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格奧爾格·康托爾
0 票數:0 #數學家#
格奧爾格·康托爾(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp,1845.3.3-1918.1.6)德國數學家,集合論的創始人。生于俄國列寧格勒(今俄羅斯圣彼得堡)。父親是猶太血統的丹麥商人,母親出身藝術世家。1856年全家遷居德國的法蘭克福。先在一所中學,后在威斯巴登的一所大學預科學校學習。
  • 中文名: 格奧爾格·康(kang)托爾
  • 外文名: Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp
  • 別號名稱: 康托爾
  • 出生日期: 1845年03月03日
  • 性別: 男(nan)
  • 國籍: 德國(guo)
  • 畢業院校: 蘇黎世大學(xue)
  • 去世日期: 1918年(nian)01月(yue)06日
  • 職業職位: 數學(xue)家
  • 代表作品: 《一般(ban)集合論(lun)基礎》
  • 主要成就: 集合論和超窮數(shu)理論
詳細介紹 PROFILE +

生平簡介

康托爾(er),1862年(nian)(nian)入(ru)蘇黎世(shi)大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)工,翌年(nian)(nian)轉入(ru)柏林大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)攻讀(du)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)和神學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue),受(shou)(shou)教(jiao)于庫(ku)默(mo)爾(er)(Kummer,Ernst Eduard,1810.1.29-1893.5.14)、維(wei)爾(er)斯特(te)拉斯(Weierstrass,Karl Theodor Wilhelm,1815.10.31-1897.2.19)和克羅(luo)內克(Kronecker,Leopold,1823.12.7-1891.12.29)。1866年(nian)(nian)曾去(qu)(qu)格丁根學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)習一學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)期。1867年(nian)(nian)在(zai)庫(ku)默(mo)爾(er)指導下以解決一般整系數(shu)不(bu)定方(fang)程ax2+by2+cz2=0求解問題(ti)的論文獲博士學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)位。畢業后受(shou)(shou)魏(wei)爾(er)斯特(te)拉斯的直(zhi)接影響,由(you)數(shu)論轉向(xiang)嚴格的分析理(li)論的研究,不(bu)久嶄露頭角(jiao)。他在(zai)哈雷大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)任(ren)教(jiao)(1869-1913)的初期證明了復(fu)(fu)合(he)變(bian)量函數(shu)三(san)角(jiao)級數(shu)展開的唯一性,繼而用(yong)有理(li)數(shu)列(lie)極限(xian)定義無理(li)數(shu)。1872年(nian)(nian)成為該校副(fu)教(jiao)授(shou),1879年(nian)(nian)任(ren)教(jiao)授(shou)。由(you)于學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)術觀點上受(shou)(shou)到的沉重打擊,康托爾(er)曾一度患精(jing)(jing)神分裂癥,雖在(zai)1887年(nian)(nian)恢復(fu)(fu)了健(jian)康,繼續工作,但晚年(nian)(nian)一直(zhi)病(bing)(bing)魔纏(chan)身。1918年(nian)(nian)1月(yue)6日(ri)在(zai)德國哈雷(Halle)-維(wei)滕貝格大(da)(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)(xue)附屬精(jing)(jing)神病(bing)(bing)院去(qu)(qu)世(shi)。

康托(tuo)爾愛好廣泛,極(ji)有個(ge)性,終身信(xin)奉宗教(jiao)。早期在數(shu)(shu)學方面的興趣是(shi)數(shu)(shu)論(lun),1870年(nian)開始研究三角(jiao)級(ji)數(shu)(shu)并由(you)此(ci)(ci)導(dao)致19世紀(ji)末、20世紀(ji)初最偉(wei)大的數(shu)(shu)學成就——集合論(lun)和超(chao)窮數(shu)(shu)理論(lun)的建立(li)。除此(ci)(ci)之外(wai),他還努力(li)探討在新理論(lun)創立(li)過程中所(suo)涉及的數(shu)(shu)理哲學問題.1888-1893年(nian)康托(tuo)爾任柏林數(shu)(shu)學會第一(yi)任會長,1890年(nian)領導(dao)創立(li)德國數(shu)(shu)學家聯(lian)合會并任首屆主席。

