康托爾，1862年(nian)(nian)(nian)入(ru)(ru)蘇黎(li)世大(da)學(xue)(xue)(xue)學(xue)(xue)(xue)工(gong),翌年(nian)(nian)(nian)轉(zhuan)入(ru)(ru)柏林大(da)學(xue)(xue)(xue)攻讀(du)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)和神(shen)學(xue)(xue)(xue)，受教于庫(ku)默(mo)爾（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特拉(la)(la)斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克羅內克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年(nian)(nian)(nian)曾(ceng)去格丁(ding)根學(xue)(xue)(xue)習一(yi)(yi)學(xue)(xue)(xue)期。1867年(nian)(nian)(nian)在(zai)庫(ku)默(mo)爾指導下以解決一(yi)(yi)般整系(xi)數(shu)(shu)(shu)(shu)不(bu)定方(fang)程ax2+by2+cz2=0求解問題的論文獲博(bo)士學(xue)(xue)(xue)位。畢業后受魏爾斯特拉(la)(la)斯的直(zhi)接影響，由數(shu)(shu)(shu)(shu)論轉(zhuan)向嚴格的分析理論的研究，不(bu)久嶄(zhan)露(lu)頭角。他在(zai)哈(ha)雷大(da)學(xue)(xue)(xue)任教（1869-1913）的初(chu)期證明了(le)復合變量函數(shu)(shu)(shu)(shu)三(san)角級數(shu)(shu)(shu)(shu)展開的唯一(yi)(yi)性(xing)，繼(ji)而用有理數(shu)(shu)(shu)(shu)列(lie)極限定義(yi)無理數(shu)(shu)(shu)(shu)。1872年(nian)(nian)(nian)成為該校(xiao)副教授，1879年(nian)(nian)(nian)任教授。由于學(xue)(xue)(xue)術觀點(dian)上受到的沉(chen)重打(da)擊，康托爾曾(ceng)一(yi)(yi)度患(huan)精神(shen)分裂癥，雖(sui)在(zai)1887年(nian)(nian)(nian)恢復了(le)健康，繼(ji)續工(gong)作，但(dan)晚(wan)年(nian)(nian)(nian)一(yi)(yi)直(zhi)病(bing)魔纏身。1918年(nian)(nian)(nian)1月6日在(zai)德國哈(ha)雷（Halle）-維滕貝格大(da)學(xue)(xue)(xue)附屬精神(shen)病(bing)院去世。
康托(tuo)爾愛好廣泛，極有個性，終身信奉(feng)宗(zong)教。早期在數(shu)學(xue)方面的興(xing)趣是(shi)數(shu)論，1870年(nian)開始研究三(san)角級數(shu)并由此導(dao)致19世紀(ji)末、20世紀(ji)初最偉大(da)的數(shu)學(xue)成就——集合論和超窮(qiong)數(shu)理(li)論的建立(li)。除此之(zhi)外(wai)，他還努力探討在新理(li)論創立(li)過程中所(suo)涉及的數(shu)理(li)哲學(xue)問題.1888-1893年(nian)康托(tuo)爾任(ren)(ren)柏林數(shu)學(xue)會第一任(ren)(ren)會長，1890年(nian)領(ling)導(dao)創立(li)德國數(shu)學(xue)家聯合會并任(ren)(ren)首(shou)屆(jie)主席(xi)。
康托爾對數學的貢獻是集合論(lun)和超窮數理論(lun)。
兩千多年來，科(ke)學家(jia)們接(jie)觸到無(wu)窮，卻(que)又無(wu)力去把握和(he)認識它，這的(de)(de)(de)確是向人類提出(chu)的(de)(de)(de)尖銳挑戰(zhan)。康托爾以其(qi)思維之(zhi)(zhi)獨特，想象力之(zhi)(zhi)豐富，方(fang)法(fa)之(zhi)(zhi)新(xin)穎繪制了一幅人類智慧的(de)(de)(de)精品——集合論(lun)和(he)超窮數(shu)理(li)論(lun)，令19、20世紀之(zhi)(zhi)交的(de)(de)(de)整(zheng)個數(shu)學界(jie)、甚至哲學界(jie)感到震驚。可以毫不(bu)夸張地講，“關于數(shu)學無(wu)窮的(de)(de)(de)革命幾乎是由他一個人獨立完成的(de)(de)(de)。”
19世(shi)紀由于分析的嚴格化和函數(shu)論的發(fa)展，數(shu)學家們(men)提出了一(yi)系列重要問題，并對(dui)無理數(shu)理論、不連續函數(shu)理論進行認(ren)真考察(cha)，這方(fang)面的研究成果為康托爾后來的工作奠定了必要的思想基礎。
康托(tuo)爾是(shi)在(zai)(zai)(zai)尋找函數(shu)(shu)(shu)展開(kai)為(wei)(wei)三角(jiao)級數(shu)(shu)(shu)表(biao)示(shi)的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)(yi)性判(pan)別準則的(de)(de)(de)(de)工(gong)作中(zhong)，認(ren)識到(dao)無窮集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)重(zhong)要(yao)性，并(bing)開(kai)始從(cong)事無窮集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)般理(li)論研(yan)究(jiu)(jiu)。早在(zai)(zai)(zai)1870年和1871年，康托(tuo)爾兩(liang)次在(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)雜志》上發表(biao)論文，證明(ming)了(le)(le)函數(shu)(shu)(shu)f(x)的(de)(de)(de)(de)三角(jiao)級數(shu)(shu)(shu)表(biao)示(shi)的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)(yi)性定(ding)理(li)，而且(qie)證明(ming)了(le)(le)即使在(zai)(zai)(zai)有限個間斷點(dian)(dian)處不收斂，定(ding)理(li)仍然(ran)(ran)成(cheng)立。