《九(jiu)章算術(shu)》約(yue)成書于東漢之初，共有246個(ge)問(wen)題的(de)解(jie)法(fa)。在(zai)許(xu)多方面：如(ru)解(jie)聯立方程，分數(shu)(shu)四則運算，正負數(shu)(shu)運算，幾何(he)圖形(xing)的(de)體(ti)積面積計算等，都屬于世界(jie)先(xian)進之列。劉徽(hui)在(zai)曹魏(wei)景初四年注《九(jiu)章算術(shu)注》。
但因解(jie)(jie)法(fa)比較(jiao)原始，缺乏必(bi)要(yao)的(de)(de)(de)證(zheng)(zheng)明，劉徽(hui)則(ze)(ze)對此均作了(le)(le)(le)補充證(zheng)(zheng)明。在(zai)這(zhe)些證(zheng)(zheng)明中(zhong)(zhong)，顯示了(le)(le)(le)他(ta)(ta)在(zai)眾多(duo)方(fang)面的(de)(de)(de)創(chuang)造性貢獻。他(ta)(ta)是世界上(shang)最(zui)早提出(chu)(chu)十進小(xiao)數概(gai)念的(de)(de)(de)人，并用(yong)十進小(xiao)數來(lai)表示無理數的(de)(de)(de)立方(fang)根。在(zai)代(dai)數方(fang)面，他(ta)(ta)正(zheng)(zheng)(zheng)確地提出(chu)(chu)了(le)(le)(le)正(zheng)(zheng)(zheng)負數的(de)(de)(de)概(gai)念及其加減運算的(de)(de)(de)法(fa)則(ze)(ze)，改進了(le)(le)(le)線性方(fang)程組的(de)(de)(de)解(jie)(jie)法(fa)。在(zai)幾何方(fang)面，提出(chu)(chu)了(le)(le)(le)"割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)"，即將圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)用(yong)內接或外切正(zheng)(zheng)(zheng)多(duo)邊(bian)形(xing)(xing)(xing)窮(qiong)竭(jie)的(de)(de)(de)一(yi)種求(qiu)圓(yuan)(yuan)(yuan)面積和(he)圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)長的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)。他(ta)(ta)利用(yong)割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)科學地求(qiu)出(chu)(chu)了(le)(le)(le)圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)率π=3.1416的(de)(de)(de)結(jie)果。他(ta)(ta)用(yong)割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)，從直徑為2尺(chi)的(de)(de)(de)圓(yuan)(yuan)(yuan)內接正(zheng)(zheng)(zheng)六(liu)邊(bian)形(xing)(xing)(xing)開始割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)，依次得正(zheng)(zheng)(zheng)12邊(bian)形(xing)(xing)(xing)、正(zheng)(zheng)(zheng)24邊(bian)形(xing)(xing)(xing)……，割(ge)得越細(xi)(xi)，正(zheng)(zheng)(zheng)多(duo)邊(bian)形(xing)(xing)(xing)面積和(he)圓(yuan)(yuan)(yuan)面積之(zhi)(zhi)差越小(xiao)，用(yong)他(ta)(ta)的(de)(de)(de)原話(hua)說是“割(ge)之(zhi)(zhi)彌(mi)細(xi)(xi)，所(suo)失彌(mi)少(shao)，割(ge)之(zhi)(zhi)又(you)割(ge)，以至(zhi)于不可割(ge)，則(ze)(ze)與圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)合體而無所(suo)失矣(yi)。”他(ta)(ta)計(ji)算了(le)(le)(le)3072邊(bian)形(xing)(xing)(xing)面積并驗證(zheng)(zheng)了(le)(le)(le)這(zhe)個值(zhi)。劉徽(hui)提出(chu)(chu)的(de)(de)(de)計(ji)算圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)率的(de)(de)(de)科學方(fang)法(fa)，奠定了(le)(le)(le)此后千余年來(lai)中(zhong)(zhong)國圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)率計(ji)算在(zai)世界上(shang)的(de)(de)(de)領先地位(wei)。
