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公元前5世紀，芝諾發表了(le)著名(ming)的(de)阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)悖論：他(ta)(ta)(ta)(ta)提出讓烏(wu)龜在(zai)阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)前面1000米處開始，和(he)阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)賽跑，并且假定阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)的(de)速度是烏(wu)龜的(de)10倍(bei)。當比賽開始后，若阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)跑了(le)1000米，設(she)所(suo)用的(de)時(shi)間為t，此(ci)時(shi)烏(wu)龜便領先他(ta)(ta)(ta)(ta)100米；當阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)跑完(wan)下一(yi)個100米時(shi)，他(ta)(ta)(ta)(ta)所(suo)用的(de)時(shi)間為t/10，烏(wu)龜仍然(ran)前于(yu)他(ta)(ta)(ta)(ta)10米；當阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)跑完(wan)下一(yi)個10米時(shi)，他(ta)(ta)(ta)(ta)所(suo)用的(de)時(shi)間為t/100，烏(wu)龜仍然(ran)前于(yu)他(ta)(ta)(ta)(ta)1米……芝諾認為，阿(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)(si)能夠繼(ji)續逼近烏(wu)龜，但決不可能追上(shang)它。

悖論解釋

關于阿(a)基(ji)里斯(si)悖論(lun)的一個解釋是(shi)(shi)：阿(a)基(ji)里斯(si)的確永遠也追不上烏(wu)龜。雖然現實中我們知道阿(a)基(ji)里斯(si)超(chao)越(yue)烏(wu)龜非常簡單，但是(shi)(shi)它是(shi)(shi)如何超(chao)過烏(wu)龜的在(zai)過去卻一直(zhi)存在(zai)爭論(lun)。

現代物理學(xue)已經證明了時(shi)間(jian)和空(kong)間(jian)不是可以(yi)無限(xian)分割的，所(suo)以(yi)總有最為微小的一(yi)個(ge)時(shi)間(jian)里(li)，阿基里(li)斯(si)(si)和烏龜共同前進了一(yi)個(ge)空(kong)間(jian)單位(wei)，從此阿基里(li)斯(si)(si)順(shun)利(li)超(chao)過烏龜。

產生原因

芝(zhi)(zhi)(zhi)諾(nuo)悖(bei)論的(de)產生原(yuan)因，是在于“芝(zhi)(zhi)(zhi)諾(nuo)時(shi)”不(bu)可能度量阿基(ji)里斯追(zhui)上烏龜(gui)后的(de)現象。在芝(zhi)(zhi)(zhi)諾(nuo)時(shi)達(da)到無限(xian)后，正常計(ji)時(shi)仍(reng)可以(yi)進(jin)行，只(zhi)不(bu)過芝(zhi)(zhi)(zhi)諾(nuo)的(de)“鐘(zhong)”已經無法度量它們(men)了。這個悖(bei)論實際(ji)上是反映時(shi)空并不(bu)是無限(xian)可分的(de)，運動也不(bu)是連續的(de)。

通俗一點講(jiang)，我(wo)們都知(zhi)道一條線(xian)是(shi)由無(wu)(wu)數個點組成的，但(dan)這(zhe)個“無(wu)(wu)數個點”并不能說我(wo)們無(wu)(wu)法畫出一條線(xian)。也就是(shi)說就是(shi)芝諾偷換了(le)概(gai)念，（1+0.1+0.01+……）t其實是(shi)一個有限的時間，但(dan)他認(ren)為這(zhe)個時間是(shi)無(wu)(wu)限大的，只要時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基(ji)里斯(si)就追上了(le)烏龜。

哲學辨析

阿(a)基(ji)里斯悖論分(fen)離了運動與靜止，夸大了相對靜止，而(er)否認了絕對運動，是形而(er)上學說。

黑(hei)格爾在(zai)《小(xiao)邏輯(ji)》中說(shuo)：“辯(bian)證(zheng)法切不可與單(dan)純的詭辯(bian)相混淆(xiao)。詭辯(bian)的本(ben)質在(zai)于孤立(li)起(qi)來看事物(wu)，把本(ben)身片面的、抽象的規定，認(ren)為是可靠(kao)的。”辯(bian)證(zheng)唯物(wu)主義認(ren)為，運動與靜止是對立(li)統一(yi)的辯(bian)證(zheng)關系。

