de)主要貢獻是創造了(le)一(yi)套完整的(de)(de)(de)消(xiao)未知數(shu)方(fang)(fang)法(fa),稱(cheng)(cheng)為四元消(xiao)法(fa).這種方(fang)(fang)法(fa)在世(shi)(shi)界上長期處于領先地位,直到18世(shi)(shi)紀,法(fa)國(guo)(guo)數(shu)學家(jia)貝祖(Bezout)提出一(yi)般(ban)的(de)(de)(de)高(gao)次方(fang)(fang)程(cheng)組解法(fa),才超過朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)。除了(le)四元術(shu)以外(wai),《四元玉鑒》中(zhong)還有兩項重要成就,即創立了(le)一(yi)般(ban)的(de)(de)(de)高(gao)階等差級數(shu)求(qiu)和公式(shi)及等間距四次內插(cha)法(fa)公式(shi),后者通常稱(cheng)(cheng)為招(zhao)差術(shu).此書(shu)代表著宋元數(shu)學的(de)(de)(de)最高(gao)水平,美(mei)國(guo)(guo)科(ke)學史家(jia)薩頓(G.Sarton)稱(cheng)(cheng)贊它“是中(zhong)國(guo)(guo)數(shu)學著作(zuo)中(zhong)最重要的(de)(de)(de)一(yi)部,同時(shi)也是中(zhong)世(shi)(shi)紀的(de)(de)(de)杰(jie)出數(shu)學著作(zuo)之一(yi)”。朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)處于中(zhong)國(guo)(guo)傳統(tong)數(shu)學發展的(de)(de)(de)鼎盛時(shi)期,當時(shi)社會上“尊崇算學,科(ke)目漸(jian)興”,數(shu)學著作(zuo)廣為傳播。
對多(duo)(duo)元高(gao)次方(fang)程組解(jie)法(fa)(fa)(fa)、高(gao)階等差級數求和(he),高(gao)次內插法(fa)(fa)(fa)都(dou)有(you)(you)深入研究,他著有(you)(you)《算學啟(qi)蒙》(1299年)、《四(si)(si)(si)元玉鑒(jian)》(1303年)各3卷(juan),在后者中(zhong)(zhong)討論(lun)了多(duo)(duo)達四(si)(si)(si)元的高(gao)次聯立方(fang)程組解(jie)法(fa)(fa)(fa),聯系在一(yi)起的多(duo)(duo)項式(shi)(shi)的表(biao)達和(he)運算以(yi)及消(xiao)去法(fa)(fa)(fa),已接(jie)近近世代數學,處于世界領先地(di)位,他通(tong)曉高(gao)次招差法(fa)(fa)(fa)公(gong)式(shi)(shi),比(bi)西方(fang)早四(si)(si)(si)百年,中(zhong)(zhong)外數學史家都(dou)高(gao)度評價朱世杰和(he)他的名著《四(si)(si)(si)元玉鑒(jian)》。
從(cong)天元術推(tui)廣到二元、三(san)元和四元的(de)(de)高(gao)次聯立方程(cheng)組,是(shi)宋元數(shu)(shu)學家的(de)(de)又一(yi)項杰(jie)出的(de)(de)創(chuang)造(zao)。留傳至今,并(bing)對這一(yi)杰(jie)出創(chuang)造(zao)進行(xing)系統(tong)論(lun)述(shu)的(de)(de)是(shi)朱(zhu)世(shi)杰(jie)的(de)(de)《四元玉鑒(jian)》。《四元玉鑒(jian)》成(cheng)書于1303年。全(quan)書共3卷,24門,288問,主要論(lun)述(shu)高(gao)次方程(cheng)組的(de)(de)解法(這也是(shi)朱(zhu)世(shi)杰(jie)的(de)(de)最大貢(gong)獻)、高(gao)階(jie)等(deng)差級數(shu)(shu)求和以(yi)及高(gao)次內插法等(deng)內容。是(shi)流傳至今且(qie)對四元術進行(xing)系統(tong)論(lun)述(shu)的(de)(de)重要代表作。
在天(tian)元(yuan)術的基(ji)礎(chu)上(shang),朱世杰建立了(le)“四(si)(si)元(yuan)高(gao)次方(fang)程(cheng)理論”,他把(ba)常數項(xiang)放在中央(即(ji)“太(tai)”),然后“立天(tian)元(yuan)一(yi)于(yu)下(xia),地(di)元(yuan)一(yi)于(yu)左,人元(yuan)一(yi)于(yu)右(you),物(wu)(wu)(wu)元(yuan)一(yi)于(yu)上(shang)”,“天(tian)、地(di)、人、物(wu)(wu)(wu)”這四(si)(si)“元(yuan)”代(dai)表(biao)未知數,(即(ji)相(xiang)當于(yu)如今的x、y、z、w,)四(si)(si)元(yuan)的各次冪(mi)放在上(shang)、下(xia)、左、右(you)四(si)(si)個方(fang)向上(shang),其它(ta)各項(xiang)放在四(si)(si)個象限中。如果用現代(dai)的x、y、z、w表(biao)示天(tian)、地(di)、人、物(wu)(wu)(wu),那我(wo)們可(ke)以把(ba)朱世杰列高(gao)次多元(yuan)方(fang)程(cheng)的方(fang)法表(biao)示:而上(shang)面(mian)的兩個圖形“四(si)(si)元(yuan)一(yi)次籌(chou)式(shi)”與(yu)“四(si)(si)元(yuan)二次籌(chou)式(shi)”所表(biao)示的方(fang)程(cheng)分別為(wei):x+y+z+w=0