劉徽(hui)在(zai)數(shu)學(xue)上的(de)(de)(de)(de)(de)貢獻極多，在(zai)開方不盡的(de)(de)(de)(de)(de)問題(ti)(ti)中(zhong)提(ti)(ti)出“求徽(hui)數(shu)”的(de)(de)(de)(de)(de)思想，這(zhe)方法(fa)與(yu)后來求無理根的(de)(de)(de)(de)(de)近似(si)值(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)一(yi)致，它不僅是(shi)圓周率精確(que)計(ji)算的(de)(de)(de)(de)(de)必(bi)要條件，而(er)且促進了十進小數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)產生；在(zai)線性方程(cheng)(cheng)(cheng)組解法(fa)中(zhong)，他創造了比直除法(fa)更簡便的(de)(de)(de)(de)(de)互乘相消法(fa)，與(yu)現今解法(fa)基(ji)本一(yi)致；并(bing)在(zai)中(zhong)國數(shu)學(xue)史上第一(yi)次提(ti)(ti)出了“不定(ding)(ding)方程(cheng)(cheng)(cheng)問題(ti)(ti)”；他還(huan)建(jian)立(li)了等差級數(shu)前n項和(he)公式；提(ti)(ti)出并(bing)定(ding)(ding)義(yi)了許多數(shu)學(xue)概念：如冪（面積）；方程(cheng)(cheng)(cheng)（線性方程(cheng)(cheng)(cheng)組）；正(zheng)負數(shu)等等．劉徽(hui)還(huan)提(ti)(ti)出了許多公認正(zheng)確(que)的(de)(de)(de)(de)(de)判(pan)斷作(zuo)為證(zheng)(zheng)明(ming)(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)前提(ti)(ti)．他的(de)(de)(de)(de)(de)大多數(shu)推理、證(zheng)(zheng)明(ming)(ming)都合(he)乎邏輯，十分嚴謹，從而(er)把《九章算術(shu)》及他自己提(ti)(ti)出的(de)(de)(de)(de)(de)解法(fa)、公式建(jian)立(li)在(zai)必(bi)然性的(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎之上。雖然劉徽(hui)沒有寫出自成體系(xi)的(de)(de)(de)(de)(de)著作(zuo)，但他注《九章算術(shu)》所運用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)知(zhi)識，實(shi)際上已(yi)經形成了一(yi)個獨具(ju)特色、包括概念和(he)判(pan)斷、并(bing)以數(shu)學(xue)證(zheng)(zheng)明(ming)(ming)為其聯(lian)系(xi)紐(niu)帶的(de)(de)(de)(de)(de)理論體系(xi)。
劉徽在割(ge)(ge)圓術中(zhong)提出的(de)(de)"割(ge)(ge)之彌細，所(suo)(suo)失彌少(shao)，割(ge)(ge)之又割(ge)(ge)以至(zhi)于不(bu)可割(ge)(ge)，則與圓合體而(er)無所(suo)(suo)失矣"，這可視為(wei)中(zhong)國古代(dai)極限觀念的(de)(de)佳(jia)作。《海島算(suan)經》一書中(zhong)，劉徽精(jing)心選(xuan)編了(le)(le)九個測量問題，這些(xie)題目的(de)(de)創造性(xing)、復(fu)雜(za)性(xing)和富有代(dai)表性(xing)，都在當(dang)時為(wei)西方所(suo)(suo)矚目。劉徽思想敏捷，方法(fa)靈活，既提倡推(tui)理又主張(zhang)直(zhi)觀。他(ta)是我國最早(zao)明確主張(zhang)用邏輯推(tui)理的(de)(de)方式來論證數學命題的(de)(de)人。精(jing)確到了(le)(le)小數點后5位。
劉徽(hui)其代表(biao)作《九章(zhang)算術(shu)注(zhu)》是對《九章(zhang)算術(shu)》一(yi)書(shu)的(de)(de)注(zhu)解。《九章(zhang)算術(shu)》是中國流傳(chuan)至今最(zui)古老的(de)(de)數學專著之(zhi)一(yi)，它成書(shu)于西(xi)漢時期(qi)。這部書(shu)的(de)(de)完(wan)(wan)成經過(guo)了一(yi)段歷史過(guo)程，書(shu)中所(suo)收集的(de)(de)各(ge)種數學問題，有(you)些是秦以前流傳(chuan)的(de)(de)問題，長(chang)期(qi)以來經過(guo)多人(ren)刪補、修訂(ding)，最(zui)后由西(xi)漢時期(qi)的(de)(de)數學家整理完(wan)(wan)成。現今流傳(chuan)的(de)(de)定本的(de)(de)內容(rong)在東漢之(zhi)前已經形成。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》是中(zhong)國(guo)(guo)最重要的一部經典(dian)數(shu)(shu)學著作，它的完成奠定了(le)中(zhong)國(guo)(guo)古(gu)代(dai)數(shu)(shu)學發展的基礎，在中(zhong)國(guo)(guo)數(shu)(shu)學史上(shang)占有(you)極為重要的地位。現傳本(ben)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》共收集了(le)246個應用(yong)問題和各種問題的解法，分別隸屬于方(fang)田、粟米、衰分、少(shao)廣、商功(gong)、均輸(shu)、盈不足(zu)、方(fang)程、勾股九(jiu)(jiu)章(zhang)。
