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公元前(qian)5世紀，芝(zhi)諾發(fa)表了著名的(de)(de)阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)悖論：他(ta)(ta)提出讓烏(wu)龜(gui)(gui)在阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)前(qian)面1000米(mi)處開(kai)始，和(he)阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)賽跑，并且(qie)假定阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)的(de)(de)速(su)度是(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)的(de)(de)10倍。當(dang)比賽開(kai)始后(hou)，若阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)跑了1000米(mi)，設所(suo)(suo)用的(de)(de)時(shi)間(jian)為t，此(ci)時(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)便領先他(ta)(ta)100米(mi)；當(dang)阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)跑完下(xia)一個100米(mi)時(shi)，他(ta)(ta)所(suo)(suo)用的(de)(de)時(shi)間(jian)為t/10，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)于(yu)他(ta)(ta)10米(mi)；當(dang)阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)跑完下(xia)一個10米(mi)時(shi)，他(ta)(ta)所(suo)(suo)用的(de)(de)時(shi)間(jian)為t/100，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)于(yu)他(ta)(ta)1米(mi)……芝(zhi)諾認(ren)為，阿基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)能夠繼續逼近(jin)烏(wu)龜(gui)(gui)，但決不(bu)可能追上(shang)它。

悖論解釋

關(guan)于(yu)阿基里斯(si)悖(bei)論的(de)(de)一個解釋是：阿基里斯(si)的(de)(de)確(que)永(yong)遠也追不上(shang)烏(wu)(wu)龜(gui)。雖然(ran)現實中我們知道阿基里斯(si)超越烏(wu)(wu)龜(gui)非常簡單，但(dan)是它是如(ru)何超過烏(wu)(wu)龜(gui)的(de)(de)在過去(qu)卻(que)一直存在爭論。

現代物理學已經(jing)證明了時間(jian)和空(kong)(kong)間(jian)不是可以無限分割的(de)，所(suo)以總有最為微小(xiao)的(de)一(yi)個時間(jian)里，阿基里斯和烏(wu)龜(gui)(gui)共同前(qian)進了一(yi)個空(kong)(kong)間(jian)單位，從(cong)此阿基里斯順利超(chao)過烏(wu)龜(gui)(gui)。

產生原因

芝(zhi)(zhi)諾悖論的產生(sheng)原(yuan)因，是在(zai)于“芝(zhi)(zhi)諾時”不可能度(du)(du)量(liang)阿基(ji)里斯追(zhui)上烏(wu)龜后的現(xian)象。在(zai)芝(zhi)(zhi)諾時達到無(wu)限后，正常計時仍可以進行，只(zhi)不過芝(zhi)(zhi)諾的“鐘(zhong)”已經無(wu)法度(du)(du)量(liang)它們了。這個悖論實(shi)際上是反(fan)映時空(kong)并不是無(wu)限可分的，運動也不是連續(xu)的。

通俗一點(dian)講，我(wo)們都知道一條(tiao)線(xian)是由(you)無數(shu)(shu)個(ge)點(dian)組成(cheng)的(de)，但這個(ge)“無數(shu)(shu)個(ge)點(dian)”并不能說(shuo)我(wo)們無法(fa)畫出一條(tiao)線(xian)。也就(jiu)是說(shuo)就(jiu)是芝諾(nuo)偷換了(le)概念，（1+0.1+0.01+……）t其(qi)實是一個(ge)有(you)限(xian)的(de)時間，但他認為這個(ge)時間是無限(xian)大的(de)，只(zhi)要時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿(a)基里斯就(jiu)追上(shang)了(le)烏(wu)龜。

哲學辨析

阿基里斯悖論分(fen)離(li)了運動(dong)與靜止，夸大了相對(dui)靜止，而否認了絕對(dui)運動(dong)，是形而上(shang)學說。

黑(hei)格爾在(zai)《小邏輯(ji)》中說(shuo)：“辯(bian)證(zheng)法切(qie)不可與單純的詭辯(bian)相混(hun)淆。詭辯(bian)的本質(zhi)在(zai)于孤立(li)起來看事物(wu)，把本身片面的、抽(chou)象(xiang)的規定，認為是可靠(kao)的。”辯(bian)證(zheng)唯(wei)物(wu)主義認為，運(yun)動(dong)與靜止是對(dui)立(li)統一(yi)的辯(bian)證(zheng)關系。

一方面，運動(dong)與靜止(zhi)的(de)對(dui)立表現(xian)在：運動(dong)是絕對(dui)的(de)，靜止(zhi)是相對(dui)的(de)，二者相互區別，不可混淆。所謂運動(dong)是絕對(dui)的(de)是說，運動(dong)是物(wu)(wu)質的(de)根本屬性(xing)，任何事(shi)物(wu)(wu)在任何條(tiao)件(jian)下都是永(yong)恒運動(dong)的(de)，是無條(tiao)件(jian)的(de)。所謂靜止(zhi)是相對(dui)的(de)是說，靜止(zhi)是運動(dong)在特定(ding)條(tiao)件(jian)下的(de)特殊狀態(tai)，是有條(tiao)件(jian)的(de)。

