《九章算術(shu)》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如解聯立方程(cheng)，分數四(si)則(ze)運算，正負數運算，幾(ji)何(he)圖(tu)形的體積面積計(ji)算等(deng)，都屬(shu)于世界先(xian)進(jin)之列。劉徽在曹魏景初四(si)年注《九章算術(shu)注》。
但因(yin)解法(fa)(fa)(fa)比較原(yuan)始，缺乏必要的(de)證明，劉(liu)徽則(ze)對此均作了(le)(le)(le)補充證明。在(zai)(zai)這些證明中(zhong)，顯示了(le)(le)(le)他(ta)(ta)在(zai)(zai)眾(zhong)多方(fang)面的(de)創造性貢獻(xian)。他(ta)(ta)是(shi)世(shi)界上最早提(ti)出(chu)(chu)十(shi)進(jin)小數(shu)概念的(de)人，并(bing)用十(shi)進(jin)小數(shu)來表(biao)示無理數(shu)的(de)立方(fang)根。在(zai)(zai)代數(shu)方(fang)面，他(ta)(ta)正(zheng)(zheng)(zheng)確(que)地提(ti)出(chu)(chu)了(le)(le)(le)正(zheng)(zheng)(zheng)負數(shu)的(de)概念及其加減運算的(de)法(fa)(fa)(fa)則(ze)，改進(jin)了(le)(le)(le)線性方(fang)程(cheng)組的(de)解法(fa)(fa)(fa)。在(zai)(zai)幾何(he)方(fang)面，提(ti)出(chu)(chu)了(le)(le)(le)"割(ge)(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術"，即將圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)用內接或外切正(zheng)(zheng)(zheng)多邊(bian)(bian)(bian)形窮竭的(de)一種(zhong)求(qiu)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面積(ji)和(he)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)長的(de)方(fang)法(fa)(fa)(fa)。他(ta)(ta)利用割(ge)(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術科(ke)學(xue)地求(qiu)出(chu)(chu)了(le)(le)(le)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)率π=3.1416的(de)結果。他(ta)(ta)用割(ge)(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術，從直(zhi)徑為2尺的(de)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)內接正(zheng)(zheng)(zheng)六(liu)邊(bian)(bian)(bian)形開始割(ge)(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，依(yi)次得(de)正(zheng)(zheng)(zheng)12邊(bian)(bian)(bian)形、正(zheng)(zheng)(zheng)24邊(bian)(bian)(bian)形……，割(ge)(ge)(ge)得(de)越細(xi)，正(zheng)(zheng)(zheng)多邊(bian)(bian)(bian)形面積(ji)和(he)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面積(ji)之差越小，用他(ta)(ta)的(de)原(yuan)話說(shuo)是(shi)“割(ge)(ge)(ge)之彌細(xi)，所(suo)失(shi)彌少，割(ge)(ge)(ge)之又割(ge)(ge)(ge)，以至(zhi)于不可割(ge)(ge)(ge)，則(ze)與圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)合體而(er)無所(suo)失(shi)矣。”他(ta)(ta)計算了(le)(le)(le)3072邊(bian)(bian)(bian)形面積(ji)并(bing)驗證了(le)(le)(le)這個值。劉(liu)徽提(ti)出(chu)(chu)的(de)計算圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)率的(de)科(ke)學(xue)方(fang)法(fa)(fa)(fa)，奠定了(le)(le)(le)此后千余(yu)年來中(zhong)國圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)(zhou)率計算在(zai)(zai)世(shi)界上的(de)領先地位(wei)。