主要貢獻

綜述

康托爾對數(shu)(shu)學的貢獻是集合論(lun)和(he)超窮數(shu)(shu)理論(lun)。

兩(liang)千多年來,科(ke)學(xue)家(jia)們接觸到無窮(qiong),卻又無力(li)去(qu)把(ba)握和認(ren)識它(ta),這(zhe)的(de)(de)確是向人類(lei)提(ti)出的(de)(de)尖銳挑戰(zhan)。康托爾以(yi)其思維之(zhi)(zhi)獨(du)特,想象力(li)之(zhi)(zhi)豐富,方法之(zhi)(zhi)新穎(ying)繪制(zhi)了一(yi)幅人類(lei)智慧的(de)(de)精品——集合論(lun)(lun)和超窮(qiong)數(shu)理論(lun)(lun),令19、20世紀之(zhi)(zhi)交(jiao)的(de)(de)整個數(shu)學(xue)界、甚至(zhi)哲學(xue)界感到震驚(jing)。可以(yi)毫(hao)不夸張地講,“關于數(shu)學(xue)無窮(qiong)的(de)(de)革命幾乎是由他一(yi)個人獨(du)立完成的(de)(de)。”

集合論的建立

19世紀由于分析(xi)的(de)嚴格化和函(han)數論(lun)(lun)的(de)發展,數學(xue)家們提出了一系列重要問題,并(bing)對無理數理論(lun)(lun)、不連續函(han)數理論(lun)(lun)進行認真考察,這方(fang)面的(de)研究(jiu)成(cheng)果為康托(tuo)爾后來的(de)工作(zuo)奠定了必要的(de)思想基(ji)礎(chu)。

康托爾(er)是在(zai)(zai)尋找函(han)數展開(kai)為(wei)三角(jiao)(jiao)級(ji)數表(biao)示的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)性(xing)判別準則的(de)(de)(de)(de)工作中,認識(shi)(shi)到無(wu)窮集(ji)(ji)(ji)(ji)合的(de)(de)(de)(de)重要性(xing),并開(kai)始(shi)從(cong)事無(wu)窮集(ji)(ji)(ji)(ji)合的(de)(de)(de)(de)一(yi)般理(li)論(lun)(lun)研究(jiu)。早在(zai)(zai)1870年(nian)和1871年(nian),康托爾(er)兩次在(zai)(zai)《數學(xue)雜(za)志》上(shang)發表(biao)論(lun)(lun)文,證明(ming)了函(han)數f(x)的(de)(de)(de)(de)三角(jiao)(jiao)級(ji)數表(biao)示的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)性(xing)定(ding)(ding)(ding)(ding)理(li),而且(qie)證明(ming)了即使在(zai)(zai)有限個(ge)間斷點(dian)處不收斂,定(ding)(ding)(ding)(ding)理(li)仍然(ran)成立。1872年(nian)他(ta)(ta)在(zai)(zai)《數學(xue)年(nian)鑒(jian)》上(shang)發表(biao)了一(yi)篇題(ti)為(wei)《三角(jiao)(jiao)級(ji)數中一(yi)個(ge)定(ding)(ding)(ding)(ding)理(li)的(de)(de)(de)(de)推廣(guang)》的(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)文,把唯一(yi)性(xing)的(de)(de)(de)(de)結果推廣(guang)到允許例外(wai)值是某種無(wu)窮的(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)合情形。為(wei)了描述這(zhe)種集(ji)(ji)(ji)(ji)合,他(ta)(ta)首先定(ding)(ding)(ding)(ding)義了點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)極限點(dian),然(ran)后(hou)引進了點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)和導集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)導集(ji)(ji)(ji)(ji)等有關重要概念。這(zhe)是從(cong)唯一(yi)性(xing)問題(ti)的(de)(de)(de)(de)探(tan)索向點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)論(lun)(lun)研究(jiu)的(de)(de)(de)(de)開(kai)端,并為(wei)點(dian)集(ji)(ji)(ji)(ji)論(lun)(lun)奠(dian)定(ding)(ding)(ding)(ding)了理(li)論(lun)(lun)基礎。以后(hou),他(ta)(ta)又在(zai)(zai)《數學(xue)年(nian)鑒(jian)》和《數學(xue)雜(za)志》兩刊上(shang)發表(biao)了許多文章。他(ta)(ta)稱集(ji)(ji)(ji)(ji)合為(wei)一(yi)些確定(ding)(ding)(ding)(ding)的(de)(de)(de)(de)、不同的(de)(de)(de)(de)東(dong)西的(de)(de)(de)(de)總體,這(zhe)些東(dong)西人們能意識(shi)(shi)到并且(qie)能判斷一(yi)個(ge)給定(ding)(ding)(ding)(ding)的(de)(de)(de)(de)東(dong)西是否(fou)屬于(yu)這(zhe)個(ge)總體。他(ta)(ta)還指(zhi)出(chu),如果一(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合能夠和它的(de)(de)(de)(de)一(yi)部分構成一(yi)一(yi)對應,它就是無(wu)窮的(de)(de)(de)(de)。他(ta)(ta)又給出(chu)了開(kai)集(ji)(ji)(ji)(ji)、閉集(ji)(ji)(ji)(ji)和完全集(ji)(ji)(ji)(ji)等重要概念,并定(ding)(ding)(ding)(ding)義了集(ji)(ji)(ji)(ji)合的(de)(de)(de)(de)并與交兩種運算。