一方面，運(yun)(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)對立表(biao)現在：運(yun)(yun)動(dong)(dong)是(shi)(shi)絕對的(de)(de)，靜(jing)(jing)止(zhi)是(shi)(shi)相對的(de)(de)，二者相互區別，不(bu)可(ke)混淆。所(suo)(suo)謂運(yun)(yun)動(dong)(dong)是(shi)(shi)絕對的(de)(de)是(shi)(shi)說，運(yun)(yun)動(dong)(dong)是(shi)(shi)物(wu)質的(de)(de)根(gen)本屬(shu)性，任(ren)何(he)(he)事物(wu)在任(ren)何(he)(he)條(tiao)(tiao)件(jian)下(xia)都是(shi)(shi)永恒(heng)運(yun)(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)，是(shi)(shi)無條(tiao)(tiao)件(jian)的(de)(de)。所(suo)(suo)謂靜(jing)(jing)止(zhi)是(shi)(shi)相對的(de)(de)是(shi)(shi)說，靜(jing)(jing)止(zhi)是(shi)(shi)運(yun)(yun)動(dong)(dong)在特(te)定條(tiao)(tiao)件(jian)下(xia)的(de)(de)特(te)殊狀態，是(shi)(shi)有條(tiao)(tiao)件(jian)的(de)(de)。

另(ling)一方面，運動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)(de)統一表現在：運動(dong)(dong)(dong)和靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)是相(xiang)互依存、相(xiang)互貫通的(de)(de)，即所謂(wei)動(dong)(dong)(dong)中有靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)、靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)中有動(dong)(dong)(dong)。在運動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)關(guan)系上(shang)有兩種形而(er)上(shang)學的(de)(de)錯(cuo)誤：一種是割裂運動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)(de)關(guan)系，否認運動(dong)(dong)(dong)，只(zhi)講(jiang)靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)，將靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)絕對化的(de)(de)形而(er)上(shang)學不(bu)動(dong)(dong)(dong)論；一種是割裂運動(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)(de)關(guan)系，只(zhi)講(jiang)運動(dong)(dong)(dong)，否認靜(jing)(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)的(de)(de)形而(er)上(shang)學相(xiang)對主義和詭辯論。

簡單證明

關于阿基里(li)斯追(zhui)龜(gui)的問題，我們可以(yi)很簡單地證(zheng)明阿基里(li)斯追(zhui)上了烏龜(gui)。

我們設烏(wu)(wu)龜先(xian)前所(suo)(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)屬(shu)于集(ji)(ji)合(he)B，烏(wu)(wu)龜現在(zai)所(suo)(suo)(suo)在(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)標志為(wei)b，烏(wu)(wu)龜所(suo)(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)是(shi)(shi)(shi)集(ji)(ji)合(he)A，A由集(ji)(ji)合(he)B中(zhong)所(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)構成(cheng)。只(zhi)要(yao)是(shi)(shi)(shi)烏(wu)(wu)龜先(xian)前所(suo)(suo)(suo)在(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)，都是(shi)(shi)(shi)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)可(ke)以走(zou)到的(de)(de)，因而阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)可(ke)以走(zou)到集(ji)(ji)合(he)B中(zhong)所(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)。那么(me)，我們能(neng)不(bu)能(neng)在(zai)集(ji)(ji)合(he)A中(zhong)找到一(yi)個(ge)點(dian)(dian)，它既不(bu)屬(shu)于B，也不(bu)是(shi)(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)(shi)不(bu)能(neng)的(de)(de)。因而如果阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)走(zou)過了集(ji)(ji)合(he)B中(zhong)所(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)，阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)與b點(dian)(dian)的(de)(de)距離就已經是(shi)(shi)(shi)0（如果不(bu)是(shi)(shi)(shi)0，則應(ying)該(gai)在(zai)阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)與b點(dian)(dian)之間還會存在(zai)著(zhu)一(yi)個(ge)點(dian)(dian)，但這個(ge)點(dian)(dian)并不(bu)存在(zai)），也就是(shi)(shi)(shi)說，阿(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)已經追上了烏(wu)(wu)龜。