劉徽(hui)在(zai)(zai)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)上的(de)(de)(de)(de)(de)貢獻極多(duo)，在(zai)(zai)開方不盡的(de)(de)(de)(de)(de)問題(ti)中(zhong)提(ti)出(chu)“求徽(hui)數(shu)(shu)(shu)(shu)”的(de)(de)(de)(de)(de)思(si)想，這方法(fa)(fa)與后來求無理(li)根的(de)(de)(de)(de)(de)近似值的(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)(fa)一(yi)致(zhi)，它(ta)不僅是(shi)圓周率精(jing)確計算(suan)(suan)的(de)(de)(de)(de)(de)必要條件，而且促(cu)進了十進小數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)產生；在(zai)(zai)線(xian)性方程(cheng)組解法(fa)(fa)中(zhong)，他(ta)(ta)創造(zao)了比直除法(fa)(fa)更簡便的(de)(de)(de)(de)(de)互乘相消(xiao)法(fa)(fa)，與現今(jin)解法(fa)(fa)基本一(yi)致(zhi)；并在(zai)(zai)中(zhong)國數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)史上第一(yi)次提(ti)出(chu)了“不定(ding)方程(cheng)問題(ti)”；他(ta)(ta)還建立(li)了等(deng)(deng)差(cha)級(ji)數(shu)(shu)(shu)(shu)前(qian)n項(xiang)和(he)公式；提(ti)出(chu)并定(ding)義了許(xu)多(duo)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)概(gai)念：如冪（面積(ji)）；方程(cheng)（線(xian)性方程(cheng)組）；正(zheng)負數(shu)(shu)(shu)(shu)等(deng)(deng)等(deng)(deng)．劉徽(hui)還提(ti)出(chu)了許(xu)多(duo)公認(ren)正(zheng)確的(de)(de)(de)(de)(de)判(pan)斷作為(wei)證(zheng)明(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)前(qian)提(ti)．他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)大多(duo)數(shu)(shu)(shu)(shu)推(tui)理(li)、證(zheng)明(ming)都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把《九章(zhang)算(suan)(suan)術》及他(ta)(ta)自己提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)解法(fa)(fa)、公式建立(li)在(zai)(zai)必然(ran)性的(de)(de)(de)(de)(de)基礎之上。雖然(ran)劉徽(hui)沒有寫出(chu)自成體(ti)系的(de)(de)(de)(de)(de)著作，但他(ta)(ta)注《九章(zhang)算(suan)(suan)術》所運用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)知識，實際上已經形(xing)成了一(yi)個獨(du)具(ju)特(te)色、包括概(gai)念和(he)判(pan)斷、并以數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)證(zheng)明(ming)為(wei)其聯系紐帶的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論體(ti)系。
劉徽在(zai)割(ge)圓(yuan)(yuan)術中(zhong)提出(chu)的(de)"割(ge)之彌(mi)細，所(suo)失(shi)彌(mi)少(shao)，割(ge)之又(you)割(ge)以(yi)至于不可(ke)割(ge)，則與(yu)圓(yuan)(yuan)合體而(er)無(wu)所(suo)失(shi)矣(yi)"，這可(ke)視為中(zhong)國(guo)古(gu)代(dai)極(ji)限觀(guan)念的(de)佳作。《海島算(suan)經》一書中(zhong)，劉徽精心選編(bian)了(le)九個測(ce)量(liang)問(wen)題(ti)，這些題(ti)目(mu)的(de)創造(zao)性(xing)、復(fu)雜(za)性(xing)和富有代(dai)表性(xing)，都(dou)在(zai)當時為西方(fang)所(suo)矚目(mu)。劉徽思(si)想(xiang)敏捷，方(fang)法(fa)靈活，既提倡推(tui)理又(you)主(zhu)張(zhang)直觀(guan)。他(ta)是我國(guo)最早明確主(zhu)張(zhang)用邏輯推(tui)理的(de)方(fang)式(shi)來(lai)論證數(shu)學命題(ti)的(de)人(ren)。精確到了(le)小數(shu)點后(hou)5位。
