芒果视频下载

羅素(su)悖論(lun)(lun)是由羅素(su)發(fa)現(xian)的一(yi)個集(ji)合(he)論(lun)(lun)悖論(lun)(lun)，其基本思想(xiang)是：對于任意(yi)一(yi)個集(ji)合(he)A，A要(yao)么是自(zi)身的元素(su)，即A∈A；A要(yao)么不(bu)是自(zi)身的元素(su)，即A?A。根據康托爾(er)集(ji)合(he)論(lun)(lun)的概括原則，可將所(suo)有(you)不(bu)是自(zi)身元素(su)的集(ji)合(he)構成一(yi)個集(ji)合(he)S1，即S1={x:x?x}。

簡介

20世紀之初，數(shu)學(xue)界甚至整(zheng)個科(ke)學(xue)界籠罩在(zai)一片喜悅祥(xiang)和的(de)(de)(de)氣(qi)氛之中(zhong)，科(ke)學(xue)家(jia)(jia)們普遍(bian)認為，數(shu)學(xue)的(de)(de)(de)系統性和嚴密性已經(jing)達到(dao)，科(ke)學(xue)大(da)(da)廈已經(jing)基本建(jian)(jian)成。例如，德國物(wu)理(li)學(xue)家(jia)(jia)基爾(er)霍(huo)夫（G．R．Kirchhoff）就曾經(jing)說過：“物(wu)理(li)學(xue)將無所作為了(le)(le)，至多也只能在(zai)已知規律的(de)(de)(de)公式的(de)(de)(de)小數(shu)點(dian)后面加上(shang)幾(ji)個數(shu)字罷了(le)(le)。”英(ying)國物(wu)理(li)學(xue)家(jia)(jia)開爾(er)文（L．Kelvin）在(zai)1900年回顧物(wu)理(li)學(xue)的(de)(de)(de)發展時也說：“在(zai)已經(jing)基本建(jian)(jian)成的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)大(da)(da)廈中(zhong)，后輩物(wu)理(li)學(xue)家(jia)(jia)只能做一些零碎的(de)(de)(de)修補工作了(le)(le)。”法(fa)國大(da)(da)數(shu)學(xue)家(jia)(jia)彭(peng)迦萊(lai)（Poincar6）在(zai)1900年的(de)(de)(de)國際數(shu)學(xue)家(jia)(jia)大(da)(da)會(hui)上(shang)也公開宣稱(cheng)，數(shu)學(xue)的(de)(de)(de)嚴格性，現(xian)在(zai)看(kan)來可以說是實現(xian)了(le)(le)。然而(er)好景不長，時隔不到(dao)兩年，科(ke)學(xue)界就發生了(le)(le)一件大(da)(da)事(shi)，這(zhe)件大(da)(da)事(shi)就是羅素（Russell）悖論的(de)(de)(de)發現(xian)。

例子

理發師悖論

在某個城(cheng)市中有一(yi)位(wei)理發(fa)(fa)師，他(ta)(ta)的(de)(de)廣告詞(ci)是(shi)這樣寫的(de)(de)：“本人(ren)的(de)(de)理發(fa)(fa)技藝十(shi)分高超，譽滿(man)全城(cheng)。我(wo)(wo)將為本城(cheng)所有不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)，我(wo)(wo)也只給(gei)(gei)(gei)這些人(ren)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)。我(wo)(wo)對各位(wei)表示熱誠歡迎(ying)！”來找他(ta)(ta)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)絡(luo)繹不(bu)(bu)(bu)(bu)絕，自(zi)(zi)然都是(shi)那些不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)。可是(shi)，有一(yi)天(tian)，這位(wei)理發(fa)(fa)師從(cong)鏡子(zi)里看(kan)見自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)的(de)(de)胡子(zi)長了(le)，他(ta)(ta)本能地抓起了(le)剃刀，你們看(kan)他(ta)(ta)能不(bu)(bu)(bu)(bu)能給(gei)(gei)(gei)他(ta)(ta)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)呢？如果他(ta)(ta)不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)，他(ta)(ta)就屬(shu)于(yu)“不(bu)(bu)(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)”，他(ta)(ta)就要(yao)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)，而如果他(ta)(ta)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)呢？他(ta)(ta)又屬(shu)于(yu)“給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)”，他(ta)(ta)就不(bu)(bu)(bu)(bu)該給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)(lian)(lian)。