而(er)按(an)照(zhao)我(wo)們(men)悖論(lun)(lun)所設(she)定的(de)(de)(de)條(tiao)件，阿基(ji)里斯是(shi)(shi)(shi)(shi)可以走到烏(wu)龜(gui)先前所走過的(de)(de)(de)所有的(de)(de)(de)點的(de)(de)(de)。因而(er)阿基(ji)里斯追到了(le)烏(wu)龜(gui)。但在(zai)上面的(de)(de)(de)分析(xi)中，我(wo)們(men)發現(xian)了(le)一個有趣(qu)的(de)(de)(de)矛(mao)盾(dun)，這就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)b既屬于(yu)B又(you)不屬于(yu)B，也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)說，b既是(shi)(shi)(shi)(shi)現(xian)在(zai)又(you)是(shi)(shi)(shi)(shi)先前。而(er)且這是(shi)(shi)(shi)(shi)阿基(ji)里斯得以追上烏(wu)龜(gui)的(de)(de)(de)前提和條(tiao)件。這樣的(de)(de)(de)一個有趣(qu)的(de)(de)(de)結論(lun)(lun)，是(shi)(shi)(shi)(shi)決不可能為具有形而(er)上學頭腦的(de)(de)(de)那些數學家們(men)所接受的(de)(de)(de)。

此(ci)悖論假設(she)阿基(ji)里(li)斯永遠只能(neng)到(dao)達龜前(qian)一(yi)個時間(jian)(jian)段(duan)到(dao)達的(de)地(di)方，即追上(shang)的(de)前(qian)一(yi)個時間(jian)(jian)段(duan)，此(ci)時條件未(wei)發生變化，并先承認此(ci)時間(jian)(jian)段(duan)兩者間(jian)(jian)仍(reng)有(you)差異，然(ran)后用不同(tong)的(de)時間(jian)(jian)段(duan)進行(xing)重復換(huan)算，假設(she)條件仍(reng)未(wei)變化。而在此(ci)時間(jian)(jian)段(duan)的(de)下一(yi)個口徑(jing)相同(tong)的(de)時間(jian)(jian)段(duan)里(li)，阿基(ji)米斯就會(hui)追上(shang)。

相反(fan)觀點(dian)：這證(zheng)(zheng)明是錯誤的。因為證(zheng)(zheng)明假設(she)了(le)(le)阿基里斯可以走(zou)一個點(dian)，在(zai)事(shi)實上回(hui)避(bi)了(le)(le)悖(bei)論(lun)中無法找第1點(dian)問題(ti)實質(zhi)。故此證(zheng)(zheng)明和悖(bei)論(lun)無關，只是把小學應用題(ti)用集(ji)合論(lun)復(fu)述了(le)(le)一遍。

推翻悖論

其實(shi)，我們(men)根據中學所學過(guo)的無窮(qiong)等比遞縮數列求和的知識，只需列一個方(fang)程就(jiu)可以輕而易舉地(di)推(tui)翻芝諾的悖論：阿基(ji)里(li)斯在跑了

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米(mi)時便可趕上烏龜。

人們認為(wei)數列1+0.1+0.01+…………是永(yong)遠(yuan)也不(bu)能窮盡(jin)的(de)。這只不(bu)過是一個錯覺。

我們不妨來計算一(yi)下阿(a)基里斯能(neng)夠(gou)追上烏龜(gui)的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝諾所說的(de)阿基里(li)斯不可(ke)能追上烏龜，就隱藏(zang)著時間必須小于(yu)10t/9這樣(yang)一個條件。