劉徽其代表作《九(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)注(zhu)》是對(dui)《九(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)》一書(shu)的(de)注(zhu)解(jie)。《九(jiu)章算(suan)術(shu)(shu)(shu)》是中國流(liu)傳(chuan)至今最(zui)古老(lao)的(de)數學專著之(zhi)一，它(ta)成書(shu)于西(xi)(xi)漢時期。這部書(shu)的(de)完(wan)成經過(guo)了一段歷史過(guo)程，書(shu)中所收集的(de)各種數學問題，有些是秦以(yi)前流(liu)傳(chuan)的(de)問題，長期以(yi)來經過(guo)多人刪補、修訂，最(zui)后由西(xi)(xi)漢時期的(de)數學家整理完(wan)成。現今流(liu)傳(chuan)的(de)定本的(de)內(nei)容(rong)在東漢之(zhi)前已(yi)經形成。
《九(jiu)章算(suan)術(shu)》是中(zhong)(zhong)國最重要(yao)的(de)(de)一部經(jing)典數學著作，它的(de)(de)完成奠定(ding)了中(zhong)(zhong)國古代數學發展的(de)(de)基礎，在中(zhong)(zhong)國數學史上占(zhan)有極為重要(yao)的(de)(de)地位(wei)。現傳本(ben)《九(jiu)章算(suan)術(shu)》共收集了246個應用(yong)問(wen)題和各種問(wen)題的(de)(de)解法(fa)，分(fen)別隸屬于方(fang)田、粟(su)米、衰分(fen)、少廣(guang)、商功、均輸、盈(ying)不足、方(fang)程、勾股九(jiu)章。
《九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》的(de)產生是(shi)社會發展(zhan)和數學(xue)知識長期積(ji)累的(de)結(jie)果，它匯集(ji)了(le)不同時(shi)期數學(xue)家(jia)的(de)勞動成果。三(san)國(guo)時(shi)的(de)數學(xue)家(jia)劉(liu)(liu)徽認為：“周公制禮(li)有九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)數，九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)數之流，則《九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)》是(shi)矣。……漢北平侯張蒼(cang)、大(da)司(si)農中丞耿(geng)壽(shou)昌皆(jie)以善算命世。蒼(cang)等(deng)因(yin)舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古(gu)或異，而(er)所論(lun)多近語(yu)也。”根據劉(liu)(liu)徽的(de)考(kao)證結(jie)果，《九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》源于周公時(shi)代的(de)“九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)數”，而(er)他所見到的(de)《九(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》是(shi)西漢時(shi)的(de)張蒼(cang)、耿(geng)壽(shou)昌在先秦遺文的(de)基礎上刪補而(er)成的(de)，其中包(bao)括了(le)大(da)量(liang)西漢時(shi)補充的(de)內容。根據歷史(shi)文獻(xian)和出土文物資料來分(fen)析，劉(liu)(liu)徽所言是(shi)可信的(de)。
《九(jiu)章算(suan)術》所(suo)包含(han)的(de)(de)(de)各(ge)種算(suan)法是漢(han)(han)(han)朝數學(xue)家們在秦(qin)以前流傳(chuan)(chuan)下(xia)來的(de)(de)(de)數學(xue)基礎(chu)上，適應當時(shi)的(de)(de)(de)需要補充(chong)修(xiu)訂(ding)而成的(de)(de)(de)。按照劉徽的(de)(de)(de)考(kao)證(zheng)，張(zhang)(zhang)蒼和(he)耿壽(shou)昌都是參加(jia)過修(xiu)訂(ding)工作的(de)(de)(de)主要數學(xue)家。《史記·張(zhang)(zhang)丞相列傳(chuan)(chuan)》記載(zai)，張(zhang)(zhang)蒼（約(yue)公(gong)元(yuan)(yuan)前250～公(gong)元(yuan)(yuan)前152）經歷了秦(qin)、漢(han)(han)(han)兩個(ge)朝代(dai)，他(ta)在高帝六年(nian)（公(gong)元(yuan)(yuan)前201年(nian)）以攻(gong)藏茶有功(gong)封為北平侯。“自(zi)秦(qin)時(shi)為柱下(xia)史，明天(tian)(tian)下(xia)圖書(shu)計籍。又善用算(suan)律(lv)歷。”他(ta)還(huan)“著書(shu)18篇，言陰陽律(lv)歷事(shi)。”