用上述方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)列出四元(yuan)(yuan)(yuan)高次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)后,再(zai)聯立方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)進行解(jie)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu),方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)是用消元(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)解(jie)答(da),先擇一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)為未知數,其它(ta)元(yuan)(yuan)(yuan)組(zu)成(cheng)的(de)(de)(de)多(duo)項式(shi)作(zuo)為這(zhe)未知數的(de)(de)(de)系(xi)數,然(ran)后把四元(yuan)(yuan)(yuan)四式(shi)消去(qu)一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan),變成(cheng)三元(yuan)(yuan)(yuan)三式(shi),再(zai)消去(qu)一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)變二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)二(er)式(shi),再(zai)消去(qu)一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan),就(jiu)得(de)到只(zhi)含一(yi)(yi)元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)(de)(de)天元(yuan)(yuan)(yuan)開方(fang)(fang)(fang)式(shi),然(ran)后用增(zeng)乘開方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)求(qiu)得(de)正根。這(zhe)是線(xian)性方(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)組(zu)解(jie)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)重大發展,在西(xi)方(fang)(fang)(fang),較有系(xi)統地研究多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)組(zu)要等(deng)(deng)到16世紀。高階等(deng)(deng)差級數求(qiu)和與高次內插(cha)法(fa)(fa)也是《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉(yu)鑒》的(de)(de)(de)重要內容。由許多(duo)求(qiu)和問題中的(de)(de)(de)一(yi)(yi)系(xi)列三角垛公式(shi)可歸納得(de)公式(shi)。朱世杰給(gei)出了上式(shi)中當(dang)p=1,2,……6時的(de)(de)(de)公式(shi)。此外,還有其它(ta)高階等(deng)(deng)差級數求(qiu)和公式(shi)。在招(zhao)差法(fa)(fa)方(fang)(fang)(fang)面(mian),朱世杰相當(dang)于給(gei)出了招(zhao)差公式(shi),這(zhe)比西(xi)方(fang)(fang)(fang)要早400多(duo)年。