《九章算(suan)術》的(de)(de)(de)(de)(de)產生是社會發展和數學知識(shi)長期積累的(de)(de)(de)(de)(de)結果，它匯集了不同(tong)時(shi)(shi)期數學家(jia)(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)勞動成(cheng)果。三國(guo)時(shi)(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)數學家(jia)(jia)劉徽認為：“周公(gong)制禮有九數，九數之(zhi)流，則(ze)《九章》是矣。……漢北(bei)平(ping)侯張(zhang)蒼、大司(si)農中(zhong)丞耿(geng)壽昌皆(jie)以善算(suan)命世。蒼等因舊(jiu)文(wen)之(zhi)遺(yi)殘，各稱刪補(bu)。故校(xiao)其(qi)目則(ze)與古(gu)或異，而(er)所論多近語也。”根(gen)據劉徽的(de)(de)(de)(de)(de)考證結果，《九章算(suan)術》源于周公(gong)時(shi)(shi)代的(de)(de)(de)(de)(de)“九數”，而(er)他所見到的(de)(de)(de)(de)(de)《九章算(suan)術》是西漢時(shi)(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)張(zhang)蒼、耿(geng)壽昌在先(xian)秦遺(yi)文(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)基礎上刪補(bu)而(er)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)，其(qi)中(zhong)包括了大量(liang)西漢時(shi)(shi)補(bu)充的(de)(de)(de)(de)(de)內容。根(gen)據歷史文(wen)獻和出(chu)土文(wen)物資料來分析，劉徽所言(yan)是可信的(de)(de)(de)(de)(de)。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術》所(suo)包含的(de)(de)(de)(de)(de)(de)各種算(suan)(suan)(suan)法是(shi)漢朝(chao)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)們在秦(qin)(qin)以前(qian)流(liu)傳下(xia)來(lai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)基礎上，適應當時的(de)(de)(de)(de)(de)(de)需(xu)要補充修訂而成的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。按照劉徽(hui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)考(kao)證，張(zhang)蒼(cang)(cang)和耿(geng)壽昌都(dou)是(shi)參加過修訂工(gong)作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)主(zhu)要數(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)。《史(shi)(shi)記(ji)·張(zhang)丞相列傳》記(ji)載，張(zhang)蒼(cang)(cang)（約公元前(qian)250～公元前(qian)152）經歷(li)了秦(qin)(qin)、漢兩(liang)個朝(chao)代，他(ta)(ta)在高帝六年(nian)(nian)（公元前(qian)201年(nian)(nian)）以攻藏茶(cha)有功(gong)封為(wei)北平侯。“自秦(qin)(qin)時為(wei)柱下(xia)史(shi)(shi)，明天下(xia)圖書(shu)計籍。又善(shan)用算(suan)(suan)(suan)律(lv)歷(li)。”他(ta)(ta)還“著書(shu)18篇，言陰陽律(lv)歷(li)事。”耿(geng)壽昌的(de)(de)(de)(de)(de)(de)生年(nian)(nian)年(nian)(nian)代不詳，漢宣(xuan)帝時官至(zhi)大司農中丞，“以善(shan)為(wei)算(suan)(suan)(suan)，能(neng)商功(gong)利”得寵于皇帝（見(jian)《漢書(shu)·食貨志》）。他(ta)(ta)于天文學(xue)(xue)主(zhu)張(zhang)渾天說，甘露二年(nian)(nian)（公元前(qian)52年(nian)(nian)）奏“以圓儀(yi)度(du)日月行(xing)，考(kao)驗天運狀(zhuang)”（見(jian)《后(hou)漢書(shu)·律(lv)歷(li)志》）。張(zhang)蒼(cang)(cang)和耿(geng)壽昌都(dou)是(shi)數(shu)學(xue)(xue)名家(jia)(jia)，又身(shen)居高位，由(you)他(ta)(ta)們主(zhu)持修訂先秦(qin)(qin)流(liu)傳下(xia)來(lai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《算(suan)(suan)(suan)術》是(shi)很自然的(de)(de)(de)(de)(de)(de)事情。