耿壽(shou)昌的(de)(de)(de)生年(nian)年(nian)代(dai)不詳，漢(han)(han)(han)宣帝時(shi)官至大司農中(zhong)丞，“以善為算(suan)，能商(shang)功(gong)利”得寵于皇帝（見(jian)《漢(han)(han)(han)書(shu)·食(shi)貨志》）。他(ta)于天(tian)(tian)文學(xue)主張(zhang)(zhang)渾天(tian)(tian)說，甘露(lu)二年(nian)（公(gong)元(yuan)(yuan)前52年(nian)）奏(zou)“以圓儀度(du)日(ri)月行，考(kao)驗天(tian)(tian)運(yun)狀”（見(jian)《后漢(han)(han)(han)書(shu)·律(lv)歷志》）。張(zhang)(zhang)蒼和(he)耿壽(shou)昌都是數學(xue)名家，又身居(ju)高位，由(you)他(ta)們主持修(xiu)訂(ding)先秦(qin)流傳(chuan)(chuan)下(xia)來的(de)(de)(de)《算(suan)術》是很自(zi)然(ran)的(de)(de)(de)事(shi)情。根(gen)據劉徽的(de)(de)(de)記載(zai)，他(ta)所(suo)注(zhu)釋的(de)(de)(de)《九(jiu)章算(suan)術》最后是由(you)耿壽(shou)昌刪(shan)定(ding)的(de)(de)(de)。我們認為耿壽(shou)昌刪(shan)補《九(jiu)章算(suan)術》的(de)(de)(de)年(nian)代(dai)可(ke)以定(ding)為這部書(shu)完成的(de)(de)(de)年(nian)代(dai)。
《九章(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》是(shi)由國家組織(zhi)力量編纂的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)部官方性數(shu)學(xue)教科書，對兩漢(han)(han)(han)時(shi)期數(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展產生了(le)很大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)影(ying)響。《廣(guang)韻》卷四(si)有(you)“九章(zhang)(zhang)(zhang)術(shu)，漢(han)(han)(han)許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志、吳陳熾、王粲并善(shan)之”，《后(hou)漢(han)(han)(han)書·馬援(yuan)傳》有(you)馬續（約70～141年(nian)）“博觀群籍，善(shan)九章(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)”負記(ji)載。此(ci)外，史書中還(huan)有(you)鄭玄（127～200年(nian)）、劉洪等人“通九章(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)”的(de)(de)(de)(de)(de)(de)記(ji)述。可(ke)知該書是(shi)當時(shi)學(xue)習數(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)重要教材，在東漢(han)(han)(han)光和二年(nian)（179）一(yi)塊銅版上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)銘(ming)文規定：“大司(si)農以戊寅（138？）詔書，……特更為(wei)諸州作(zuo)銅斗、斜、稱。依黃(huang)鐘律(lv)歷，《九章(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》以均長短、輕重、大小，以齊七政，令(ling)海內都同(tong)。”這說明該書在東漢(han)(han)(han)時(shi)期不僅廣(guang)為(wei)流(liu)傳，而且度量衡研(yan)制涉及的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)問題也要以書中的(de)(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)法為(wei)依據。許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志可(ke)能(neng)是(shi)《九章(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)書》成(cheng)書后(hou)最早(zao)研(yan)究過該書的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)家。許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志都是(shi)西漢(han)(han)(han)后(hou)期的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)家。《漢(han)(han)(han)書·藝文志》著錄有(you)《許(xu)商(shang)(shang)算(suan)(suan)術(shu)》26卷、《杜(du)志算(suan)(suan)術(shu)》16卷。