1872年他(ta)(ta)在(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)年鑒(jian)》上發表(biao)了(le)(le)一(yi)(yi)(yi)(yi)篇題為(wei)(wei)《三角(jiao)級數(shu)(shu)(shu)中(zhong)一(yi)(yi)(yi)(yi)個定(ding)理(li)的(de)(de)(de)(de)推(tui)廣》的(de)(de)(de)(de)論文，把唯一(yi)(yi)(yi)(yi)性的(de)(de)(de)(de)結果(guo)推(tui)廣到(dao)允許(xu)例(li)外(wai)值是(shi)某種無窮的(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)情(qing)形(xing)。為(wei)(wei)了(le)(le)描述這(zhe)(zhe)種集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)，他(ta)(ta)首先定(ding)義了(le)(le)點(dian)(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)極限點(dian)(dian)，然(ran)(ran)后引(yin)進了(le)(le)點(dian)(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)和導集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)等有關重(zhong)要(yao)概念(nian)。這(zhe)(zhe)是(shi)從(cong)唯一(yi)(yi)(yi)(yi)性問題的(de)(de)(de)(de)探(tan)索(suo)向點(dian)(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)論研(yan)究(jiu)(jiu)的(de)(de)(de)(de)開(kai)端，并(bing)為(wei)(wei)點(dian)(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)論奠定(ding)了(le)(le)理(li)論基礎。以(yi)后，他(ta)(ta)又在(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)年鑒(jian)》和《數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)雜志》兩(liang)刊上發表(biao)了(le)(le)許(xu)多(duo)文章。他(ta)(ta)稱集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)為(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)些確定(ding)的(de)(de)(de)(de)、不同(tong)的(de)(de)(de)(de)東西(xi)的(de)(de)(de)(de)總體(ti)，這(zhe)(zhe)些東西(xi)人們能(neng)意識到(dao)并(bing)且(qie)能(neng)判(pan)斷一(yi)(yi)(yi)(yi)個給(gei)(gei)定(ding)的(de)(de)(de)(de)東西(xi)是(shi)否屬于這(zhe)(zhe)個總體(ti)。他(ta)(ta)還指出，如(ru)果(guo)一(yi)(yi)(yi)(yi)個集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)能(neng)夠和它的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)部分構(gou)成(cheng)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對應(ying)，它就是(shi)無窮的(de)(de)(de)(de)。他(ta)(ta)又給(gei)(gei)出了(le)(le)開(kai)集(ji)(ji)(ji)(ji)、閉集(ji)(ji)(ji)(ji)和完全集(ji)(ji)(ji)(ji)等重(zhong)要(yao)概念(nian)，并(bing)定(ding)義了(le)(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)并(bing)與交兩(liang)種運算。
為(wei)了(le)將有(you)窮(qiong)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素(su)個(ge)(ge)(ge)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念推廣到(dao)無窮(qiong)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)，他(ta)(ta)(ta)(ta)以(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)為(wei)原則，提出(chu)(chu)了(le)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)等價(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念。兩個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)只(zhi)有(you)它(ta)(ta)們的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素(su)間(jian)可(ke)以(yi)(yi)建立一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)才(cai)稱(cheng)為(wei)是(shi)(shi)(shi)(shi)等價(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)樣就(jiu)第一(yi)(yi)(yi)(yi)次對(dui)各種無窮(qiong)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)按它(ta)(ta)們元(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“多少”進行(xing)了(le)分類。