根(gen)據劉徽(hui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)記(ji)載，他(ta)(ta)所(suo)注釋(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術》最后(hou)是(shi)由(you)耿(geng)壽昌刪(shan)定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。我們認(ren)為(wei)耿(geng)壽昌刪(shan)補《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)(nian)代可以定為(wei)這部書(shu)完成的(de)(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)(nian)代。
《九(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)》是(shi)由國家(jia)組織力量編纂(zuan)的(de)(de)(de)(de)(de)一部(bu)官(guan)方性數(shu)(shu)學(xue)教科書(shu)(shu)(shu)，對(dui)兩(liang)漢(han)(han)時(shi)期數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)發展產生了很(hen)大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)影響。《廣韻》卷四有(you)(you)“九(jiu)章術(shu)(shu)(shu)，漢(han)(han)許(xu)商(shang)、杜志(zhi)、吳(wu)陳熾、王粲并(bing)善(shan)之(zhi)”，《后漢(han)(han)書(shu)(shu)(shu)·馬援(yuan)傳》有(you)(you)馬續(xu)（約70～141年(nian)）“博(bo)觀群籍，善(shan)九(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)”負記(ji)載(zai)。此外，史書(shu)(shu)(shu)中還有(you)(you)鄭玄（127～200年(nian)）、劉洪等人“通九(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)”的(de)(de)(de)(de)(de)記(ji)述。可知該書(shu)(shu)(shu)是(shi)當時(shi)學(xue)習數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)要(yao)教材，在(zai)東漢(han)(han)光和二(er)年(nian)（179）一塊(kuai)銅(tong)版上的(de)(de)(de)(de)(de)銘文規定(ding)：“大(da)司農以戊(wu)寅（138？）詔書(shu)(shu)(shu)，……特更為諸(zhu)州(zhou)作銅(tong)斗、斜、稱(cheng)。依黃鐘律歷，《九(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)》以均長短(duan)、輕重(zhong)、大(da)小，以齊七政，令海(hai)內(nei)都(dou)(dou)(dou)同。”這說明該書(shu)(shu)(shu)在(zai)東漢(han)(han)時(shi)期不僅廣為流(liu)傳，而(er)且度(du)量衡研制涉及的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)問題也要(yao)以書(shu)(shu)(shu)中的(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)法(fa)為依據。許(xu)商(shang)、杜志(zhi)可能是(shi)《九(jiu)章算(suan)(suan)書(shu)(shu)(shu)》成(cheng)書(shu)(shu)(shu)后最早研究過(guo)該書(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)家(jia)。許(xu)商(shang)、杜志(zhi)都(dou)(dou)(dou)是(shi)西漢(han)(han)后期的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)家(jia)。《漢(han)(han)書(shu)(shu)(shu)·藝文志(zhi)》著(zhu)(zhu)(zhu)錄(lu)有(you)(you)《許(xu)商(shang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)》26卷、《杜志(zhi)算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)》16卷。這兩(liang)部(bu)書(shu)(shu)(shu)都(dou)(dou)(dou)是(shi)漢(han)(han)成(cheng)帝三年(nian)（前26）尹咸校對(dui)數(shu)(shu)術(shu)(shu)(shu)著(zhu)(zhu)(zhu)作之(zhi)前撰寫(xie)的(de)(de)(de)(de)(de)。