這兩部書都是(shi)漢(han)(han)(han)成(cheng)帝三(san)年(nian)（前(qian)26）尹咸校對數(shu)術(shu)著作(zuo)之前(qian)撰寫的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。許(xu)商(shang)(shang)、杜(du)志的(de)(de)(de)(de)(de)(de)著作(zuo)完成(cheng)年(nian)代(dai)與(yu)耿壽(shou)昌刪(shan)補《九章(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)代(dai)相去不遠，他們(men)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)著作(zuo)應當是(shi)在研(yan)究了(le)《九章(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上完成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術》不僅在中(zhong)(zhong)國數(shu)(shu)(shu)學史上(shang)占有重(zhong)(zhong)要地位，對世界數(shu)(shu)(shu)學的(de)發展也有著(zhu)重(zhong)(zhong)要的(de)貢獻(xian)。分(fen)數(shu)(shu)(shu)理論及其(qi)完整的(de)算(suan)法(fa)(fa)，比例和(he)比例分(fen)配算(suan)法(fa)(fa)，面積和(he)體積算(suan)法(fa)(fa)，以(yi)及各類(lei)應用問題的(de)解(jie)法(fa)(fa)，在書中(zhong)(zhong)的(de)方(fang)(fang)田、粟(su)米(mi)、衰(shuai)分(fen)、商功、均(jun)輸(shu)等(deng)章(zhang)(zhang)已有了相當詳備(bei)的(de)敘述。而少廣、盈不足、方(fang)(fang)程、勾股(gu)等(deng)章(zhang)(zhang)中(zhong)(zhong)的(de)開立(li)(li)方(fang)(fang)法(fa)(fa)、盈不足術（雙假設法(fa)(fa)）、正負數(shu)(shu)(shu)概念(nian)、線性聯立(li)(li)方(fang)(fang)程組解(jie)法(fa)(fa)、整數(shu)(shu)(shu)勾股(gu)弦的(de)一般公式(shi)等(deng)內容都是(shi)世界數(shu)(shu)(shu)學史上(shang)的(de)卓越成就。 傳本(ben)《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術》有劉(liu)徽注(zhu)和(he)唐李(li)淳風(feng)等(deng)的(de)注(zhu)釋。
劉(liu)(liu)徽(hui)(hui)是(shi)中國(guo)古代杰出(chu)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學家，他(ta)生活在三(san)國(guo)時代的(de)(de)(de)魏(wei)國(guo)。《隋(sui)書·律歷志》論(lun)歷代量制(zhi)引商(shang)功章(zhang)注，說“魏(wei)陳留王景(jing)元四(si)年(nian)（263）劉(liu)(liu)徽(hui)(hui)注《九(jiu)章(zhang)》。”他(ta)的(de)(de)(de)生平不(bu)可詳考。劉(liu)(liu)徽(hui)(hui)的(de)(de)(de)《九(jiu)章(zhang)》注不(bu)僅(jin)在整理(li)(li)(li)古代數(shu)(shu)(shu)(shu)學體系和(he)完善古算(suan) 理(li)(li)(li)論(lun)方面取得了(le)重要成就，而且提(ti)出(chu)了(le)豐富多彩的(de)(de)(de)創(chuang)見(jian)和(he)發明。劉(liu)(liu)徽(hui)(hui)在算(suan)術、代數(shu)(shu)(shu)(shu)、幾何等方面都(dou)有(you)杰出(chu)的(de)(de)(de)貢獻。例(li)如(ru)，他(ta)用(yong)比率理(li)(li)(li)論(lun)建立了(le)數(shu)(shu)(shu)(shu)與式的(de)(de)(de)統一的(de)(de)(de)理(li)(li)(li)論(lun)基礎，他(ta)應用(yong)了(le)出(chu)入相補原理(li)(li)(li)和(he)極限方法(fa)解決(jue)了(le)許多面積(ji)(ji)和(he)體積(ji)(ji)問題(ti)，建立了(le)獨具風(feng)格的(de)(de)(de)面積(ji)(ji)和(he)體積(ji)(ji)理(li)(li)(li)論(lun)。他(ta)對《九(jiu)章(zhang)》中的(de)(de)(de)許多結(jie)論(lun)給出(chu)了(le)嚴格的(de)(de)(de)證明，他(ta)的(de)(de)(de)一些方法(fa)對后世有(you)很大啟發，即(ji)使(shi)對現今數(shu)(shu)(shu)(shu)學也有(you)可借鑒之(zhi)處。
劉徽的(de)數(shu)學成就(jiu)大致為兩方(fang)面：