另(ling)一(yi)方面，運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)的統一(yi)表(biao)現(xian)在(zai)(zai)：運(yun)動(dong)(dong)和靜(jing)止(zhi)(zhi)是相互依(yi)存、相互貫通的，即所謂動(dong)(dong)中有(you)(you)靜(jing)、靜(jing)中有(you)(you)動(dong)(dong)。在(zai)(zai)運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)關(guan)系上(shang)(shang)(shang)有(you)(you)兩種形而(er)上(shang)(shang)(shang)學(xue)(xue)的錯誤：一(yi)種是割(ge)裂(lie)運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)的關(guan)系，否(fou)認(ren)運(yun)動(dong)(dong)，只講靜(jing)止(zhi)(zhi)，將靜(jing)止(zhi)(zhi)絕(jue)對(dui)化的形而(er)上(shang)(shang)(shang)學(xue)(xue)不動(dong)(dong)論；一(yi)種是割(ge)裂(lie)運(yun)動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)的關(guan)系，只講運(yun)動(dong)(dong)，否(fou)認(ren)靜(jing)止(zhi)(zhi)的形而(er)上(shang)(shang)(shang)學(xue)(xue)相對(dui)主義和詭辯論。

簡單證明

關于阿基里(li)斯追龜(gui)的問(wen)題，我們可以很簡單地證明阿基里(li)斯追上(shang)了烏龜(gui)。

我們設烏(wu)龜先前(qian)所(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)屬于(yu)集(ji)(ji)合(he)B，烏(wu)龜現在(zai)(zai)(zai)(zai)所(suo)(suo)在(zai)(zai)(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)標志(zhi)為b，烏(wu)龜所(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)是集(ji)(ji)合(he)A，A由(you)集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)構成(cheng)。只要是烏(wu)龜先前(qian)所(suo)(suo)在(zai)(zai)(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，都是阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)可(ke)(ke)以(yi)(yi)走(zou)到(dao)的(de)(de)，因(yin)(yin)而阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)可(ke)(ke)以(yi)(yi)走(zou)到(dao)集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)。那(nei)么，我們能(neng)不(bu)(bu)能(neng)在(zai)(zai)(zai)(zai)集(ji)(ji)合(he)A中找到(dao)一(yi)(yi)個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，它(ta)既不(bu)(bu)屬于(yu)B，也(ye)不(bu)(bu)是b，回(hui)答是不(bu)(bu)能(neng)的(de)(de)。因(yin)(yin)而如(ru)(ru)果阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)走(zou)過了集(ji)(ji)合(he)B中所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)距離就(jiu)已經是0（如(ru)(ru)果不(bu)(bu)是0，則應該在(zai)(zai)(zai)(zai)阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)之間還會(hui)存在(zai)(zai)(zai)(zai)著一(yi)(yi)個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，但(dan)這個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)并(bing)不(bu)(bu)存在(zai)(zai)(zai)(zai)），也(ye)就(jiu)是說，阿(a)基(ji)(ji)里斯(si)已經追上了烏(wu)龜。

而按照(zhao)我們(men)悖論所(suo)設定的(de)(de)(de)條件，阿(a)基(ji)里(li)(li)(li)斯(si)是(shi)(shi)(shi)可以(yi)走到烏(wu)龜先前所(suo)走過(guo)的(de)(de)(de)所(suo)有(you)(you)的(de)(de)(de)點(dian)的(de)(de)(de)。因而阿(a)基(ji)里(li)(li)(li)斯(si)追到了(le)烏(wu)龜。但在(zai)上(shang)面的(de)(de)(de)分析中，我們(men)發(fa)現(xian)了(le)一個(ge)有(you)(you)趣的(de)(de)(de)矛盾(dun)，這就(jiu)是(shi)(shi)(shi)b既(ji)屬(shu)于(yu)B又(you)不屬(shu)于(yu)B，也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說，b既(ji)是(shi)(shi)(shi)現(xian)在(zai)又(you)是(shi)(shi)(shi)先前。而且(qie)這是(shi)(shi)(shi)阿(a)基(ji)里(li)(li)(li)斯(si)得以(yi)追上(shang)烏(wu)龜的(de)(de)(de)前提和條件。這樣的(de)(de)(de)一個(ge)有(you)(you)趣的(de)(de)(de)結論，是(shi)(shi)(shi)決(jue)不可能為具有(you)(you)形而上(shang)學頭(tou)腦的(de)(de)(de)那些數(shu)學家們(men)所(suo)接受(shou)的(de)(de)(de)。

此(ci)悖(bei)論(lun)假(jia)設(she)阿基里斯永(yong)遠只能到達(da)龜(gui)前一個時(shi)(shi)間(jian)段(duan)到達(da)的(de)(de)地(di)方，即追(zhui)上(shang)的(de)(de)前一個時(shi)(shi)間(jian)段(duan)，此(ci)時(shi)(shi)條件未(wei)發(fa)生變化，并先承認此(ci)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)兩者間(jian)仍有差(cha)異(yi)，然后用不同的(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)進行重(zhong)復換算，假(jia)設(she)條件仍未(wei)變化。而(er)在此(ci)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)的(de)(de)下一個口徑相同的(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)里，阿基米斯就會追(zhui)上(shang)。