許(xu)商(shang)、杜志(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)(zhu)作完成(cheng)年(nian)代與(yu)耿壽(shou)昌刪補《九(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)代相去不遠(yuan)，他們的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)著(zhu)(zhu)(zhu)作應當是(shi)在(zai)研究了《九(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)(shu)》的(de)(de)(de)(de)(de)基礎上完成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)。
《九章(zhang)算(suan)術(shu)》不僅(jin)在中(zhong)國數(shu)(shu)(shu)學(xue)史上(shang)占(zhan)有重要地位，對世(shi)界(jie)(jie)數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)發(fa)展也有著(zhu)重要的(de)貢獻。分(fen)(fen)數(shu)(shu)(shu)理論及其(qi)完(wan)整的(de)算(suan)法(fa)(fa)，比例和(he)比例分(fen)(fen)配算(suan)法(fa)(fa)，面積和(he)體積算(suan)法(fa)(fa)，以及各類應用問題的(de)解(jie)法(fa)(fa)，在書中(zhong)的(de)方(fang)田、粟米、衰(shuai)分(fen)(fen)、商功、均輸等(deng)章(zhang)已有了相(xiang)當詳備的(de)敘述。而少廣(guang)、盈(ying)不足、方(fang)程、勾股(gu)等(deng)章(zhang)中(zhong)的(de)開立方(fang)法(fa)(fa)、盈(ying)不足術(shu)（雙假設(she)法(fa)(fa)）、正(zheng)負數(shu)(shu)(shu)概念、線(xian)性(xing)聯(lian)立方(fang)程組解(jie)法(fa)(fa)、整數(shu)(shu)(shu)勾股(gu)弦的(de)一般公式等(deng)內容(rong)都是世(shi)界(jie)(jie)數(shu)(shu)(shu)學(xue)史上(shang)的(de)卓越成就。 傳本(ben)《九章(zhang)算(suan)術(shu)》有劉徽(hui)注(zhu)和(he)唐李(li)淳風(feng)等(deng)的(de)注(zhu)釋。
劉徽是中國(guo)古(gu)代(dai)杰出(chu)的(de)(de)(de)數(shu)學家，他(ta)(ta)(ta)生活在三國(guo)時(shi)代(dai)的(de)(de)(de)魏國(guo)。《隋(sui)書·律(lv)歷(li)志》論歷(li)代(dai)量制引商(shang)功章(zhang)注，說“魏陳留王景元四年(nian)（263）劉徽注《九章(zhang)》。”他(ta)(ta)(ta)的(de)(de)(de)生平不可詳考。劉徽的(de)(de)(de)《九章(zhang)》注不僅在整(zheng)理(li)(li)古(gu)代(dai)數(shu)學體(ti)系和(he)完善古(gu)算 理(li)(li)論方面取得了(le)重要成就，而(er)且提出(chu)了(le)豐(feng)富多(duo)彩的(de)(de)(de)創見和(he)發明。劉徽在算術、代(dai)數(shu)、幾何(he)等方面都(dou)有(you)杰出(chu)的(de)(de)(de)貢獻。例如，他(ta)(ta)(ta)用(yong)比率(lv)理(li)(li)論建(jian)立了(le)數(shu)與(yu)式的(de)(de)(de)統一的(de)(de)(de)理(li)(li)論基礎，他(ta)(ta)(ta)應用(yong)了(le)出(chu)入相補原(yuan)理(li)(li)和(he)極限方法解決了(le)許多(duo)面積(ji)和(he)體(ti)積(ji)問題，建(jian)立了(le)獨(du)具風(feng)格的(de)(de)(de)面積(ji)和(he)體(ti)積(ji)理(li)(li)論。他(ta)(ta)(ta)對(dui)《九章(zhang)》中的(de)(de)(de)許多(duo)結論給出(chu)了(le)嚴格的(de)(de)(de)證明，他(ta)(ta)(ta)的(de)(de)(de)一些(xie)方法對(dui)后世有(you)很(hen)大啟發，即使對(dui)現今(jin)數(shu)學也有(you)可借鑒之處。
劉徽(hui)的數(shu)學成就大致為兩方(fang)面：
一(yi)是整理(li)(li)中(zhong)(zhong)國古代數學體系并奠定(ding)了它(ta)的(de)理(li)(li)論基礎，這(zhe)方面(mian)集中(zhong)(zhong)體現在《九章算術注》中(zhong)(zhong)。它(ta)實已形(xing)成為一(yi)個比較完整的(de)理(li)(li)論體系：
數系理論
用(yong)數的(de)同類與異類闡述了通分、約分、四則(ze)(ze)運算，以及繁分數化簡(jian)等的(de)運算法則(ze)(ze)；在開方(fang)(fang)術(shu) 的(de)注釋中，他從開方(fang)(fang)不(bu)盡的(de)意義出(chu)發，論述了無理方(fang)(fang)根的(de)存在，并(bing)引進了新數，創造了用(yong)十進分數無限(xian)逼近無理根的(de)方(fang)(fang)法。