一是整(zheng)理(li)中(zhong)國古代數學體系(xi)并(bing)奠定(ding)了它的(de)理(li)論基礎，這方面集(ji)中(zhong)體現在《九章算(suan)術注》中(zhong)。它實(shi)已形成為一個比(bi)較(jiao)完整(zheng)的(de)理(li)論體系(xi)：
數系理論
用數(shu)的(de)(de)同類與異類闡述了(le)通分、約(yue)分、四則(ze)運(yun)算，以(yi)及(ji)繁分數(shu)化簡等的(de)(de)運(yun)算法則(ze)；在(zai)開(kai)方術 的(de)(de)注(zhu)釋中，他從開(kai)方不盡的(de)(de)意(yi)義(yi)出發，論述了(le)無理方根的(de)(de)存在(zai)，并引(yin)進了(le)新數(shu)，創造(zao)了(le)用十進分數(shu)無限逼(bi)近無理根的(de)(de)方法。
在籌式演算理(li)論方面(mian)， 先給(gei)率以比較(jiao)明確的定(ding)義，又(you)以遍乘、通約、齊同等三種基(ji)本(ben)運算為(wei)基(ji)礎，建立了數(shu)與(yu)式運算的統一的理(li)論基(ji)礎，他還用“率”來定(ding)義中(zhong)國古代(dai)數(shu)學(xue)(xue)中(zhong)的“方程(cheng)”，即(ji)現(xian)代(dai)數(shu)學(xue)(xue)中(zhong)線性方程(cheng)組的增廣矩陣。
在勾股理(li)論方面逐一(yi)論證了(le)有關勾股定理(li)與(yu)解勾股形的(de)計算原理(li)，建立了(le)相(xiang)似勾股形理(li)論，發展了(le)勾股測量(liang)術，通(tong)過對(dui)“勾中容橫”與(yu)“股中容直(zhi)”之類(lei)的(de)典型圖形的(de)論析，形成了(le)中國(guo)特色的(de)相(xiang)似理(li)論。
面積與體積理論
用出(chu)入相補、以盈補虛的(de)原(yuan)理及“割(ge)圓術”的(de)極限方法提出(chu)了(le)劉徽原(yuan)理，并解決了(le)多(duo)種幾何形(xing)、幾何體的(de)面積、體積計算問(wen)題。這些方面的(de)理論價值(zhi)至今仍閃爍(shuo)著余輝。
二是在繼承的基礎上提出了(le)自己(ji)的創見。這方(fang)面主要(yao)體現(xian)為以下(xia)幾項(xiang)有(you)代表性(xing)的創見：
割(ge)圓術(shu)與圓周率(lv)， 他(ta)在《九(jiu)章(zhang)算術(shu) 圓田術(shu)》注中，用(yong)割(ge)圓術(shu)證明了圓面(mian)(mian)積的精確(que)公(gong)式，并給出了計算圓周率(lv)的科學方法。他(ta)首先從(cong)圓內接六邊(bian)(bian)形(xing)開始(shi)割(ge)圓，每次邊(bian)(bian)數倍增，算到(dao)192邊(bian)(bian)形(xing)的面(mian)(mian)積，得(de)到(dao)π=157/50=3.14，又算到(dao)3072邊(bian)(bian)形(xing)的面(mian)(mian)積，得(de)到(dao)π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率(lv)”。
劉(liu)徽(hui)原(yuan)理在《九章(zhang)算術陽馬(ma)術》注中，他在用無限分割的(de)方法解決(jue)錐體體積(ji)時，提出(chu)了(le)關于多(duo)面(mian)體體積(ji)計算的(de)劉(liu)徽(hui)原(yuan)理。
“牟合方蓋”說
在《九(jiu)章算(suan)術開立圓(yuan)術》注中，他(ta)指出了(le)(le)球體(ti)積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精(jing)確性，并引入了(le)(le)“牟(mou)合(he)方蓋”這(zhe)一著名的幾(ji)何模型。“牟(mou)合(he)方蓋”是指正(zheng)方體(ti)的兩個軸互(hu)相(xiang)垂(chui)直的內切圓(yuan)柱(zhu)體(ti)的貫交部分。
方程新術
在《九章算術方程術》注中(zhong)，他(ta)提出了解線(xian)性方程組的(de)新方法，運用了比(bi)率算法的(de)思想。
重差術
在(zai)(zai)自撰《海(hai)島(dao)算經》中，他提(ti)出了(le)重(zhong)(zhong)差術，采用了(le)重(zhong)(zhong)表、連索和累矩等測高測遠方法(fa)。他還運用“類推衍化(hua)”的方法(fa)，使重(zhong)(zhong)差術由兩次測望，發(fa)(fa)展為(wei)“三望”、“四望”。而(er)印度(du)在(zai)(zai)7世(shi)紀，歐洲在(zai)(zai)15～16世(shi)紀才(cai)開始(shi)研究兩次測望的問題。劉(liu)徽的工作，不僅對中國古代數(shu)學(xue)發(fa)(fa)展產生了(le)深遠影響，而(er)且在(zai)(zai)世(shi)界數(shu)學(xue)史上也(ye)確立了(le)崇高的歷史地位。鑒于(yu)劉(liu)徽的巨大貢獻，所以(yi)不少書上把(ba)他稱作“中國數(shu)學(xue)史上的牛(niu)頓”。