為(wei)(wei)(wei)了(le)(le)將有窮(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)(yuan)素(su)個(ge)(ge)(ge)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)概念(nian)推(tui)廣(guang)到無(wu)窮(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he),他(ta)以(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)(ying)為(wei)(wei)(wei)原則,提出了(le)(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)等價的(de)(de)(de)(de)(de)概念(nian)。兩個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)只有它們的(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)(yuan)素(su)間可(ke)(ke)以(yi)建立一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)(ying)才(cai)稱為(wei)(wei)(wei)是(shi)(shi)(shi)(shi)等價的(de)(de)(de)(de)(de)。這樣就第一(yi)(yi)(yi)(yi)次(ci)對(dui)(dui)各種無(wu)窮(qiong)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)按它們元(yuan)(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)“多少”進行了(le)(le)分類。他(ta)還引進了(le)(le)“可(ke)(ke)列”這個(ge)(ge)(ge)概念(nian),把凡是(shi)(shi)(shi)(shi)能(neng)和正整數(shu)(shu)(shu)(shu)構(gou)成(cheng)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)任何一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)都(dou)稱為(wei)(wei)(wei)可(ke)(ke)列集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)。1874年(nian)他(ta)在(zai)(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)雜志》上發表的(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)文(wen)(wen)(wen)中(zhong),證明了(le)(le)有理數(shu)(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列的(de)(de)(de)(de)(de),后(hou)來他(ta)還證明了(le)(le)所有的(de)(de)(de)(de)(de)代(dai)數(shu)(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)全體構(gou)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)也是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列的(de)(de)(de)(de)(de)。至于(yu)(yu)(yu)實數(shu)(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)否可(ke)(ke)列的(de)(de)(de)(de)(de)問題,1873年(nian)康(kang)(kang)(kang)托(tuo)爾(er)(er)(er)(er)給戴德金(Dedkind,Julins Wilhelm Richard,1831.10.6-1916.2.12)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)封信(xin)(xin)中(zhong)提出過,但不(bu)久他(ta)自己得(de)到回(hui)答(da):實數(shu)(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可(ke)(ke)列的(de)(de)(de)(de)(de)。由(you)于(yu)(yu)(yu)實數(shu)(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可(ke)(ke)列的(de)(de)(de)(de)(de),而代(dai)數(shu)(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列的(de)(de)(de)(de)(de),于(yu)(yu)(yu)是(shi)(shi)(shi)(shi)他(ta)得(de)到了(le)(le)必定有超越數(shu)(shu)(shu)(shu)存在(zai)(zai)(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)結論(lun),而且(qie)(qie)超越數(shu)(shu)(shu)(shu)“大大多于(yu)(yu)(yu)”代(dai)數(shu)(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)(shu)。