相反觀點(dian)(dian)：這證(zheng)明是錯誤的。因為證(zheng)明假設了阿(a)基里斯可以走(zou)一(yi)個點(dian)(dian)，在事(shi)實上(shang)回避了悖論(lun)中無法找第1點(dian)(dian)問題實質(zhi)。故此證(zheng)明和悖論(lun)無關，只(zhi)是把(ba)小學應用(yong)題用(yong)集合論(lun)復述了一(yi)遍。

推翻悖論

其實，我們根據(ju)中學所學過的(de)(de)無窮等比遞縮數列求和的(de)(de)知識，只需列一個方程就可(ke)以輕而易舉地推翻芝(zhi)諾的(de)(de)悖(bei)論：阿(a)基里斯在跑了

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便(bian)可趕上烏龜(gui)。

人們認(ren)為數列1+0.1+0.01+…………是永遠也不能(neng)窮盡的。這只不過(guo)是一(yi)個(ge)錯覺。

我們(men)不妨來計算一(yi)下阿基里斯能夠追上烏龜的時(shi)間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝諾所說的阿基里(li)斯不可能追(zhui)上烏龜(gui)，就隱藏著時間必須小于10t/9這樣一個(ge)條件。

由(you)于(yu)阿基里斯和烏龜(gui)是在不斷地(di)運動的，對時間(jian)是沒(mei)有限制的，時間(jian)很容(rong)易突破10t/9這樣一個條件。一旦(dan)突破10t/9這樣一個條件，阿基里斯就追上(shang)了或超過了烏龜(gui)。

人們被距離數列(lie)1+0.1+0.01+…………好(hao)像是(shi)永遠也不能窮盡(jin)的假(jia)象迷惑了，沒有考慮到時間數列(lie)1+0.1+0.01+…………是(shi)很容易達到和超過的了。

但是(shi)不是(shi)所有的(de)數(shu)列都能(neng)達到，所以(yi)，我們看問題不能(neng)太極端。例如無論多少個(ge)點(dian)也不能(neng)組成直線，對于點(dian)的(de)個(ge)數(shu)來說，我們就永遠無法窮(qiong)盡(jin)它。

其(qi)實，以上的證(zheng)明(ming)是(shi)無法推(tui)翻(fan)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)悖(bei)論的。因為這(zhe)個(ge)(ge)(ge)證(zheng)明(ming)用到(dao)了極(ji)限(xian)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)。然(ran)而，極(ji)限(xian)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)，正是(shi)為了解決阿基里斯悖(bei)論而定義出來的一個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)。用這(zhe)個(ge)(ge)(ge)概(gai)念(nian)再反證(zheng)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)悖(bei)論很明(ming)顯是(shi)不(bu)合理的。

無限的細分(fen)并不代表不會從時間1流入時間2，否則你的時鐘將(jiang)永遠停留在59分(fen)59.9999............秒。

阿基里斯能夠繼續(xu)逼(bi)近烏(wu)龜，在(zai)某一時間點之前無法追(zhui)上。但永(yong)遠追(zhui)不上這(zhe)(zhe)一結果并不成立，因為(wei)這(zhe)(zhe)一悖論只引導去(qu)考(kao)慮(lv)追(zhui)上之前的(de)距(ju)離(li)，而不是追(zhui)上的(de)這(zhe)(zhe)一距(ju)離(li)。

悖論正解

悖論隱(yin)含的(de)假(jia)設就(jiu)是阿基里斯(si)沒有追(zhui)上龜，為什么呢？阿基里斯(si)的(de)每一(yi)段(duan)，都是烏(wu)龜跑完了，才(cai)讓阿基里斯(si)才(cai)跑的(de)。只是想(xiang)當然的(de)用(yong)了一(yi)開始的(de)距離差，而(er)這個距離差為逐(zhu)段(duan)變(bian)小。

而(er)這個趨近(jin)(jin)過(guo)程又(you)想用(yong)時間衡量，恰好時間和距(ju)離，都(dou)可以無限(xian)劃分。靜止也存在(zai)這樣的接近(jin)(jin)過(guo)程，舉個例子(zi)：假設(she)烏龜是(shi)(shi)靜止的，讓阿基(ji)里斯以這樣的方式跑。900米(mi)，90米(mi)，9米(mi)，0.9米(mi)……，這樣他也追不(bu)(bu)上(shang)烏龜啊，也同樣變不(bu)(bu)成零(ling)，因(yin)為你的假設(she)就(jiu)是(shi)(shi)距(ju)離的無限(xian)小，這只是(shi)(shi)在(zai)尋找(zhao)最(zui)短的距(ju)離。這個就(jiu)關系到極限(xian)了。就(jiu)像在(zai)找(zhao)最(zui)小的物(wu)質粒子(zi)一樣。