美國(guo)著(zhu)名(ming)的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)史家(jia)(jia)薩頓評論說:“朱(zhu)(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)是(shi)他所生存時(shi)代的(de)(de),同時(shi)也是(shi)貫穿古今(jin)的(de)(de)一位最杰(jie)出的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)”,《四(si)元玉(yu)鑒》是(shi)“中(zhong)國(guo)數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作(zuo)(zuo)中(zhong)最重(zhong)要(yao)的(de)(de)一部,同時(shi)也是(shi)整(zheng)個(ge)中(zhong)世(shi)(shi)紀最杰(jie)出的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作(zuo)(zuo)之一。”朱(zhu)(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)不(bu)僅是(shi)一名(ming)杰(jie)出的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia),他還是(shi)一位數(shu)學(xue)(xue)教育家(jia)(jia),曾周(zhou)游四(si)方各地,教授生徒20余年。并親自編著(zhu)數(shu)學(xue)(xue)入門書,稱為《算學(xue)(xue)啟蒙》。在《算學(xue)(xue)啟蒙》卷下中(zhong),朱(zhu)(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)提出已(yi)知勾弦和(he)、股弦和(he)求解勾股形的(de)(de)方法,補充了《九章算術》的(de)(de)不(bu)足。
“燕山(shan)朱(zhu)松庭(ting)先(xian)生(sheng)”,是(shi)元朝時代的(de)(de)一(yi)位杰出的(de)(de)數學家(jia)。所寫的(de)(de)《四元玉鑒》和《算學啟蒙》,是(shi)中國古代數學發展(zhan)進(jin)程中的(de)(de)一(yi)個重(zhong)要(yao)的(de)(de)里程碑,是(shi)中國古代數學的(de)(de)一(yi)份寶貴的(de)(de)遺(yi)產。13世紀中葉,朱(zhu)世杰除了(le)接受北(bei)方的(de)(de)數學成(cheng)就之(zhi)外,他也吸收了(le)南方的(de)(de)數學成(cheng)就,尤其(qi)是(shi)各種(zhong)日用算法、商用算術和通俗化的(de)(de)歌(ge)訣等等。
朱(zhu)世杰(jie)(jie)曾“周(zhou)游(you)四方(fang)”,莫(mo)若(古代數(shu)學(xue)(xue)(xue)家)序中(zhong)(zhong)有“燕山松(song)庭(ting)朱(zhu)先(xian)生以數(shu)學(xue)(xue)(xue)名家周(zhou)游(you)湖(hu)海二十余(yu)年(nian)矣。四方(fang)之(zhi)來學(xue)(xue)(xue)者日(ri)眾(zhong),先(xian)生遂發明《九章(zhang)》之(zhi)妙,以淑后圖學(xue)(xue)(xue),為書(shu)三卷(juan)……名曰《四元玉鑒》”,祖頤后序中(zhong)(zhong)亦有“漢卿名世杰(jie)(jie),松(song)庭(ting)其自號也。周(zhou)流(liu)四方(fang),復游(you)廣(guang)陵,踵門(men)而學(xue)(xue)(xue)者云集”。經過長(chang)期的游(you)學(xue)(xue)(xue)、講學(xue)(xue)(xue)等(deng)活動,終于(yu)在(zai)1299年(nian)和1303年(nian),在(zai)揚州,刊刻了他(ta)的兩(liang)部數(shu)學(xue)(xue)(xue)杰(jie)(jie)作(zuo)——《算學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》和《四元玉鑒》。楊輝書(shu)中(zhong)(zhong)的歸(gui)除歌訣在(zai)朱(zhu)世杰(jie)(jie)所著(zhu)《算學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》中(zhong)(zhong)有了進一步的發展。
清(qing)羅(luo)士琳認為:“漢(han)卿(qing)在(zai)宋元間(jian),與秦(qin)(qin)道(dao)古(即秦(qin)(qin)九韶)、李仁卿(qing)可稱(cheng)鼎足而三(san)。道(dao)古正負(fu)開方,漢(han)卿(qing)天元如(ru)積皆足上下(xia)千古,漢(han)卿(qing)又兼包眾有,充(chong)類盡量,神而明(ming)之(zhi),尤超越乎秦(qin)(qin)、李之(zhi)上”。清(qing)代數(shu)學(xue)家王鑒也說:“朱(zhu)松庭(ting)先生兼秦(qin)(qin)、李之(zhi)所(suo)長,成一家之(zhi)著作(zuo)”。朱(zhu)世杰(jie)全(quan)面繼承了并創造(zao)性地發揚了天元術、正負(fu)開方法等秦(qin)(qin)、李書中所(suo)載的(de)數(shu)學(xue)成就(jiu)之(zhi)外,還囊括了楊(yang)輝書中的(de)日(ri)用、商用、歸(gui)除歌訣之(zhi)類與當時(shi)社(she)會生活(huo)密(mi)切相關的(de)各種算法,并作(zuo)了新的(de)發展。