同(tong)(tong)年(nian)又構(gou)造了(le)(le)實變函數(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)中(zhong)著名的(de)(de)(de)(de)(de)“康(kang)(kang)(kang)托(tuo)爾(er)(er)(er)(er)集(ji)(ji)(ji)(ji)”,給出測度(du)為(wei)(wei)(wei)零的(de)(de)(de)(de)(de)不(bu)可(ke)(ke)數(shu)(shu)(shu)(shu)集(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)例子。他(ta)還巧妙地將一(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)直線(xian)上的(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)與整個(ge)(ge)(ge)平面的(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)(ying)起來,甚至可(ke)(ke)以(yi)將直線(xian)與整個(ge)(ge)(ge)n維空(kong)間進行點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)(ying)。從1879年(nian)到1883年(nian),康(kang)(kang)(kang)托(tuo)爾(er)(er)(er)(er)寫了(le)(le)六(liu)篇系(xi)列論(lun)文(wen)(wen)(wen),論(lun)文(wen)(wen)(wen)總題目(mu)是(shi)(shi)(shi)(shi)“論(lun)無(wu)窮(qiong)線(xian)形(xing)點(dian)(dian)流形(xing)”,其中(zhong)前四(si)篇同(tong)(tong)以(yi)前的(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)文(wen)(wen)(wen)類似,討論(lun)了(le)(le)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)些數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)成(cheng)果,特(te)別是(shi)(shi)(shi)(shi)涉及(ji)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)在(zai)(zai)(zai)(zai)分析上的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)些有趣的(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)(ying)(ying)用。第五篇論(lun)文(wen)(wen)(wen)后(hou)來以(yi)單行本出版,單行本的(de)(de)(de)(de)(de)書名《一(yi)(yi)(yi)(yi)般(ban)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)基礎》。第六(liu)篇論(lun)文(wen)(wen)(wen)是(shi)(shi)(shi)(shi)第五篇的(de)(de)(de)(de)(de)補充。康(kang)(kang)(kang)托(tuo)爾(er)(er)(er)(er)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)條(tiao)是(shi)(shi)(shi)(shi):“數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)在(zai)(zai)(zai)(zai)它自身的(de)(de)(de)(de)(de)發展中(zhong)完全是(shi)(shi)(shi)(shi)自由(you)的(de)(de)(de)(de)(de),對(dui)(dui)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)概念(nian)限制(zhi)只在(zai)(zai)(zai)(zai)于(yu)(yu)(yu):必須是(shi)(shi)(shi)(shi)無(wu)矛盾的(de)(de)(de)(de)(de),并且(qie)(qie)與由(you)確切定義(yi)引進的(de)(de)(de)(de)(de)概念(nian)相協調(diao)。……數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)本質就在(zai)(zai)(zai)(zai)于(yu)(yu)(yu)它的(de)(de)(de)(de)(de)自由(you)。”