在籌式演算理論(lun)方(fang)面， 先(xian)給(gei)率以比較明確的(de)(de)定義，又以遍乘、通(tong)約、齊同等三(san)種基本運(yun)算為基礎，建(jian)立了數(shu)與式運(yun)算的(de)(de)統一(yi)的(de)(de)理論(lun)基礎，他還用(yong)“率”來定義中國古代數(shu)學中的(de)(de)“方(fang)程”，即現代數(shu)學中線(xian)性方(fang)程組的(de)(de)增廣矩陣。
在(zai)勾(gou)(gou)股理論(lun)方面逐一論(lun)證(zheng)了(le)有關勾(gou)(gou)股定理與解勾(gou)(gou)股形(xing)的(de)(de)計算原理，建立了(le)相(xiang)似勾(gou)(gou)股形(xing)理論(lun)，發展了(le)勾(gou)(gou)股測量(liang)術(shu)，通(tong)過對“勾(gou)(gou)中(zhong)(zhong)容橫”與“股中(zhong)(zhong)容直”之(zhi)類的(de)(de)典型圖(tu)形(xing)的(de)(de)論(lun)析，形(xing)成了(le)中(zhong)(zhong)國(guo)特(te)色的(de)(de)相(xiang)似理論(lun)。
面積與體積理論
用出入相補、以(yi)盈(ying)補虛的(de)(de)原理(li)及“割圓術”的(de)(de)極限方法提出了劉(liu)徽(hui)原理(li)，并解決了多種幾何(he)形、幾何(he)體(ti)的(de)(de)面(mian)積、體(ti)積計算問題。這些方面(mian)的(de)(de)理(li)論價值(zhi)至今仍閃爍著余輝(hui)。
二是(shi)在繼承的基礎上提出了自(zi)己的創見。這方面主要體現為以下幾項有代表性(xing)的創見：
割(ge)(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)與圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)率， 他(ta)在《九章算術(shu) 圓(yuan)(yuan)(yuan)田(tian)術(shu)》注(zhu)中，用割(ge)(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)證明(ming)了(le)圓(yuan)(yuan)(yuan)面積(ji)(ji)的(de)精(jing)確公式，并(bing)給出了(le)計算圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)率的(de)科學方(fang)法。他(ta)首先(xian)從圓(yuan)(yuan)(yuan)內接六(liu)邊(bian)(bian)形開始割(ge)(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)，每次邊(bian)(bian)數倍增，算到(dao)(dao)192邊(bian)(bian)形的(de)面積(ji)(ji)，得(de)到(dao)(dao)π=157/50=3.14，又算到(dao)(dao)3072邊(bian)(bian)形的(de)面積(ji)(ji)，得(de)到(dao)(dao)π=3927/1250=3.1416，稱(cheng)為“徽率”。
劉(liu)徽(hui)原理在(zai)《九章算術陽馬術》注中(zhong)，他在(zai)用無限分割的方法解決(jue)錐體(ti)體(ti)積時，提出了關于多面體(ti)體(ti)積計算的劉(liu)徽(hui)原理。
“牟合方蓋”說
在《九章(zhang)算術(shu)開(kai)立圓術(shu)》注中(zhong)，他指(zhi)(zhi)出(chu)了球體積公式(shi)V=9D3/16(D為球直徑)的(de)(de)不精確性(xing)，并引(yin)入了“牟(mou)合方(fang)蓋”這一著名(ming)的(de)(de)幾何(he)模(mo)型(xing)。“牟(mou)合方(fang)蓋”是指(zhi)(zhi)正方(fang)體的(de)(de)兩個軸互相垂(chui)直的(de)(de)內切圓柱體的(de)(de)貫(guan)交部分。
方程新術
在《九章算(suan)術方(fang)(fang)程術》注中(zhong)，他提出(chu)了(le)解線性方(fang)(fang)程組的(de)新(xin)方(fang)(fang)法，運用了(le)比率算(suan)法的(de)思想。
重差術
在(zai)自(zi)撰《海島(dao)算(suan)經》中(zhong)，他(ta)提(ti)出(chu)了(le)重差術，采用(yong)了(le)重表、連索和累矩(ju)等測(ce)(ce)高測(ce)(ce)遠方法(fa)。他(ta)還運用(yong)“類推衍化”的方法(fa)，使重差術由兩(liang)次測(ce)(ce)望，發(fa)展(zhan)為(wei)“三望”、“四望”。而印(yin)度在(zai)7世(shi)紀(ji)，歐洲在(zai)15～16世(shi)紀(ji)才開始(shi)研究兩(liang)次測(ce)(ce)望的問題(ti)。劉(liu)徽的工作(zuo)，不僅對(dui)中(zhong)國(guo)(guo)古代數學發(fa)展(zhan)產生了(le)深遠影響，而且在(zai)世(shi)界(jie)數學史上也確立了(le)崇高的歷(li)史地位(wei)。鑒于劉(liu)徽的巨大貢獻，所以不少書上把他(ta)稱(cheng)作(zuo)“中(zhong)國(guo)(guo)數學史上的牛頓”。