他(ta)(ta)(ta)(ta)還引進了(le)“可(ke)列(lie)(lie)”這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念，把凡是(shi)(shi)(shi)(shi)能和正整數(shu)(shu)(shu)構成(cheng)(cheng)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)任何一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)都(dou)稱(cheng)為(wei)可(ke)列(lie)(lie)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)。1874年(nian)(nian)他(ta)(ta)(ta)(ta)在(zai)(zai)《數(shu)(shu)(shu)學雜(za)志(zhi)》上發表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)論文中(zhong)，證明(ming)了(le)有(you)理數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，后來他(ta)(ta)(ta)(ta)還證明(ming)了(le)所有(you)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)代(dai)數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)全體構成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)也是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。至(zhi)于(yu)(yu)(yu)實數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)否可(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題，1873年(nian)(nian)康托爾給戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)封信中(zhong)提出(chu)(chu)過，但不(bu)久他(ta)(ta)(ta)(ta)自己得到(dao)回答(da)：實數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。由(you)(you)于(yu)(yu)(yu)實數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而(er)代(dai)數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，于(yu)(yu)(yu)是(shi)(shi)(shi)(shi)他(ta)(ta)(ta)(ta)得到(dao)了(le)必(bi)定有(you)超越數(shu)(shu)(shu)存在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)結論，而(er)且(qie)超越數(shu)(shu)(shu)“大大多于(yu)(yu)(yu)”代(dai)數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)。同(tong)年(nian)(nian)又構造了(le)實變函數(shu)(shu)(shu)論中(zhong)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“康托爾集(ji)(ji)”,給出(chu)(chu)測度(du)為(wei)零的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)不(bu)可(ke)數(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)例子。他(ta)(ta)(ta)(ta)還巧妙地將一(yi)(yi)(yi)(yi)條直線(xian)上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)與(yu)整個(ge)(ge)(ge)平面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)起(qi)來，甚至(zhi)可(ke)以(yi)(yi)將直線(xian)與(yu)整個(ge)(ge)(ge)n維空(kong)間(jian)進行(xing)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)。從1879年(nian)(nian)到(dao)1883年(nian)(nian)，康托爾寫了(le)六篇(pian)系列(lie)(lie)論文，論文總題目(mu)是(shi)(shi)(shi)(shi)“論無窮(qiong)線(xian)形(xing)點(dian)流形(xing)”，其中(zhong)前四篇(pian)同(tong)以(yi)(yi)前的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)論文類似(si)，討論了(le)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)些數(shu)(shu)(shu)學成(cheng)(cheng)果，特別是(shi)(shi)(shi)(shi)涉及集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論在(zai)(zai)分析上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)些有(you)趣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)用。第五篇(pian)論文后來以(yi)(yi)單行(xing)本(ben)出(chu)(chu)版，單行(xing)本(ben)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)書名《一(yi)(yi)(yi)(yi)般集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論基礎》。第六篇(pian)論文是(shi)(shi)(shi)(shi)第五篇(pian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)補充。