理發師(shi)悖(bei)(bei)論(lun)與(yu)羅素悖(bei)(bei)論(lun)是(shi)(shi)等價的(de)：如果把每個(ge)人(ren)看成(cheng)(cheng)一個(ge)集(ji)(ji)合，這個(ge)集(ji)(ji)合的(de)元素被定(ding)義成(cheng)(cheng)這個(ge)人(ren)刮臉(lian)的(de)對象。那(nei)么，理發師(shi)宣稱，他(ta)(ta)的(de)元素，都(dou)是(shi)(shi)城(cheng)里(li)不屬(shu)于(yu)自(zi)身的(de)那(nei)些集(ji)(ji)合，并且城(cheng)里(li)所有不屬(shu)于(yu)自(zi)身的(de)集(ji)(ji)合都(dou)屬(shu)于(yu)他(ta)(ta)。那(nei)么他(ta)(ta)是(shi)(shi)否屬(shu)于(yu)他(ta)(ta)自(zi)己？這樣就由理發師(shi)悖(bei)(bei)論(lun)得到(dao)了羅素悖(bei)(bei)論(lun)。反過(guo)來(lai)的(de)變換也是(shi)(shi)成(cheng)(cheng)立的(de)。

“理發師(shi)(shi)悖(bei)論”是很容易(yi)解(jie)決(jue)的(de)，解(jie)決(jue)的(de)辦法之一(yi)就是修正理發師(shi)(shi)的(de)規(gui)矩，將他自己排除(chu)在規(gui)矩之外；可(ke)是嚴格的(de)羅素悖(bei)論就不是這么容易(yi)解(jie)決(jue)的(de)了。

書目悖論

一(yi)個(ge)圖書(shu)(shu)館編纂(zuan)了一(yi)本書(shu)(shu)名詞(ci)典，它列出這個(ge)圖書(shu)(shu)館里所有不列出自(zi)己(ji)書(shu)(shu)名的書(shu)(shu)。那么它列不列出自(zi)己(ji)的書(shu)(shu)名？這個(ge)悖論與(yu)理發師悖論基本一(yi)致。

影響

十九世紀下半(ban)葉，德國數(shu)學家(jia)康(kang)托(tuo)爾(er)創(chuang)立了著名(ming)的集合(he)(he)論(lun)，在集合(he)(he)論(lun)剛產(chan)生時，曾遭到許多人的猛(meng)烈攻擊。但不久這(zhe)一(yi)開創(chuang)性(xing)成果就(jiu)為廣大(da)數(shu)學家(jia)所(suo)接受(shou)了，并且獲得廣泛(fan)而(er)高度的贊譽。數(shu)學家(jia)們發(fa)現(xian)，從自然數(shu)與康(kang)托(tuo)爾(er)集合(he)(he)論(lun)出發(fa)可建立起整個(ge)數(shu)學大(da)廈。因而(er)集合(he)(he)論(lun)成為現(xian)代數(shu)學的基石。“一(yi)切(qie)數(shu)學成果可建立在集合(he)(he)論(lun)基礎上”這(zhe)一(yi)發(fa)現(xian)使數(shu)學家(jia)們為之(zhi)陶醉(zui)。