由于阿基(ji)(ji)里斯(si)和烏(wu)龜是(shi)在不斷地運動的(de)，對時間是(shi)沒有限制(zhi)的(de)，時間很容易突破(po)10t/9這樣一(yi)個條件。一(yi)旦突破(po)10t/9這樣一(yi)個條件，阿基(ji)(ji)里斯(si)就追(zhui)上(shang)了或超(chao)過了烏(wu)龜。

人們被(bei)距離數(shu)列(lie)1+0.1+0.01+…………好(hao)像是永遠也不能窮盡的(de)假象(xiang)迷(mi)惑了，沒(mei)有考(kao)慮到時間數(shu)列(lie)1+0.1+0.01+…………是很容易達到和超(chao)過的(de)了。

但是不是所有(you)的數(shu)列都能達到，所以，我們看問(wen)題不能太極端。例(li)如無(wu)論(lun)多少個(ge)點也不能組成直線，對于點的個(ge)數(shu)來說，我們就永遠無(wu)法窮盡它(ta)。

其實，以上的(de)證明是無法(fa)推翻這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)悖(bei)論的(de)。因為(wei)這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)證明用(yong)到了極(ji)限(xian)這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)概念(nian)。然而，極(ji)限(xian)這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)概念(nian)，正(zheng)是為(wei)了解決阿基里斯悖(bei)論而定義出(chu)來的(de)一個(ge)概念(nian)。用(yong)這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)概念(nian)再(zai)反(fan)證這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)悖(bei)論很明顯是不合理的(de)。

無限(xian)的(de)細分(fen)并不(bu)(bu)代表(biao)不(bu)(bu)會從時(shi)間1流入時(shi)間2，否則你的(de)時(shi)鐘(zhong)將永遠停留在(zai)59分(fen)59.9999............秒。

阿基里斯能(neng)夠繼續逼(bi)近烏龜，在某一(yi)(yi)時間點(dian)之前(qian)無法追上。但(dan)永(yong)遠(yuan)追不(bu)(bu)上這一(yi)(yi)結果并(bing)不(bu)(bu)成立，因為(wei)這一(yi)(yi)悖論只(zhi)引導(dao)去考(kao)慮追上之前(qian)的距離，而不(bu)(bu)是追上的這一(yi)(yi)距離。

悖論正解

悖論隱含的(de)假設就是(shi)阿(a)(a)基(ji)里斯(si)沒(mei)有追上龜，為什么(me)呢？阿(a)(a)基(ji)里斯(si)的(de)每一段，都(dou)是(shi)烏龜跑完了，才讓阿(a)(a)基(ji)里斯(si)才跑的(de)。只是(shi)想當然的(de)用(yong)了一開始的(de)距(ju)離差(cha)，而這個距(ju)離差(cha)為逐段變小。

而這(zhe)個趨近(jin)過程(cheng)(cheng)又想用時(shi)間衡量(liang)，恰好時(shi)間和距離，都可以無(wu)限(xian)劃分。靜止(zhi)也(ye)存在這(zhe)樣(yang)的(de)(de)接近(jin)過程(cheng)(cheng)，舉個例(li)子：假(jia)(jia)設烏(wu)(wu)龜是靜止(zhi)的(de)(de)，讓(rang)阿基里斯以這(zhe)樣(yang)的(de)(de)方式跑。900米(mi)，90米(mi)，9米(mi)，0.9米(mi)……，這(zhe)樣(yang)他(ta)也(ye)追不上烏(wu)(wu)龜啊，也(ye)同樣(yang)變(bian)不成零，因為你的(de)(de)假(jia)(jia)設就(jiu)是距離的(de)(de)無(wu)限(xian)小，這(zhe)只是在尋找最(zui)短(duan)的(de)(de)距離。這(zhe)個就(jiu)關系到(dao)極(ji)限(xian)了。就(jiu)像在找最(zui)小的(de)(de)物質粒子一(yi)樣(yang)。