超窮數理論的建立

《一般集合(he)論基礎》(以下簡稱《基礎》)在數學(xue)上(shang)的主要成果是引進超窮數,在具體(ti)展開(kai)這一理論的過程中,康(kang)托爾應用了以下幾條(tiao)原則:

第一生成(cheng)原則:從(cong)任(ren)一給(gei)點的(de)數(shu)出發(fa),通(tong)過(guo)相繼加1(個單位)可得到它的(de)后(hou)繼數(shu)。

第二生成原則:任給一個其中(zhong)無最大數的(de)序列(lie)(lie),可產(chan)生一個作為該序列(lie)(lie)極限(xian)的(de)新(xin)數,它定(ding)義為大于此序列(lie)(lie)中(zhong)所有數的(de)后繼數。

第三(san)(限(xian)制)原則(ze):保證在上述超窮序列(lie)中產生一(yi)種自(zi)然(ran)中斷,使第二(er)數(shu)(shu)類有一(yi)個確定極限(xian),從(cong)而形成更(geng)大數(shu)(shu)類。

反復應用三個原則,得(de)到超窮(qiong)數的序列

ω,ω1,ω2,…

利(li)用先前引(yin)入的(de)(de)(de)集合的(de)(de)(de)勢(shi)的(de)(de)(de)概念,康托(tuo)(tuo)爾(er)指(zhi)出,第(di)一(yi)數(shu)類(Ⅰ)和第(di)二(er)數(shu)類(Ⅱ)的(de)(de)(de)重要區別在(zai)于(Ⅱ)的(de)(de)(de)勢(shi)大于(Ⅰ)的(de)(de)(de)勢(shi)。在(zai)《基礎(chu)》的(de)(de)(de)第(di)十三章(zhang),康托(tuo)(tuo)爾(er)第(di)一(yi)次指(zhi)出,數(shu)類(Ⅱ)的(de)(de)(de)勢(shi)是緊跟(gen)在(zai)數(shu)類(Ⅰ)的(de)(de)(de)勢(shi)之后的(de)(de)(de)勢(shi)。

在《基礎》中,康托(tuo)爾(er)還給出(chu)了(le)良(liang)序(xu)(xu)集(ji)(ji)和無(wu)窮(qiong)良(liang)序(xu)(xu)集(ji)(ji)編號(hao)的(de)概(gai)念,指出(chu)整個超(chao)窮(qiong)數(shu)的(de)集(ji)(ji)合是良(liang)序(xu)(xu)的(de),而且任何無(wu)窮(qiong)良(liang)序(xu)(xu)集(ji)(ji),都存在唯一(yi)(yi)的(de)一(yi)(yi)個第二數(shu)類中的(de)數(shu)作為(wei)表示(shi)它的(de)順(shun)序(xu)(xu)特性的(de)編號(hao)。康托(tuo)爾(er)還借助(zhu)良(liang)序(xu)(xu)集(ji)(ji)定義了(le)超(chao)窮(qiong)數(shu)的(de)加法、乘法及其逆(ni)運算。

《對超(chao)窮數(shu)(shu)論(lun)基礎的(de)(de)獻文(wen)》是(shi)(shi)(shi)康(kang)托爾最后(hou)一(yi)部(bu)(bu)重要的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)著作,經歷了20年(nian)(nian)之久的(de)(de)艱苦探索,康(kang)托尓希(xi)望系統地(di)總結一(yi)下(xia)超(chao)窮數(shu)(shu)理論(lun)嚴格的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)基礎。《獻文(wen)》分(fen)兩(liang)部(bu)(bu)分(fen),第(di)一(yi)部(bu)(bu)分(fen)是(shi)(shi)(shi)“全序(xu)集(ji)(ji)合(he)的(de)(de)研究(jiu)”,于1895年(nian)(nian)5月在《數(shu)(shu)學(xue)年(nian)(nian)鑒》上發表。第(di)二部(bu)(bu)分(fen)于1897年(nian)(nian)5月在《數(shu)(shu)學(xue)年(nian)(nian)鑒》上發表,是(shi)(shi)(shi)關(guan)于“良序(xu)集(ji)(ji)的(de)(de)研究(jiu)”。《獻文(wen)》的(de)(de)發表標志集(ji)(ji)合(he)論(lun)已從(cong)點集(ji)(ji)論(lun)過渡到抽象集(ji)(ji)合(he)論(lun)。但是(shi)(shi)(shi),由(you)于它還不(bu)是(shi)(shi)(shi)公理化的(de)(de),而且它的(de)(de)某些(xie)邏輯前提和某些(xie)證(zheng)明方(fang)法如不(bu)給予適(shi)當的(de)(de)限制便會導出悖論(lun),所以(yi)康(kang)托爾的(de)(de)集(ji)(ji)合(he)論(lun)通常成為古典(dian)集(ji)(ji)合(he)論(lun)或樸素集(ji)(ji)合(he)論(lun)。

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