1903年，一個(ge)震驚數學(xue)(xue)界的(de)(de)(de)(de)消息(xi)傳出(chu)(chu)(chu)：集合論(lun)(lun)是(shi)有漏洞的(de)(de)(de)(de)。這(zhe)就是(shi)英國數學(xue)(xue)家(jia)(jia)羅素提(ti)出(chu)(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)著名(ming)的(de)(de)(de)(de)羅素悖論(lun)(lun)。羅素的(de)(de)(de)(de)這(zhe)條悖論(lun)(lun)使(shi)集合論(lun)(lun)產生了(le)(le)危機。它非(fei)常淺顯易懂，而(er)且所涉及的(de)(de)(de)(de)只是(shi)集合論(lun)(lun)中最(zui)基(ji)本的(de)(de)(de)(de)東西。所以(yi)，羅素悖論(lun)(lun)一提(ti)出(chu)(chu)(chu)就在(zai)(zai)當時的(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)界與(yu)邏(luo)輯(ji)(ji)學(xue)(xue)界內引起了(le)(le)極(ji)大震動。德國的(de)(de)(de)(de)著名(ming)邏(luo)輯(ji)(ji)學(xue)(xue)家(jia)(jia)弗(fu)雷(lei)格在(zai)(zai)他的(de)(de)(de)(de)關(guan)于(yu)集合的(de)(de)(de)(de)基(ji)礎理論(lun)(lun)完(wan)稿付印時，收到(dao)了(le)(le)羅素關(guan)于(yu)這(zhe)一悖論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)信。他立(li)刻(ke)發(fa)現，自(zi)己忙(mang)了(le)(le)很久得出(chu)(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)一系列結(jie)果卻被(bei)這(zhe)條悖論(lun)(lun)攪得一團糟。他只能在(zai)(zai)自(zi)己著作(zuo)的(de)(de)(de)(de)末尾寫道(dao)：“一個(ge)科學(xue)(xue)家(jia)(jia)所碰(peng)到(dao)的(de)(de)(de)(de)最(zui)倒霉的(de)(de)(de)(de)事，莫(mo)過于(yu)是(shi)在(zai)(zai)他的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)即將完(wan)成時卻發(fa)現所干的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)基(ji)礎崩潰了(le)(le)。”

公理化(hua)集(ji)合論(lun)的(de)(de)(de)建立，成功排除了(le)集(ji)合論(lun)中(zhong)出(chu)現的(de)(de)(de)悖論(lun)，從(cong)而(er)比較圓(yuan)滿地解(jie)決了(le)第三(san)次(ci)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)危(wei)機。但在另一方(fang)(fang)面，羅素悖論(lun)對(dui)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)而(er)言有著更(geng)為(wei)深刻(ke)(ke)的(de)(de)(de)影響。它使(shi)得數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)基(ji)礎(chu)問題(ti)第一次(ci)以最(zui)迫切的(de)(de)(de)需要的(de)(de)(de)姿態擺(bai)到數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)面前，導致了(le)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)對(dui)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)基(ji)礎(chu)的(de)(de)(de)研究。而(er)這方(fang)(fang)面的(de)(de)(de)進(jin)一步(bu)發展(zhan)又極其(qi)深刻(ke)(ke)地影響了(le)整個數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)。如(ru)圍繞著數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)基(ji)礎(chu)之爭，形(xing)成了(le)現代(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)史上著名的(de)(de)(de)三(san)大(da)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)流派，而(er)各派的(de)(de)(de)工(gong)作又都促進(jin)了(le)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)大(da)發展(zhan)。