康托爾的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信條是(shi)(shi)(shi)(shi)：“數(shu)(shu)(shu)學在(zai)(zai)它(ta)(ta)自身的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)發展中(zhong)完(wan)全是(shi)(shi)(shi)(shi)自由(you)(you)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，對(dui)他(ta)(ta)(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念限制只(zhi)在(zai)(zai)于(yu)(yu)(yu)：必(bi)須是(shi)(shi)(shi)(shi)無矛盾的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，并且(qie)與(yu)由(you)(you)確(que)切(qie)定義引進的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念相協調。……數(shu)(shu)(shu)學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)本(ben)質就(jiu)在(zai)(zai)于(yu)(yu)(yu)它(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自由(you)(you)。”
《一般集合(he)論(lun)基礎(chu)(chu)》（以下(xia)簡稱《基礎(chu)(chu)》）在數學上的(de)主要成果是(shi)引進超窮數，在具體展開(kai)這一理論(lun)的(de)過(guo)程(cheng)中，康托爾應用(yong)了以下(xia)幾條原則(ze)：
第一生成原則：從任一給點的(de)數(shu)出發，通過相繼(ji)加(jia)1（個單位）可得到它的(de)后(hou)繼(ji)數(shu)。
第二生成原則：任給一(yi)個其中無(wu)最大數的序列，可產(chan)生一(yi)個作為該序列極(ji)限(xian)的新(xin)數，它定義為大于此序列中所有數的后繼數。
第三（限(xian)(xian)制）原則(ze)：保證(zheng)在上述超窮(qiong)序列中產生一(yi)種自然中斷，使第二(er)數類有一(yi)個確(que)定極限(xian)(xian)，從(cong)而(er)形成更大數類。
反(fan)復(fu)應用三(san)個原(yuan)則，得到(dao)超窮數的序列(lie)
ω，ω1，ω2，…
利用先前引入的(de)(de)(de)集合(he)的(de)(de)(de)勢的(de)(de)(de)概(gai)念，康托爾指(zhi)出(chu)，第(di)一數類(lei)(lei)（Ⅰ）和第(di)二數類(lei)(lei)（Ⅱ）的(de)(de)(de)重(zhong)要區別在于（Ⅱ）的(de)(de)(de)勢大于（Ⅰ）的(de)(de)(de)勢。在《基礎》的(de)(de)(de)第(di)十三(san)章，康托爾第(di)一次指(zhi)出(chu)，數類(lei)(lei)（Ⅱ）的(de)(de)(de)勢是緊跟(gen)在數類(lei)(lei)（Ⅰ）的(de)(de)(de)勢之后的(de)(de)(de)勢。
在《基礎(chu)》中(zhong)，康托爾還給(gei)出了(le)良(liang)序(xu)集和無窮(qiong)(qiong)(qiong)良(liang)序(xu)集編(bian)號的(de)概念，指(zhi)出整個超窮(qiong)(qiong)(qiong)數(shu)的(de)集合是良(liang)序(xu)的(de)，而(er)且(qie)任(ren)何無窮(qiong)(qiong)(qiong)良(liang)序(xu)集，都存(cun)在唯一的(de)一個第二數(shu)類中(zhong)的(de)數(shu)作為表示它(ta)的(de)順序(xu)特性的(de)編(bian)號。康托爾還借助良(liang)序(xu)集定義了(le)超窮(qiong)(qiong)(qiong)數(shu)的(de)加法(fa)、乘(cheng)法(fa)及其逆運(yun)算。
《對(dui)超窮數(shu)論(lun)基(ji)礎的(de)(de)(de)獻(xian)文(wen)》是(shi)康托爾最后(hou)一部重要的(de)(de)(de)數(shu)學著(zhu)作(zuo)，經歷了20年之久(jiu)的(de)(de)(de)艱苦(ku)探索，康托尓希望系統地總結(jie)一下超窮數(shu)理論(lun)嚴格的(de)(de)(de)數(shu)學基(ji)礎。《獻(xian)文(wen)》分兩部分，第一部分是(shi)“全(quan)序(xu)集(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)(de)研(yan)(yan)究”，于(yu)1895年5月在(zai)(zai)《數(shu)學年鑒》上(shang)發(fa)表。第二部分于(yu)1897年5月在(zai)(zai)《數(shu)學年鑒》上(shang)發(fa)表，是(shi)關于(yu)“良(liang)序(xu)集(ji)(ji)的(de)(de)(de)研(yan)(yan)究”。《獻(xian)文(wen)》的(de)(de)(de)發(fa)表標(biao)志集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)已從點(dian)集(ji)(ji)論(lun)過渡到(dao)抽象集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)。但是(shi)，由于(yu)它還不是(shi)公理化的(de)(de)(de)，而(er)且它的(de)(de)(de)某(mou)些邏輯前(qian)提和某(mou)些證明方(fang)法如不給予(yu)適當的(de)(de)(de)限(xian)制便會導(dao)出(chu)悖論(lun)，所以康托爾的(de)(de)(de)集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)通常成(cheng)為古典集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)或樸素集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)。