于是，數(shu)學的基礎被動搖(yao)了(le)，這就是所謂(wei)的第三(san)次(ci)數(shu)學危機。

羅素的悖論發(fa)表(biao)之后，接著又發(fa)現一系列(lie)悖論（后來歸入所謂(wei)語(yu)義悖論）：

1.理查德悖(bei)論

2.培里悖論

3.格瑞林和納爾遜悖論

悖論的解決

羅(luo)素構造了一(yi)個(ge)集合(he)(he)S：S由一(yi)切不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)自身(shen)的(de)集合(he)(he)所組(zu)成。然(ran)后羅(luo)素問：s是否屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S呢？根據排中律，一(yi)個(ge)元素或(huo)者屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)某個(ge)集合(he)(he)，或(huo)者不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)某個(ge)集合(he)(he)。因此，對于(yu)(yu)(yu)一(yi)個(ge)給定(ding)集合(he)(he)，問是否屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)它(ta)自己是有(you)意義的(de)。但對這個(ge)看似合(he)(he)理的(de)問題的(de)回答卻會陷入兩難境地。如(ru)果s屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S，根據S的(de)定(ding)義，s就不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S；反之，如(ru)果s不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S，同樣根據定(ding)義，s就屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)(yu)S。無論如(ru)何都(dou)是矛(mao)盾的(de)。

羅素悖論提(ti)出后，數學家們紛紛提(ti)出自己的(de)(de)解決方案。人(ren)們希(xi)望能夠通(tong)過(guo)對(dui)康托(tuo)爾的(de)(de)集(ji)合論進行改造，通(tong)過(guo)對(dui)集(ji)合定義加以限制來排除(chu)悖論，這就需要建立(li)新的(de)(de)原則(ze)。“這些原則(ze)必須足夠狹窄(zhai)，以保證排除(chu)一(yi)(yi)切(qie)矛(mao)盾；另一(yi)(yi)方面又必須充分廣闊，使康托(tuo)爾集(ji)合論中一(yi)(yi)切(qie)有價值(zhi)的(de)(de)內容得以保存下來。”解決這一(yi)(yi)悖論主要有兩種選擇，ZF公(gong)理系(xi)統和NBG公(gong)理系(xi)統。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在自(zi)己這一(yi)原(yuan)則基礎(chu)上(shang)提(ti)出第一(yi)個(ge)公理化(hua)集(ji)合(he)論體(ti)系(xi)(xi)，后來這一(yi)公理化(hua)集(ji)合(he)系(xi)(xi)統(tong)(tong)很大程度(du)上(shang)彌補(bu)了(le)康托爾(er)樸(pu)素(su)集(ji)合(he)論的(de)缺陷。這一(yi)公理系(xi)(xi)統(tong)(tong)在通過弗(fu)蘭克爾(er)（Abraham Fraenkel）的(de)改進(jin)后被(bei)稱為ZF公理系(xi)(xi)統(tong)(tong)。在該公理系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)，由(you)于分類公理（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)x的(de)一(yi)個(ge)性質(zhi)，對任意已知集(ji)合(he)A，存(cun)在一(yi)個(ge)集(ji)合(he)B使得對所有(you)元素(su)x∈B當(dang)且僅當(dang)x∈A且P(x)；因(yin)此{x∣x是(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)}并不能在該系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)寫成(cheng)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)，由(you)于它并不是(shi)任何已知集(ji)合(he)的(de)子(zi)集(ji)；并且通過該公理，存(cun)在集(ji)合(he)A={x∣x是(shi)一(yi)個(ge)集(ji)合(he)}在ZF系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)能被(bei)證明是(shi)矛盾的(de)，因(yin)此羅素(su)悖論在該系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)被(bei)避免了(le)。

除ZF系(xi)統(tong)外(wai)，集合論的公理(li)系(xi)統(tong)還有多種，如馮·諾伊曼（von Neumann）等(deng)人提出的NBG系(xi)統(tong)等(deng)。在該公理(li)系(xi)統(tong)中(zhong)，所有包(bao)含(han)集合的"collection"都能被稱為類(lei)(class)，凡是集合也能被稱為類(lei)，但(dan)是某些collection太大(da)了(le)（比如一(yi)個(ge)(ge)collection包(bao)含(han)所有集合）以至(zhi)于(yu)不能是一(yi)個(ge)(ge)集合，因(yin)此只能是個(ge)(ge)類(lei)。這同樣(yang)也避免了(le)羅素(su)悖論。